Au plus, au moins · Devinettes algébriques · Psychométriques

Sur les 235 devinettes relevées dans les annales, 34 demandent une borne : un nombre « au plus », « au moins », une valeur « possible » ou « impossible ».

C'est la famille la plus fréquente du sujet, et la plus ratée : on y cherche une réponse, alors que l'énoncé décrit plusieurs situations permises.

Le travail consiste à faire bouger la situation dans tous les sens autorisés, puis à regarder jusqu'où va le nombre demandé. Six gestes suffisent.

Geste 1 — lire la consigne mot à mot

Chaque mot de la consigne fixe ce qu'il faut prouver. « Au plus 12 » veut dire $12$ ou moins, « au moins 12 » veut dire $12$ ou plus ; seul « exactement » donne une valeur.

« Peut être » se prouve par un seul exemple qui respecte toutes les conditions. « Ne peut pas être » et « nécessairement » demandent un argument qui vaut dans toutes les situations.

\text{peut être}

un exemple construit suffit

\text{ne peut pas être}

il faut un argument pour tous les cas

\text{nécessairement}

un seul contre-exemple le détruit

Une borne n'est pas une valeur

Une bibliothèque de quartier prête au plus $4$ livres à chaque lecteur. Aujourd'hui, $9$ lecteurs sont passés. Que sait-on du nombre de livres prêtés ?

9 \times 4 = 36

Si chacun emporte le maximum, on atteint $36$ livres : c'est la borne haute.

9 \times 0 = 0

Rien n'oblige un lecteur à emprunter : la borne basse est $0$ .

0 \leq L \leq 36

« Au plus $36$ » est nécessairement vrai ; « $36$ livres » n'est que possible.

La borne prise pour la valeur exacte — le distracteur le plus rentable de la famille :

\text{au plus } 4 \text{ chacun} \Rightarrow L = 36

0 \leq L \leq 36

L'option « $36$ » est tentante parce que c'est le seul nombre qu'on a calculé. Mais la question « nécessairement » exige une phrase vraie dans toutes les situations, pas dans la plus favorable.

\min \text{ demandé} \Rightarrow \text{réponse} = \max

\text{chercher les deux bornes, puis relire}

Quand l'énoncé demande le minimum, l'examen place presque toujours le maximum parmi les options — et inversement. Relisez le mot de la consigne avant de cocher.

Un marchand remplit $5$ boîtes, chacune avec au moins $6$ œufs. La phrase « il y a $30$ œufs » est-elle possible ? Est-elle nécessairement vraie ?

Voir la réponse et le corrigé

Possible : $6$ œufs par boîte donnent $5 \times 6 = 30$ . Pas nécessaire : une boîte peut en contenir $7$ . Ce qui est nécessairement vrai, c'est « il y a au moins $30$ œufs ».

Geste 2 — pour être sûr, imaginer le pire cas

Une question « combien faut-il au minimum pour être sûr » ne parle pas de chance. Elle demande combien il en faut même quand tout tourne mal.

On construit la situation la plus défavorable, on la pousse jusqu'au bout, et on ajoute un élément : celui-là force le résultat.

Un sac contient $5$ billes rouges, $4$ bleues et $3$ vertes. On tire sans regarder. Combien de billes faut-il sortir, au minimum, pour être sûr d'avoir deux billes de même couleur ?

Et pour être sûr d'avoir deux billes bleues ?

Le même geste sert quand on compte des personnes : « au moins combien ont telle propriété ? » Placez d'abord tous ceux qui pourraient échapper à la propriété à l'endroit qui vous gêne le plus, puis comptez ce qui reste.

Une équipe de $16$ joueurs compte $9$ filles. Exactement $5$ joueurs mesurent plus de $1{,}60$ m. Au moins combien de filles mesurent $1{,}60$ m ou moins ?

Voir la réponse et le corrigé

$4$ . Pire cas : les $5$ grands sont tous des filles. Il reste alors $9 - 5 = 4$ filles, qui mesurent forcément $1{,}60$ m ou moins. Aucun cas ne fait descendre ce nombre plus bas, et ce cas est permis.

Geste 3 — deux ensembles qui se chevauchent

Dans un groupe de $N$ personnes, $A$ ont une propriété et $B$ en ont une autre. Le nombre de ceux qui ont les deux n'est pas fixé : il bouge entre deux bornes.

