Prix et systèmes

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Des pitas et des houmous, des billets de bus et de train, des tickets de manège : les questions de prix sont les plus faciles à mettre en équation.

C'est justement pour ça que l'examen les rend difficiles autrement : il demande rarement le prix de chaque objet.

Il demande une combinaison (le prix de trois objets réunis), un nombre d'objets quand une équation a plusieurs solutions entières, ou un maximum sous une contrainte.

Ou il vous laisse juger si la question a une réponse. Six gestes, du plus direct au plus rusé.

Geste 1 — poser deux équations de prix

Une lettre par objet, une équation par phrase « … coûtent … ».

Deux objets, deux phrases : on élimine un objet. On multiplie une équation pour que cet objet ait le même nombre dans les deux, puis on soustrait.

À l'épicerie, 2 pitas et 3 barquettes de houmous coûtent 27 ₪ ; 1 pita et 2 barquettes coûtent 17 ₪. Combien coûte une barquette de houmous ?

L'autre inconnue, encore. Ici l'examen placerait 33, le prix d'une pita, parmi les options. Il le calcule en chemin dans son corrigé — et vous aussi, souvent. Relisez l'objet demandé avant de cocher.

Geste 2 — la combinaison demandée : travailler sur les équations ENTIÈRES

Quand l'énoncé demande « le prix d'un X et d'un Y », ou « combien coûtent 9 X et 6 Y », ne cherchez pas chaque prix.

Regardez les équations comme des blocs : on peut les additionner, les soustraire, ou multiplier une équation tout entière par un même nombre.

(E1)+(E2)(E_1) + (E_2)

additionner : quand la somme des nombres d'objets donne la combinaison

(E2)−(E1)(E_2) - (E_1)

soustraire : quand un objet a le même nombre dans les deux

k×(E1)k \times (E_1)

multiplier : quand la combinaison est proportionnelle à une équation

Au marché, 3 kg de tomates, 3 kg de concombres et 2 kg d'oignons coûtent 30 ₪ ; 1 kg de tomates, 1 kg de concombres et 4 kg d'oignons coûtent aussi 30 ₪. Combien coûtent ensemble 1 kg de tomates et 1 kg de concombres ?

6 cafés et 4 croissants coûtent 62 ₪. Combien coûtent 9 cafés et 6 croissants ?

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93 ₪. 96=64=1,5\dfrac{9}{6} = \dfrac{6}{4} = 1{,}5 : la commande est la première multipliée par 1,51{,}5, les deux objets ensemble. Donc 62×1,5=9362 \times 1{,}5 = 93. On ne connaîtra jamais le prix d'un café seul, et on n'en a pas besoin.

Multiplier une équation, c'est multiplier TOUT :

9c+6r=62+3+29c + 6r = 62 + 3 + 2
9c+6r=1,5×(6c+4r)=1,5×62=93\begin{aligned}9c + 6r &= 1{,}5 \times (6c + 4r) \\ &= 1{,}5 \times 62 \\ &= 93\end{aligned}

Ajouter « 3 cafés et 2 croissants » ne se traduit pas en ajoutant 3 et 2 shekels : les objets ont un prix. On multiplie l'équation entière, les deux côtés ensemble.

Geste 3 — le lot : quand les quantités sont liées

« 5 fois plus de surligneurs que de classeurs » : les achats vont par lots d'un classeur et 5 surligneurs.

Calculez le prix d'un lot, puis divisez le total par ce prix. Le nombre de lots est le nombre de l'objet le moins nombreux.

Une papeterie vend des classeurs à 14 ₪ et des surligneurs à 4 ₪. Une école a acheté 5 fois plus de surligneurs que de classeurs, et a payé 408 ₪. Combien de classeurs a-t-elle achetés ?

Deux distracteurs sont prévisibles : 6060, les surligneurs, l'autre objet ; et 7272, le nombre total d'objets achetés.

Geste 4 — une seule équation, des solutions entières

Une seule équation à deux inconnues a une infinité de solutions.

Mais des objets se comptent en entiers positifs, et il n'en reste que quelques-unes. Pour 5c+3p=415c + 3p = 41 : essayez chaque valeur de cc, et gardez celles où 41−5c41 - 5c est un multiple de 33.

