Traduire l'histoire en équation

Une devinette algébrique ne ressemble jamais à un exercice d'algèbre. C'est une petite histoire : des cartes qu'on échange, des âges qui avancent, des roues qu'on compte.

Environ sept par session : c'est un des sujets les plus denses de la section quantitative.

L'équation est presque toujours du premier degré, et se résout en une ligne. Tout le travail est dans la traduction — et c'est là que l'examen place ses pièges.

Ce cours vous donne six gestes de traduction, un par forme d'histoire.

Appelez $x$ la plus petite quantité, celle dont les autres dépendent. Tout le reste s'écrit alors sans fraction.

Puis traduisez chaque phrase, mot à mot, avec ce petit dictionnaire :

Dans une bibliothèque de quartier, l'étagère des romans porte 3 fois plus de livres que celle des bandes dessinées. Celle des documentaires en porte 12 de moins que celle des romans. Les trois étagères portent 184 livres. Combien de documentaires ?

« 3 fois plus » se lit en parts : 3 parts contre 1, soit 4 parts en tout.

Un kibboutz récolte 5 fois plus de pommes que de poires : 360 kg en tout. Combien de kilos de pommes ?

Les transferts. « Si A donne $k$ à B, ils en ont autant » : A perd $k$ et B gagne $k$.

L'écart entre eux se réduit donc de $2k$. Comme il devient nul, l'écart de départ était $2k$.

Voyez-le de la main : Noa a $44$ cartes, Eitan $26$. Faites passer les cartes une à une.

L'écart entre deux âges ne change jamais : dans dix ans comme il y a dix ans, l'aînée a le même nombre d'années de plus.

Et « dans $n$ ans » ajoute $n$ à CHAQUE âge : la somme des âges de $p$ personnes augmente de $p \cdot n$.

Faites passer les années : l'écart reste $18$, le rapport descend de $4$ vers $2{,}5$.

Des objets de deux sortes, un nombre total d'objets, un total de roues, de pieds ou de shekels.

Supposez d'abord que tous sont de la sorte la moins chère. Le total est trop petit : chaque objet changé ajoute la différence entre les deux sortes.

Le manque, divisé par cette différence, donne le nombre de conversions.

Au parking d'un moshav, il y a 25 vélos et tricycles, qui ont en tout 58 roues. Combien y a-t-il de tricycles ?

Le même résultat par l'équation : $v + t = 25$ et $2v + 3t = 58$. On soustrait deux fois la première de la seconde : $t = 8$.

Vérifiez le porte-monnaie avec les jetons : tous de 20 ₪ d'abord.

Trois entiers consécutifs s'écrivent $n - 1$, $n$, $n + 1$ : les écarts s'annulent, et leur somme vaut $3n$, trois fois le milieu.

Cinq consécutifs font cinq fois le milieu. Les pairs (ou impairs) consécutifs avancent de 2 : $n - 2$, $n$, $n + 2$, et la somme vaut encore $3n$.

La somme de cinq entiers pairs consécutifs vaut 170. Quel est le plus grand des cinq ?

Vérifiez-le de la main : faites glisser quatre consécutifs autour de $48$.

Une suite d'opérations appliquées à un nombre inconnu, et le résultat final.

Partez du résultat et défaites chaque opération dans l'ordre inverse : la dernière faite est la première défaite. Chacune se change en son contraire — plus en moins, fois en divisé.

Je pense à un nombre. Je lui retranche 7, je multiplie le résultat par 3, j'ajoute 12, puis je divise par 5. J'obtiens 9. À quel nombre ai-je pensé ?

1. Nommez $x$ la plus petite quantité. 2. Traduisez chaque phrase, et testez le sens avec un petit nombre.

3. Un « fois plus » ? Pensez en parts. Un don qui égalise ? L'écart vaut deux fois le don. 4. Des âges ? Cherchez l'écart, et ajoutez les années à chaque personne.

5. Deux sortes d'objets ? Tout de la moins chère, puis les conversions. 6. Des consécutifs ? Le milieu. 7. Une suite d'opérations ? À l'envers.

8. Avant de cocher, vérifiez que c'est bien la quantité demandée, et à la bonne date.