Écartez les deux groupes au maximum pour le minimum ; superposez-les pour le maximum.

\max(0,\ A + B - N) \ \leq \ \text{les deux} \ \leq \ \min(A,\ B)

si A + B dépasse N, le surplus est forcément commun ; et on ne peut pas être plus nombreux que le plus petit groupe

Le verger et la laiterie

Un kibboutz compte $60$ membres. $42$ travaillent au verger, $35$ à la laiterie. Entre quelles bornes se trouve le nombre de membres qui travaillent aux deux ? Et le nombre de ceux qui ne travaillent à aucun des deux ?

42 + 35 - 60 = 17

Groupes écartés : $77$ places demandées pour $60$ personnes, donc au moins $17$ sont comptées deux fois.

\min(42,\ 35) = 35

Groupes superposés : les $35$ de la laiterie sont tous aussi au verger.

\text{aucun} = 60 - (42 + 35 - \text{les deux})

La question inverse se lit sur la réunion des deux groupes.

\begin{aligned}60 - 60 &= 0 \quad ; \quad 60 - 42 \\ &= 18\end{aligned}

Avec $17$ en commun, la réunion occupe les $60$ membres : $0$ sans travail. Avec $35$ en commun, elle se réduit aux $42$ du verger : $18$ sans travail.

Les deux bornes voyagent en sens contraire. Le chevauchement le plus petit donne le plus grand nombre de personnes couvertes, donc le plus petit nombre de « ni l'un ni l'autre ». Ne mélangez pas les deux paires dans une même réponse.

Dans le même kibboutz de $60$ membres, avec $42$ au verger, combien travaillent au minimum aux deux si seuls $20$ membres sont à la laiterie ? Et s'ils ne sont que $15$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Avec $20$ : $42 + 20 - 60 = 2$ . Avec $15$ : $42 + 15 - 60 = -3$ , un nombre négatif — les deux groupes tiennent côte à côte sans se toucher, et le minimum vaut $0$ .

Deux formules appliquées trop vite :

42 + 15 - 60 = -3

\max(0,\ -3) = 0

Un nombre de personnes n'est jamais négatif. La formule $A + B - N$ ne sert que si $A + B$ dépasse $N$ .

\text{aucun} = N - A - B

\text{aucun} = N - (A + B - \text{les deux})

Soustraire $A$ puis $B$ retire deux fois ceux qui sont dans les deux groupes. Il faut les rendre une fois.

Geste 4 — réserver le minimum aux autres

Pour rendre une part aussi grande que possible, on donne d'abord à toutes les autres le moins que l'énoncé autorise. Le reste tombe sur la part visée.

Pour la rendre aussi petite que possible, on fait l'inverse. Tout le travail est de lire les contraintes : « au moins un de chaque », « tous différents », « jamais plus de tant d'écart ».

On range $31$ livres sur $5$ étagères. Chaque étagère porte au moins un livre, et deux étagères n'en portent jamais le même nombre. Combien de livres, au plus, sur l'étagère la plus remplie ?

Et au moins ? Si la plus remplie porte $m$ livres, les autres en portent au plus $m - 1$ , $m - 2$ , $m - 3$ , $m - 4$ .

Donc $5m - 10 \geq 31$ , soit $m \geq 8{,}2$ : au moins $9$ livres. Et $9$ est atteint : $9 + 8 + 7 + 4 + 3 = 31$ .

La contrainte d'écart se traite de la même façon. Si $37$ pots sont rangés sur $4$ étagères et que deux étagères diffèrent toujours de moins de $3$ pots, une étagère qui en porte $m$ laisse aux trois autres au moins $m - 2$ chacune : $m + 3(m - 2) \leq 37$ , donc $m \leq 10$ . Et dans l'autre sens $m + 3(m + 2) \geq 37$ , donc $m \geq 8$ .

Un vendeur dispose de $20$ ₪ pour acheter des fruits : une pomme coûte $2$ ₪, une mangue $5$ ₪, un ananas $9$ ₪. Il veut au moins un fruit de chaque sorte. Combien de fruits, au plus, peut-il acheter ?