Un glacier vend des cornets à 5 ₪ et des pots à 3 ₪. Sa recette de la matinée est de 41 ₪, et il a vendu au moins un cornet et au moins un pot. Combien de cornets a-t-il pu vendre ?

La divisibilité tranche plus vite encore. Si tous les prix sont des multiples d'un même nombre, toute somme payée l'est aussi. Des tickets à 8, 12 et 20 ₪ ne font jamais qu'un multiple de 4.

Un parc vend des tickets à 8 ₪, 12 ₪ et 20 ₪. Lequel de ces montants ne peut PAS être le prix d'un achat de tickets : 44 ₪, 60 ₪, 74 ₪ ou 96 ₪ ?

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74 ₪, le seul qui n'est pas multiple de 4. Les autres sont atteints : 44=12+12+2044 = 12 + 12 + 20, 60=3×2060 = 3 \times 20, 96=12×896 = 12 \times 8.

Geste 5 — « au moins un de chaque »

Pour le plus grand nombre d'objets : posez d'abord un de chaque, puisque c'est imposé. Puis dépensez tout le reste avec l'objet le moins cher.

Pour le plus petit nombre d'objets qui atteint un montant : un de chaque, puis complétez avec le plus cher.

Au kiosque d'un club de sport, un sandwich coûte 12 ₪, un jus 7 ₪ et un gâteau 4 ₪. Omer a au plus 60 ₪ et veut au moins un article de chaque sorte. Combien d'articles peut-il acheter au maximum ?

La contrainte oubliée :

60÷4=1560 \div 4 = 15
3+⌊60−234⌋=3+9=12\begin{aligned}3 + \left\lfloor \dfrac{60 - 23}{4} \right\rfloor &= 3 + 9 \\ &= 12\end{aligned}

15 gâteaux respectent le budget, mais pas « au moins un de chaque ». C'est le distracteur que l'examen place à côté de la bonne réponse, parce qu'il est le plus grand.

Même kiosque. Omer veut maintenant dépenser au moins 50 ₪, toujours avec au moins un article de chaque sorte, en achetant le moins d'articles possible. Combien lui en faut-il ?

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6 articles. Un de chaque fait 2323 ₪ ; on complète avec le plus cher, le sandwich : 3535, 4747, puis 59≥5059 \geq 50. Trois sandwichs de plus, donc 3+3=63 + 3 = 6. Avec 5 articles, le mieux est 23+12+12=4723 + 12 + 12 = 47 ₪, pas assez.

Remplissez-le à l'envers : le moins d'articles possible, pour au moins 5050 ₪.

Geste 6 — « on ne peut pas savoir » : le savoir vraiment

En général, deux équations pour trois objets ne suffisent pas à trouver chaque prix — sauf quand des contraintes, comme des prix entiers et positifs, ne laissent qu'une possibilité.

Mais elles suffisent à une combinaison si on peut l'obtenir en additionnant des multiples des deux équations.

Le test : chercher deux nombres λ\lambda et μ\mu tels que λ⋅(E1)+μ⋅(E2)\lambda \cdot (E_1) + \mu \cdot (E_2) ait exactement les nombres d'objets demandés, objet par objet.

Au café du club, 1 thé, 2 muffins et 3 bretzels coûtent 40 ₪ ; 2 thés, 3 muffins et 4 bretzels coûtent 55 ₪. Tous les prix sont des nombres entiers de shekels. Combien coûtent un thé, un muffin et un bretzel réunis ?

Et un thé et un bretzel réunis ? Cherchez la combinaison — ou prouvez qu'il n'y en a pas.

Deux jeux de prix entiers respectent les deux phrases : (t,m,b)=(1,3,11)(t, m, b) = (1, 3, 11) et (2,1,12)(2, 1, 12). Ils donnent t+b=12t + b = 12 ou 1414 : ici, « impossible à déterminer » est la bonne réponse.

Pour justifier « impossible à déterminer », il faut deux situations permises qui donnent deux réponses différentes. Pour l'écarter, il suffit d'une combinaison des équations qui donne la question. Ne la cochez donc jamais par prudence : l'examen la propose souvent quand la combinaison existe.

Avec les deux phrases du café, peut-on connaître le prix d'un thé seul ?

