Série 2 — prix et systèmes · Devinettes algébriques · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez un chrono : douze minutes pour la série, et répondez aux dix avant d'ouvrir le moindre corrigé. Huit ou plus dans le temps : la série est acquise. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Moins : revenez au cours « Prix et systèmes » avant de continuer.

Devant plusieurs équations de prix, regardez la question avant de résoudre : la combinaison demandée tombe souvent en additionnant, en soustrayant ou en multipliant les équations entières. Et quand les quantités sont des objets, elles sont entières : c'est une contrainte, souvent la seule qui décide.

Après les dix, deux questions de plus, hors chrono et sous une autre forme : une affirmation à juger, une valeur à écrire. Elles ne comptent pas dans vos points sur dix.

Exercices

Exercice 1

Au marché Mahané Yehuda, $4$ bouteilles de jus de grenade et $6$ sachets de pistaches coûtent ensemble $58$ ₪. Combien coûtent $6$ bouteilles de jus de grenade et $9$ sachets de pistaches ?

On ne peut pas le savoir.
$29$
$87$
$116$

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Réponse : C $87$

Corrigé :

{4j + 6p = 58 \Rightarrow 2j + 3p = 29}

On divise l'équation entière par $2$ .

{6j + 9p = 3(2j + 3p) = 3 \times 29 = 87}

Le panier demandé est trois fois ce demi-panier.

La bonne réponse : « $87$ ». « On ne peut pas le savoir » attire qui cherche le prix d'une bouteille : il est bien inconnu, mais la question ne le demande pas. « $29$ » est le demi-panier, une étape ; « $116$ » double le panier au lieu de le multiplier par $\dfrac{3}{2}$ .

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Exercice 2

À la papeterie, $3$ cahiers et $2$ crayons coûtent $35$ ₪ ; $2$ cahiers et $3$ crayons coûtent $30$ ₪. Combien coûtent un cahier et un crayon ensemble ?

$4$
$5$
$13$
$9$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $13$

Corrigé :

{(3c + 2k) + (2c + 3k) = 35 + 30}

On additionne les deux équations entières.

{5c + 5k = 65 \Rightarrow c + k = 13}

Chaque article apparaît cinq fois : on divise par $5$ .

La bonne réponse : « $13$ ». « $9$ » est le prix d'un cahier et « $4$ » celui d'un crayon : justes tous les deux, mais la question demande leur somme. « $5$ » est leur différence, qu'on obtient en soustrayant les équations au lieu de les additionner.

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Exercice 3

Un marchand vend des sachets de dattes à $12$ ₪ et des sachets d'amandes à $20$ ₪. Un jour, il vend deux fois plus de sachets de dattes que de sachets d'amandes, pour une recette de $396$ ₪. Combien de sachets d'amandes a-t-il vendus ?

$33$
$27$
$9$
$18$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $9$

Corrigé :

{2 \times 12 + 20 = 44}

Un « lot » : deux sachets de dattes et un sachet d'amandes.

{396 \div 44 = 9}

Neuf lots, donc neuf sachets d'amandes.

La bonne réponse : « $9$ ». « $18$ » est le nombre de sachets de dattes, l'autre inconnue ; « $27$ » compte tous les sachets vendus ; « $33$ » divise la recette par $12$ , comme si tout était des dattes.

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Exercice 4

Idan a dans sa poche exactement $6$ pièces, chacune de $1$ , de $5$ ou de $10$ ₪. Laquelle de ces sommes ne peut pas se trouver dans sa poche ?

$33$ ₪
$49$ ₪
$24$ ₪
$46$ ₪

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $49$ ₪

Corrigé :

{49 = 45 + 4}

Les pièces de $5$ et de $10$ font un multiple de $5$ : le reste, $4$ , ne peut venir que de pièces de $1$ .

{4 \text{ pièces de } 1 \Rightarrow 45 \text{ en } 2 \text{ pièces}, \quad 2 \times 10 = 20 < 45}

Il reste deux pièces pour faire $45$ : impossible.

La bonne réponse : « $49$ ₪ ». Les trois autres s'écrivent avec six pièces exactement : $46 = 10 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1$ , $33 = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1$ et $24 = 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1$ . « $33$ ₪ » a l'air bizarre et « $24$ ₪ » a l'air petit, mais c'est la contrainte des six pièces qui décide, pas l'allure du nombre.

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Exercice 5

Dans un café de Jaffa, un café et un croissant coûtent $19$ ₪, un croissant et un jus $23$ ₪, un café et un jus $20$ ₪. Combien coûte le jus ?

$11$
$8$
$12$
$31$

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Réponse : C $12$

Corrigé :

{2(c + k + j) = 19 + 23 + 20 = 62}

On additionne les trois équations : chaque article y figure deux fois.

{c + k + j = 31}

Le prix des trois articles ensemble.

{j = 31 - (c + k) = 31 - 19 = 12}

On retire l'équation qui ne contient pas le jus.

La bonne réponse : « $12$ ». « $31$ » est le prix des trois articles, une étape ; « $8$ » est le prix du café et « $11$ » celui du croissant : ils sortent du même calcul, mais la question porte sur le jus.

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Exercice 6

À une buvette de la plage de Netanya, une glace coûte $7$ ₪ et une boisson $5$ ₪. Omri dépense exactement $61$ ₪ ; il achète au moins une glace, et plus de boissons que de glaces. Combien de boissons achète-t-il ?

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Réponse : 8

Corrigé :

{7g + 5b = 61}

$61 - 7g$ doit être un multiple de $5$ .

{g = 3 : 61 - 21 = 40 = 5 \times 8}

Une première solution : $3$ glaces, $8$ boissons.