Voir la réponse et le corrigé

$5$ . Un fruit de chaque sorte coûte $2 + 5 + 9 = 16$ ₪ : ce sont déjà $3$ fruits. Les $4$ ₪ qui restent vont au fruit le moins cher, soit $2$ pommes de plus. Total : $3 + 2 = 5$ fruits, pour $16 + 2 \times 2 = 20$ ₪ exactement. Le piège est de répondre $2$ — les pommes ajoutées — en oubliant les trois fruits réservés.

Remplissez le panier du vendeur : un fruit de chaque sorte d'abord.

Geste 5 — « lequel est impossible » : un exemple ou un argument

Devant quatre valeurs dont une seule ne peut pas se produire, on ne cherche pas la bonne réponse directement.

Pour chaque valeur possible, on construit un exemple complet. Pour la valeur impossible, on donne un argument de somme : même avec tout le reste au plus bas, le total dépasse ce qui est disponible.

$45$ bouteilles d'eau sont réparties en $4$ caisses, et deux caisses diffèrent toujours de moins de $3$ bouteilles. Laquelle de ces quantités ne peut pas être celle d'une caisse : $10$ , $11$ , $12$ ou $13$ ?

Avec $13$ dans une caisse, les trois autres en ont au moins $11$ chacune : $13 + 3 \times 11 = 46 > 45$ . Impossible.

Les trois autres sont possibles : $10 + 12 + 12 + 11 = 45$ , et $11 + 11 + 11 + 12 = 45$ montre à la fois $11$ et $12$ .

Commencez par les valeurs extrêmes parmi les options : l'impossible est presque toujours la plus grande ou la plus petite. Et quand une option passe, notez l'exemple qui la prouve — il en prouve souvent une deuxième.

Geste 6 — l'encadrement à deux trous

La consigne « tout au moins ___ et tout au plus ___ » demande deux extrêmes à la fois.

On les cherche séparément, chacun avec sa situation construite, puis on vérifie la paire : l'examen propose des options où un seul des deux nombres est juste.

Les présences d'un atelier

Un atelier de cuisine compte $8$ séances. Un participant « assidu » vient à au moins $6$ séances, un « occasionnel » à au plus $3$ . Le groupe réunit $4$ assidus et $5$ occasionnels. Complétez : le nombre total de présences vaut tout au moins ___ et tout au plus ___.

4 \times 6 + 5 \times 0 = 24

Le minimum : chaque assidu au plus bas de sa catégorie, chaque occasionnel absent.

4 \times 8 + 5 \times 3 = 47

Le maximum : chaque assidu à toutes les séances, chaque occasionnel au plus haut de la sienne.

(24\ ;\ 47)

Les deux situations sont permises, donc la paire est juste. Méfiez-vous de « $24$ ; $32$ », qui oublie les occasionnels dans le maximum.

L'ordre des réflexes, quand la question tombe

1. Soulignez le mot de la consigne : au plus, au moins, peut, ne peut pas, nécessairement. 2. « Être sûr » ? Construisez le pire cas, puis ajoutez un.

3. Deux groupes dans un tout ? $A + B - N$ pour le minimum commun, le plus petit groupe pour le maximum. 4. Une part à pousser au bout ? Réservez aux autres le minimum permis.

5. « Lequel est impossible » ? Un exemple par option possible, un argument de somme pour l'autre. 6. Deux trous ? Deux situations, puis la paire.

Exercices

Exercice 1

Dans un moshav de $80$ familles, $52$ familles ont un vélo électrique et $45$ ont un potager. Au moins combien de familles ont à la fois un vélo électrique et un potager ?

$45$
$35$
$17$
$28$

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Réponse : C $17$

Corrigé :

52 + 45 = 97 > 80

Les deux groupes réclament $97$ places pour $80$ familles.

97 - 80 = 17

Même écartés au maximum, $17$ familles sont forcément dans les deux groupes.

17 + 35 + 28 = 80

Et $17$ est atteint : $17$ avec les deux, $35$ avec le vélo seul, $28$ avec le potager seul, aucune sans rien.

La bonne réponse : « $17$ ». « $45$ » est le maximum — la borne opposée à celle qu'on demande. « $28$ » et « $35$ » sont $80 - 52$ et $80 - 45$ : le nombre de familles sans vélo, ou sans potager, qui ne répondent pas à la question.