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Non : les deux jeux de prix (1,3,11)(1, 3, 11) et (2,1,12)(2, 1, 12) respectent les deux phrases, et le thé y coûte 11 ₪ dans le premier, 22 ₪ dans le second.

L'ordre des réflexes

1. Une lettre par objet, une équation par phrase. 2. Lisez la question AVANT de résoudre : un prix, ou une combinaison ?

3. Une combinaison ? Additionnez, soustrayez ou multipliez les équations entières. 4. Des quantités liées ? Un lot.

5. Une seule équation ? Des entiers : essayez, et pensez à la divisibilité. 6. « Au moins un de chaque » ? Un de chaque d'abord.

7. « Impossible à déterminer » ? Seulement avec deux situations permises qui se contredisent.

Exercices

Exercice 1

Au kiosque de la gare, 3 bourekas et 2 cafés coûtent 33 ₪ ; 1 boureka et 2 cafés coûtent 23 ₪. Combien coûte un café, en shekels ?

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Réponse : 9

Corrigé :

3b+2c=33b+2c=23\begin{aligned}3b + 2c &= 33 \\ \qquad b + 2c &= 23\end{aligned}

Une équation par phrase. Les cafés ont déjà le même nombre dans les deux.

(3b+2c)−(b+2c)=33−23⇒2b=10⇒b=5\begin{aligned}(3b + 2c) - (b + 2c) &= 33 - 23 \Rightarrow 2b \\ &= 10 \Rightarrow b \\ &= 5\end{aligned}

On soustrait : les cafés disparaissent.

5+2c=23⇒c=9\begin{aligned}5 + 2c &= 23 \Rightarrow c \\ &= 9\end{aligned}

On revient à la seconde phrase pour le café.

9 ₪. 55 est le prix du boureka, calculé en chemin. Et 1010 est 2b2b, avant la division par 2.

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Exercice 2

Une association achète 8 billets de bus et 6 billets de train pour 124 ₪. Chaque billet de bus a le même prix, et chaque billet de train aussi. Combien coûteraient 12 billets de bus et 9 billets de train ?

  1. 248248 ₪
  2. 186186 ₪
  3. Impossible à déterminer
  4. 131131 ₪
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Réponse : B 186186 ₪

Corrigé :

128=96=1,5\begin{aligned}\dfrac{12}{8} &= \dfrac{9}{6} \\ &= 1{,}5\end{aligned}

Les deux nombres de billets sont multipliés par le même nombre.

12u+9v=1,5×(8u+6v)12u + 9v = 1{,}5 \times (8u + 6v)

La nouvelle commande est l'ancienne multipliée tout entière.

=1,5×124=186= 1{,}5 \times 124 = 186

Sans connaître le prix d'un seul billet.

La bonne réponse : « 186186 ₪ ». « 248248 ₪ » double la commande, alors que le multiplicateur est 1,51{,}5. « 131131 ₪ » ajoute 4 et 3 shekels pour les 4 et 3 billets en plus. « Impossible à déterminer » croit qu'il faut chaque prix : une seule équation ne les donne pas, mais elle donne cette combinaison.

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Exercice 3

Une coopérative vend des pots de miel à 32 ₪ et des bouteilles d'huile d'olive à 45 ₪. Un restaurant achète 2 fois plus de pots de miel que de bouteilles d'huile, et paie 654 ₪. Combien de pots de miel a-t-il achetés ?

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Réponse : 12

Corrigé :

lot=45+2×32=109\begin{aligned}\text{lot} &= 45 + 2 \times 32 \\ &= 109\end{aligned}

Un lot : une bouteille et ses deux pots.

654÷109=6654 \div 109 = 6

6 lots, donc 6 bouteilles.

2×6=1212×32+6×45=384+270=654\begin{aligned}2 \times 6 &= 12 \\ \qquad 12 \times 32 + 6 \times 45 &= 384 + 270 \\ &= 654\end{aligned}

Les pots, et la vérification.

12 pots. 66 est le nombre de bouteilles, l'autre objet — et le nombre de lots. 1818 est le nombre total d'objets.

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Exercice 4

À la fête du quartier, un ticket de manège coûte 9 ₪ et un ticket de barbe à papa 4 ₪. Rinat dépense exactement 71 ₪ et achète au moins un ticket de chaque sorte. Combien de tickets a-t-elle achetés au maximum ?