{g = 8 : 61 - 56 = 5 = 5 \times 1}

La seule autre : $8$ glaces, $1$ boisson — mais elle a moins de boissons que de glaces.

$8$ . L'équation seule a deux solutions entières ; c'est la seconde condition, « plus de boissons que de glaces », qui choisit. Répondre $1$ , c'est ne vérifier que la première condition.

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Exercice 7

Une boutique de souvenirs d'Akko vend des aimants à $2$ ₪, des cartes postales à $5$ ₪ et des porte-clés à $9$ ₪. Hila dépense exactement $40$ ₪ et achète au moins un article de chaque sorte. Combien d'articles, au maximum, a-t-elle achetés ?

$20$
$15$
$13$
$12$

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Réponse : B $15$

Corrigé :

{2 + 5 + 9 = 16}

D'abord le minimum imposé : un article de chaque sorte.

{40 - 16 = 24 = 12 \times 2}

Tout le reste en articles les moins chers : douze aimants de plus.

{13 + 1 + 1 = 15}

$13$ aimants, $1$ carte, $1$ porte-clés : $26 + 5 + 9 = 40$ .

La bonne réponse : « $15$ ». « $20$ » dépense tout en aimants et oublie « au moins un de chaque » ; « $12$ » ne compte que les aimants ajoutés, une étape ; « $13$ » compte tous les aimants mais oublie la carte et le porte-clés.

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Exercice 8

Au stand de tir d'une fête de quartier, chaque tir dans la cible rapporte $7$ points et chaque tir manqué en retire $3$ . Amit tire $20$ fois et termine avec $50$ points. Combien de tirs a-t-il réussis ?

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Réponse : 11

Corrigé :

{7c - 3(20 - c) = 50}

Sur $20$ tirs, $c$ réussis et $20 - c$ manqués.

{10c - 60 = 50 \Rightarrow c = 11}

Chaque tir réussi au lieu d'un tir manqué change le score de $10$ points.

$11$ . Vérification : $77 - 27 = 50$ . Le piège : $9$ , le nombre de tirs manqués, qui sort du même calcul.

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Exercice 9

Une entrée à la piscine municipale et la location d'un transat coûtent ensemble $a$ ₪ ; deux entrées et la location d'un transat coûtent $b$ ₪. Combien coûte la location d'un transat ?

$b - 2a$
$2a - b$
$a - b$
$b - a$

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Réponse : B $2a - b$

Corrigé :

{(2e + t) - (e + t) = b - a \Rightarrow e = b - a}

La différence des deux montants est une entrée.

{t = a - e = a - (b - a) = 2a - b}

On retire cette entrée du premier montant.

La bonne réponse : « $2a - b$ ». « $b - a$ » est le prix d'une entrée, l'autre inconnue ; « $b - 2a$ » et « $a - b$ » ont le signe renversé : le premier vaut l'opposé du prix du transat, le second l'opposé du prix d'une entrée. Vérification avec une entrée à $30$ ₪ et un transat à $15$ ₪ : $a = 45$ , $b = 75$ , et $2a - b = 15$ .

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Exercice 10

Pour la rentrée, $2$ stylos, $3$ gommes et $1$ règle coûtent $23$ ₪ ; $3$ stylos, $5$ gommes et $1$ règle coûtent $34$ ₪. Combien coûtent ensemble un stylo, une gomme et une règle ?

On ne peut pas le savoir.
$57$
$11$
$12$

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Réponse : D $12$

Corrigé :

{2(2s + 3g + r) = 46 \Rightarrow 4s + 6g + 2r = 46}

On double la première équation.

{(4s + 6g + 2r) - (3s + 5g + r) = 46 - 34}

On lui retire la seconde.

{s + g + r = 12}

Il reste exactement un article de chaque sorte.

La bonne réponse : « $12$ ». Trois prix inconnus et deux équations : « On ne peut pas le savoir » est vrai pour chaque prix, et faux pour la combinaison demandée. « $11$ » est la différence des deux équations, $s + 2g$ , une étape ; « $57$ » additionne les deux montants. Par exemple, $5$ , $3$ et $4$ ₪ vérifient les deux équations.

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Exercice 11

Si $5$ cahiers et $3$ classeurs coûtent $64$ ₪, et $3$ cahiers et $5$ classeurs coûtent $56$ ₪, alors un cahier et un classeur coûtent ensemble $15$ ₪.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}(5c + 3k) + (3c + 5k) &= 8c + 8k \\ &= 64 + 56 \\ &= 120\end{aligned}

On additionne les deux équations entières.

\begin{aligned}c + k &= 120 \div 8 \\ &= 15\end{aligned}

La paire, sans chercher chaque prix.

Vrai. Chercher $c$ et $k$ séparément marche aussi ( $c = 9{,}5$ et $k = 5{,}5$ ), mais coûte trois lignes de plus.

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Exercice 12

Un marchand vend des melons à $9$ ₪ et des pastèques à $14$ ₪. Une cliente paie exactement $74$ ₪, avec au moins un fruit de chaque sorte. Combien de fruits a-t-elle achetés ?

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Réponse : 6

Corrigé :

\begin{aligned}9m + 14p &= 74 \\ \quad m \geq 1 \\ \ p \geq 1\end{aligned}

Une seule équation, en entiers positifs.

74 - 14p \in \{60,\ 46,\ 32,\ 18,\ 4\}

On essaie $p$ de $1$ à $5$ .

\begin{aligned}18 &= 9 \times 2 \Rightarrow (m, p) \\ &= (2, 4)\end{aligned}

Seul $18$ est un multiple de $9$ .

6 fruits : $2$ melons et $4$ pastèques. Le distracteur $4$ ne compte que les pastèques.

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Exercices

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