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Exercice 2

Dans le tiroir d'une cuisine plongée dans le noir, il y a $8$ cuillères, $6$ fourchettes et $5$ couteaux. Combien d'ustensiles faut-il sortir, au minimum, pour être sûr d'avoir au moins $2$ couteaux ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

8 + 6 = 14

Pire cas : on sort d'abord toutes les cuillères et toutes les fourchettes, sans un seul couteau.

14 + 1 = 15

Le quinzième ustensile est un couteau, mais il n'en fait qu'un : $15$ ne suffit pas.

15 + 1 = 16

Il ne reste que des couteaux : le seizième donne le deuxième.

$16$ . Répondre $2$ suppose de la chance ; « être sûr » exige le pire cas. $15$ est l'étape de moins : elle garantit un couteau, pas deux.

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Exercice 3

Une classe de $40$ élèves est répartie en $6$ groupes de travail. Chaque groupe compte au moins $3$ élèves, et deux groupes n'ont jamais le même effectif. Combien d'élèves, au plus, peut compter le plus grand groupe ?

$25$
$35$
$10$
$15$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $15$

Corrigé :

3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25

Les cinq autres groupes reçoivent le moins possible, en respectant « au moins $3$ » et « tous différents ».

40 - 25 = 15

Tout le reste va au plus grand groupe.

3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 15

La répartition existe, et aucune ne fait mieux : les cinq autres ne peuvent pas descendre sous $25$ .

La bonne réponse : « $15$ ». « $25$ » oublie que les effectifs sont différents ( $40 - 5 \times 3$ ). « $35$ » oublie les deux contraintes et donne un seul élève aux autres. « $10$ » est le minimum du plus grand groupe ( $6m - 15 \geq 40$ ) : la bonne méthode, appliquée à la mauvaise borne.

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Exercice 4

Les $50$ membres d'une chorale se répartissent en $3$ pupitres, et l'écart entre deux pupitres est toujours inférieur à $5$ chanteurs. Quel effectif ne peut pas être celui d'un pupitre ?

$16$
$20$
$14$
$19$

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Réponse : B $20$

Corrigé :

14 + 18 + 18 = 50

$14$ est possible : l'écart le plus grand vaut $4$ .

\begin{aligned}16 + 17 + 17 &= 50 \quad ; \quad 19 + 15 + 16 \\ &= 50\end{aligned}

$16$ et $19$ sont possibles, avec des écarts d'au plus $4$ .

20 + 2 \times 16 = 52 > 50

Avec $20$ chanteurs, chacun des deux autres pupitres en a au moins $16$ : il faudrait $52$ membres.

La bonne réponse : « $20$ ». « $14$ » et « $19$ » sont les pièges des bords : ce sont les deux extrêmes permis, et chacun a son exemple. « $16$ », proche du tiers de $50$ , est évidemment possible.

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Exercice 5

Un centre communautaire a $50$ inscrits. $21$ suivent le cours de danse et $18$ le cours de poterie. Complétez : le nombre d'inscrits qui ne suivent aucun des deux cours vaut tout au moins ___ et tout au plus ___.

$11$ ; $29$
$0$ ; $18$
$0$ ; $29$
$11$ ; $32$

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Réponse : A $11$ ; $29$

Corrigé :

21 + 18 = 39 \leq 50

Les deux cours tiennent côte à côte : le chevauchement peut aller de $0$ à $18$ .

50 - 39 = 11

Minimum de « aucun » : aucun inscrit ne suit les deux cours, la réunion couvre $39$ personnes.

50 - 21 = 29

Maximum de « aucun » : les $18$ de poterie sont tous en danse, la réunion se réduit à $21$ .

La bonne réponse : « $11$ ; $29$ ». « $0$ ; $18$ » encadre le nombre de ceux qui suivent les deux cours — l'autre inconnue. « $11$ ; $32$ » calcule le maximum avec $50 - 18$ , en superposant le grand groupe dans le petit, ce qui est impossible. « $0$ ; $29$ » a le bon maximum, mais $0$ exigerait $50$ places couvertes alors qu'il n'y en a que $39$ .

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Exercice 6

Un minibus de $20$ places fait $3$ trajets dans la journée, et il ne transporte jamais plus de $20$ passagers à la fois. Il a donc nécessairement transporté $60$ passagers.

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Réponse : Faux

Corrigé :

3 \times 20 = 60

C'est la borne haute, atteinte seulement si le minibus est plein à chaque trajet.

