Suites, cycles et rangs

Une bonne cinquantaine des devinettes relevées racontent quelque chose qui se répète : une quantité qui grandit chaque jour, des poteaux le long d'une clôture, une file d'attente, un bus qui repasse.

Le calcul y est presque toujours facile. Ce qui coûte des points, c'est le décompte : une étape de trop, une étape de moins, un poteau oublié, un bout compté deux fois.

Ce cours apprend donc surtout à compter les pas avant de calculer. Six gestes, puis le bilan des réflexes des quatre cours du chapitre.

Quand la règle change d'une étape à l'autre — « $+k$ le jour, $\times k$ la nuit », ou une alternance —, n'essayez pas de trouver une formule.

Écrivez les termes l'un après l'autre, en notant l'opération appliquée. Cinq ou six lignes suffisent presque toujours, et elles ne se trompent pas.

Tamar part du nombre $3$, puis applique tour à tour « ajouter $5$ » et « multiplier par $2$ », en commençant par l'addition. Quel est le septième nombre écrit, en comptant le $3$ du départ ?

Quand l'énoncé donne la fin et demande le début, on remonte : chaque opération est remplacée par son inverse, prise dans l'ordre inverse.

« Garder les $\dfrac{3}{5}$ » se défait en multipliant par $\dfrac{5}{3}$. « Doubler puis retirer $15$ » se défait en ajoutant $15$ puis en divisant par $2$.

Chaque semaine, le nombre de visiteurs d'une exposition vaut les $\dfrac{3}{5}$ de celui de la semaine précédente. La quatrième semaine, $54$ personnes sont venues. Combien étaient venues la première semaine ?

Remontez-le vous-même : la dernière opération d'abord.

Sur une ligne, $n$ poteaux délimitent $n - 1$ intervalles : un poteau de plus que d'écarts, parce que les deux bouts en portent un.

Sur un cercle, le dernier intervalle revient au premier poteau : $n$ poteaux, $n$ intervalles.

Les étages suivent la règle de la ligne : du 2e au 6e étage, on franchit $6 - 2 = 4$ volées de marches.

Une personne $k$-ième depuis le début et $m$-ième depuis la fin est dans une file de $k + m - 1$ personnes : on l'a comptée deux fois.

Le mot « entre » exclut les deux bornes : entre la place $a$ et la place $b$, il y a $b - a - 1$ personnes. « De … à … inclus » les garde : $b - a + 1$.

Dans la file d'attente d'un bus, Noa est la $9$e depuis l'avant et la $14$e depuis l'arrière. Combien de personnes attendent ? Yossi est le $3$e depuis l'avant : combien de personnes se trouvent entre Yossi et Noa ?

Tout ce qui revient régulièrement se traite par la division avec reste. Les jours de la semaine reviennent tous les $7$ jours : dans $d$ jours, on avance du reste de $d$ par $7$.

Deux rythmes qui repartent ensemble coïncident de nouveau au bout de leur PPCM.

Sur un cercle de $N$ places, un saut de $k$ places revient au départ au bout de $N / \text{pgcd}(N,\ k)$ sauts.

Les douze enfants en cercle : lancez le ballon vous-même, avec un saut de $4$, puis de $5$.

Certaines devinettes portent sur les chiffres d'un nombre sans demander d'écrire $10a + b$. On y raisonne sur des bornes, et on teste les candidats.

La somme des chiffres d'un nombre à trois chiffres va de $1$ (pour $100$) à $27$ (pour $999$). Un nombre qui se lit pareil à l'envers est fixé par sa première moitié.

Quand plusieurs contraintes pèsent sur les chiffres, on liste les possibilités de la plus forte, puis on élimine.

Traduire. Nommez une seule inconnue, celle qui rend les autres faciles à écrire. « De plus » s'ajoute, « fois plus » se multiplie.

Entre deux âges, l'écart ne change jamais. Pour les têtes et les pattes, supposez tout du même type puis comptez les conversions. Pour des consécutifs, partez du milieu.

Systèmes. Additionnez ou soustrayez les équations entières avant de chercher une inconnue. Si l'on demande une combinaison — un stylo et un cahier —, cherchez-la directement.

Avec une seule équation en entiers, listez les solutions, et gardez « au moins un de chaque ».

Extrêmes. Soulignez le mot de la consigne. Pour être sûr, prenez le pire cas. Deux groupes dans un tout : $A + B - N$ au moins, le plus petit au plus.

Pour pousser une part, réservez le minimum aux autres. « Impossible » se prouve par une somme, « possible » par un exemple.

Suites. Comptez les pas avant de calculer. Remontez avec l'opération inverse, dans l'ordre inverse.

$n$ poteaux font $n - 1$ écarts, $n$ sur un cercle. Deux rangs donnent $k + m - 1$. Un cycle se lit sur un reste ou un PPCM.