  1. 99
  2. 1717
  3. 1111
  4. 1414
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Réponse : D 1414

Corrigé :

9m+4b=71m≥1 b≥1\begin{aligned}9m + 4b &= 71 \\ \quad m \geq 1 \\ \ b \geq 1\end{aligned}

Une seule équation, des entiers positifs.

71−9m multiple de 4⇒m=3 ou m=7\begin{aligned}71 - 9m \ \text{multiple de 4} \Rightarrow m &= 3 \ \text{ou} \ m \\ &= 7\end{aligned}

On essaie m=1,2,…,7m = 1, 2, \dots, 7 : seuls 71−27=4471 - 27 = 44 et 71−63=871 - 63 = 8 sont multiples de 4.

(3,11)→14 tickets,(7,2)→9 tickets(3, 11) \to 14 \ \text{tickets}, \qquad (7, 2) \to 9 \ \text{tickets}

Les deux achats possibles. Le plus de tickets vient avec le plus d'objets bon marché.

La bonne réponse : « 1414 ». « 1717 » est la partie entière de 71÷471 \div 4 : il oublie qu'il faut dépenser exactement 71 ₪ et acheter au moins un ticket de manège. « 99 » est le minimum, l'autre achat possible. « 1111 » est le nombre de tickets de barbe à papa seulement.

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Exercice 5

À un buffet, 2 salades, 1 soupe et 3 desserts coûtent 61 ₪ ; 3 salades, 2 soupes et 4 desserts coûtent 94 ₪. Chaque plat d'une même sorte a le même prix. Combien coûtent ensemble une salade, une soupe et un dessert ?

  1. 155155 ₪
  2. Impossible à déterminer
  3. 3333 ₪
  4. 1111 ₪
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Réponse : C 3333 ₪

Corrigé :

2s+p+3d=613s+2p+4d=94\begin{aligned}2s + p + 3d &= 61 \\ \qquad 3s + 2p + 4d &= 94\end{aligned}

Trois inconnues, deux équations : pas de prix séparé, mais peut-être la combinaison.

(3s+2p+4d)−(2s+p+3d)=s+p+d(3s + 2p + 4d) - (2s + p + 3d) = s + p + d

La seconde moins la première laisse exactement un plat de chaque sorte.

s+p+d=94−61=33\begin{aligned}s + p + d &= 94 - 61 \\ &= 33\end{aligned}

La combinaison est déterminée.

La bonne réponse : « 3333 ₪ ». « 1111 ₪ » est un tiers de la bonne réponse, comme si les trois plats avaient le même prix. « 155155 ₪ » additionne les deux montants au lieu de les soustraire. « Impossible à déterminer » est vrai pour le prix d'une salade seule, mais pas pour la combinaison demandée.

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Exercice 6

À la papeterie, 33 cahiers et 22 stylos coûtent 2626 ₪ ; 11 cahier et 22 stylos coûtent 1414 ₪. Combien coûte un cahier, en shekels ?

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Réponse : 6

Corrigé :

3c+2s=26c+2s=14\begin{aligned}3c + 2s &= 26 \\ \qquad c + 2s &= 14\end{aligned}

Une équation par phrase.

(3c+2s)−(c+2s)=26−14⇒2c=12\begin{aligned}(3c + 2s) - (c + 2s) &= 26 - 14 \Rightarrow 2c \\ &= 12\end{aligned}

Les stylos ont déjà le même nombre : on soustrait.

c=6s=14−62=4\begin{aligned}c &= 6 \\ \quad s &= \dfrac{14 - 6}{2} \\ &= 4\end{aligned}

Le cahier, puis le stylo pour vérifier.

6 ₪. Le distracteur serait 44, le prix d'un stylo, calculé en chemin. Ou 1212, qui oublie de diviser par 22.

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Exercice 7

Si 44 jus et 66 bagels coûtent 5050 ₪, alors 66 jus et 99 bagels coûtent 7575 ₪.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

64=96=1,5\begin{aligned}\dfrac{6}{4} &= \dfrac{9}{6} \\ &= 1{,}5\end{aligned}

La commande est la première, multipliée par 1,51{,}5, pour les deux objets à la fois.

1,5×50=751{,}5 \times 50 = 75

On multiplie l'équation entière, les deux côtés.