0 \leq P \leq 60

Rien n’oblige un trajet à être plein.

Faux : « au plus $20$ » par trajet donne « au plus $60$ », pas « $60$ ». La borne prise pour la valeur exacte est le distracteur le plus rentable de la famille.

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Exercice 7

Un tiroir contient $6$ chaussettes noires, $4$ grises et $2$ blanches, mélangées. Dans le noir, combien de chaussettes faut-il sortir, au minimum, pour être sûr d'avoir deux chaussettes de même couleur ?

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Réponse : 4

Corrigé :

1 + 1 + 1 = 3

Le pire cas : une chaussette de chaque couleur, et toujours aucune paire.

3 + 1 = 4

La quatrième reprend forcément une couleur déjà sortie.

4. Le nombre de chaussettes de chaque couleur ne compte pas ici : seul compte le nombre de couleurs. Les distracteurs $7$ ou $12$ additionnent des chaussettes.

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Exercice 8

Dans un groupe de $40$ touristes, $28$ parlent anglais et $22$ parlent français. Au plus combien de touristes parlent les deux langues ?

$12$
$18$
$10$
$22$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $22$

Corrigé :

\min(28,\ 22) = 22

On superpose : les $22$ francophones parlent tous aussi anglais.

28 + 22 - 40 = 10

Le minimum, lui, vaut $10$ — c'est l'autre borne.

La bonne réponse : « $22$ ». « $10$ » est le minimum : l'examen place l'autre borne à côté. « $12$ » vaut $40 - 28$ , « $18$ » vaut $40 - 22$ : des personnes hors d'un groupe, pas dans les deux.

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Exercice 9

Sept amis se partagent $40$ bonbons. Chacun en reçoit au moins $2$ , et deux amis n'en reçoivent jamais le même nombre. Combien de bonbons, au plus, reçoit le mieux servi ?

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Réponse : 13

Corrigé :

2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27

Les six autres reçoivent le moins possible, en restant tous différents et au moins $2$ .

40 - 27 = 13

Le reste va au mieux servi. Répartition $2, 3, 4, 5, 6, 7, 13$ : tout tient.

13. Qui oublie « tous différents » donne $2$ à chacun des six autres et trouve $28$ . Qui oublie le minimum de $2$ part de $1$ et trouve $19$ .

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Exercice 10

On répartit $30$ œufs dans $4$ boîtes, et deux boîtes diffèrent toujours de moins de $2$ œufs. Une des boîtes peut contenir $9$ œufs.

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Réponse : Faux

Corrigé :

9 + 3 \times 8 = 33 > 30

Avec $9$ dans une boîte, les trois autres en ont au moins $8$ chacune.

7 + 7 + 8 + 8 = 30

Les seules quantités possibles sont $7$ et $8$ .

Faux : l'argument de somme le prouve. Même avec les trois autres boîtes au plus bas, il faudrait $33$ œufs.

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Exercice 11

Un club de lecture se réunit $6$ fois. Ses $3$ membres « fidèles » viennent à au moins $5$ rencontres ; ses $4$ membres « curieux » à au plus $2$ . Complétez : le nombre total de présences vaut tout au moins ___ et tout au plus ___.

$15$ ; $18$
$15$ ; $26$
$15$ ; $30$
$23$ ; $26$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $15$ ; $26$

Corrigé :

3 \times 5 + 4 \times 0 = 15

Le minimum : chaque fidèle au plus bas, chaque curieux absent.

3 \times 6 + 4 \times 2 = 26

Le maximum : chaque fidèle partout, chaque curieux au plus haut.

La bonne réponse : « $15$ ; $26$ ». « $15$ ; $18$ » oublie les curieux dans le maximum. « $23$ ; $26$ » les compte au plus haut dans le minimum. « $15$ ; $30$ » leur donne $3$ rencontres, au-delà de leur borne.

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Geste 1 — lire la consigne mot à mot

Geste 2 — pour être sûr, imaginer le pire cas

Geste 3 — deux ensembles qui se chevauchent

Geste 4 — réserver le minimum aux autres

Geste 5 — « lequel est impossible » : un exemple ou un argument

Geste 6 — l'encadrement à deux trous

L'ordre des réflexes, quand la question tombe

Exercices

La suite se pratique sur elev