Vrai. On ne connaîtra jamais le prix d'un jus seul, et on n'en a pas besoin. Ajouter « 22 jus et 33 bagels » ne se traduit pas en ajoutant 55 ₪.

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Exercice 8

Un club achète des ballons à 2525 ₪ et des sifflets à 55 ₪, avec 33 sifflets pour chaque ballon. Il paie 320320 ₪. Combien de sifflets a-t-il achetés ?

  1. 3232
  2. 6464
  3. 2424
  4. 88
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Réponse : C 2424

Corrigé :

lot=25+3×5=40\begin{aligned}\text{lot} &= 25 + 3 \times 5 \\ &= 40\end{aligned}

Un ballon et ses 33 sifflets.

320÷40=8320 \div 40 = 8

88 lots, donc 88 ballons.

8×3=248 \times 3 = 24

Et 2424 sifflets.

La bonne réponse : « 2424 ». « 88 » est le nombre de ballons, l'autre objet. « 3232 » est le nombre total d'objets. « 6464 » vient de 320÷5320 \div 5, comme si l'on n'avait acheté que des sifflets.

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Exercice 9

Au cinéma, une place enfant coûte 77 ₪ et une place adulte 1010 ₪. Un groupe paie exactement 6161 ₪, avec au moins un enfant et au moins un adulte. Combien de personnes compte le groupe ?

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Réponse : 7

Corrigé :

7e+10a=61e≥1 a≥1\begin{aligned}7e + 10a &= 61 \\ \quad e \geq 1 \\ \ a \geq 1\end{aligned}

Une seule équation, en entiers positifs.

61−10a∈{51, 41, 31, 21, 11, 1}61 - 10a \in \{51,\ 41,\ 31,\ 21,\ 11,\ 1\}

On essaie chaque nombre d’adultes de 11 à 66.

21=7×3⇒(e,a)=(3,4)\begin{aligned}21 &= 7 \times 3 \Rightarrow (e, a) \\ &= (3, 4)\end{aligned}

Seul 2121 est un multiple de 77.

7 personnes : 33 enfants et 44 adultes. Une seule solution entière — c'est elle qui rend la question possible.

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Exercice 10

Avec 3030 ₪, en achetant des crayons à 22 ₪ et des gommes à 33 ₪, au moins un de chaque, on peut acheter 1414 articles au plus.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

2+3=52 + 3 = 5

D'abord un de chaque : la contrainte passe avant tout.

30−5=2525÷2=12 reste 1\begin{aligned}30 - 5 &= 25 \\ \quad 25 \div 2 &= 12 \ \text{reste} \ 1\end{aligned}

Tout le reste en crayons, les moins chers.

2+12=142 + 12 = 14

1414 articles pour 2929 ₪ ; un quinzième ferait au moins 3131 ₪.

Vrai. Le piège serait 1515 (30÷230 \div 2), qui oublie la gomme imposée.

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Exercice 11

Au marché, 22 pains et 11 fromage coûtent 2020 ₪ ; 11 pain, 11 fromage et 11 litre de lait coûtent 1818 ₪. Tous les prix sont des nombres entiers de shekels, et aucun article n'est gratuit. Combien coûtent ensemble un pain et un fromage ?

  1. 1414
  2. 1515
  3. Impossible à déterminer
  4. 1818
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Réponse : C Impossible à déterminer

Corrigé :

2p+f=20p+f+l=18\begin{aligned}2p + f &= 20 \\ \qquad p + f + l &= 18\end{aligned}

Deux phrases, trois prix.

λ(2p+f)+μ(p+f+l)=p+f\lambda (2p + f) + \mu (p + f + l) = p + f

Le lait disparaît seulement si μ=0\mu = 0.

λ(2p+f)≠p+f\lambda (2p + f) \neq p + f

Et 2p+f2p + f ne donne jamais autant de pains que de fromages : aucune combinaison.

(5,10,3):p+f=15(6,8,4):p+f=14\begin{aligned}(5, 10, 3) : p + f &= 15 \quad (6, 8, 4) : p + f \\ &= 14\end{aligned}

Deux situations permises, deux valeurs.

La bonne réponse : « Impossible à déterminer ». « 1515 » et « 1414 » sont chacune possibles, pas nécessaires. « 1818 » oublie le lait de la seconde phrase.

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