On résout ensemble · Devinettes algébriques · Psychométriques

Six devinettes du style de l'examen, une par geste : l'écart entre deux âges, tout du même type, deux équations entières, deux groupes serrés aux deux bouts, le minimum aux autres, les sauts sur un cercle.

Chacune est d'abord déroulée avec vous, une étape par clic. Puis vient sa jumelle : une autre histoire, d'autres nombres, le même geste — et une question de plus, sous une autre forme.

Avant chaque clic, dites ce que vous feriez. C'est l'écart entre votre réflexe et l'étape qui apparaît qui vous apprend quelque chose.

Aucune des six scènes ne commence par nommer toutes les inconnues et poser un système. Ce chemin existe, mais il est long, et l'examen compte les minutes. Cherchez d'abord la quantité qui ne bouge pas, ou celle qu'on vous demande vraiment.

1 — Deux âges : l'écart ne bouge pas

Votre question jumelle, puis une affirmation à juger.

2 — Têtes et pattes : supposer, puis convertir

Votre question jumelle, puis une valeur à écrire.

3 — Deux achats : combiner les équations entières

Votre question jumelle, puis une affirmation à juger.

4 — Deux groupes : au moins, au plus

Votre question jumelle.

5 — Maximiser l'un : le minimum aux autres

Votre question jumelle.

6 — Des sauts sur un cercle

Votre question jumelle, puis une valeur à écrire.

Si vos six jumelles tombent juste, les gestes du chapitre sont acquis : les cinq séries qui suivent changent l'habillage de ces gestes, et les mélangent.

Exercices

Exercice 1

Aujourd'hui, une grand-mère a $5$ fois l'âge de son petit-fils. Dans $14$ ans, elle n'aura plus que $3$ fois son âge. Quel âge a la grand-mère aujourd'hui ?

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Réponse : 70

Corrigé :

{5p - p = 4p}

Une part pour le petit-fils, cinq pour la grand-mère : l'écart vaut quatre parts, aujourd'hui comme dans $14$ ans.

{3(p + 14) - (p + 14) = 2(p + 14)}

Dans $14$ ans, elle aura trois fois son âge : l'écart vaudra alors deux fois l'âge du petit-fils.

{4p = 2(p + 14) \Rightarrow 2p = 28 \Rightarrow p = 14}

Les deux écritures du même écart sont égales.

{5 \times 14 = 70}

Vérification : dans $14$ ans, $84 = 3 \times 28$ .

$70$ ans. Répondre $14$ donne l'âge du petit-fils, pas celui qu'on demande. Et ajouter les $14$ ans à un seul des deux mène à une équation fausse : ils vieillissent ensemble.

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Exercice 2

Dans un parking, il n'y a que des voitures ( $4$ roues) et des motos ( $2$ roues) : $30$ véhicules et $94$ roues en tout. Combien y a-t-il de motos ?

$47$
$26$
$17$
$13$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $13$

Corrigé :

{30 \times 4 = 120}

On suppose que les $30$ véhicules sont des voitures.

{120 - 94 = 26}

C'est $26$ roues de trop.

{26 \div 2 = 13}

Changer une voiture en moto retire $2$ roues : il faut $13$ conversions.

{17 \times 4 + 13 \times 2 = 68 + 26 = 94}

Vérification.

La bonne réponse : « $13$ ». « $17$ » est le nombre de voitures, la réponse à l'autre question. « $26$ » est l'excès de roues, qu'on a oublié de diviser par ce que retire une conversion. « $47$ » divise les $94$ roues par $2$ , comme si tous étaient des motos — sans jamais regarder les $30$ véhicules.

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Exercice 3

Au café du marché, $4$ cafés et $1$ gâteau coûtent $50$ ₪ ; $1$ café et $4$ gâteaux coûtent $65$ ₪. Combien coûtent ensemble un café et un gâteau ?

$115$ ₪
$23$ ₪
$14$ ₪
$9$ ₪

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $23$ ₪

Corrigé :

{(4c + g) + (c + 4g) = 5c + 5g}

On additionne les deux commandes entières.

{5(c + g) = 50 + 65 = 115}

Cinq paires café-gâteau.

{c + g = 23}

Une paire. En vérification seulement : $c = 9$ et $g = 14$ donnent $36 + 14 = 50$ et $9 + 56 = 65$ .

La bonne réponse : « $23$ ₪ ». « $115$ ₪ » est le prix des cinq paires, pas d'une seule. « $14$ ₪ » et « $9$ ₪ » sont les prix d'un gâteau seul et d'un café seul : justes, mais ce n'est pas la question — et les trouver a coûté tout un système.

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Exercice 4

Dans une classe de $32$ élèves, $20$ font du football et $25$ de la natation. Combien d'élèves pratiquent les deux sports ?

au moins $0$ , au plus $20$
au moins $5$ , au plus $20$
au moins $13$ , au plus $20$
au moins $13$ , au plus $25$

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Réponse : C au moins $13$ , au plus $20$

Corrigé :

{20 + 25 - 32 = 13}

Les deux groupes serrés aux deux bouts de la classe débordent encore l'un sur l'autre de $13$ élèves.

{\min(20, 25) = 20}

Au plus, tous les footballeurs nagent aussi : le plus petit groupe entier.

La bonne réponse : « au moins $13$ , au plus $20$ ». « au moins $5$ » calcule $25 - 20$ , un nombre qui ne tient pas compte des $32$ places. « au plus $25$ » oublie qu'un élève qui fait les deux compte parmi les $20$ footballeurs. « au moins $0$ » serait vrai si la classe comptait $45$ élèves ou plus.

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Exercice 5

Une bibliothécaire range $40$ livres sur $5$ étagères. Chaque étagère en porte au moins $3$ , et deux étagères n'en portent jamais le même nombre. Combien de livres, au plus, peut porter une seule étagère ?

$8$
$28$
$22$
$18$

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Réponse : C $22$

Corrigé :

{3 + 4 + 5 + 6 = 18}

Les quatre autres étagères reçoivent le moins permis : au moins $3$ , et toutes différentes.

{40 - 18 = 22}

Tout le reste va sur la cinquième.

{22 > 6}

Elle est différente des quatre autres : la contrainte tient, la borne est atteinte.

La bonne réponse : « $22$ ». « $28$ » donne $3$ livres à chacune des quatre autres ( $40 - 12$ ), et oublie « jamais le même nombre ». « $8$ » partage également, ce qui est justement interdit. « $18$ » est ce que prennent les quatre autres, pas ce qui reste.

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Exercice 6

Un jeu de lumières compte $15$ lampes en cercle. La lampe allumée au départ est la lampe $0$ ; à chaque seconde, la lumière saute de $6$ lampes dans le sens des aiguilles d'une montre. Combien de lampes ne s'allument jamais ?

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Réponse : 10

Corrigé :

{0 \to 6 \to 12 \to 3 \to 9 \to 0}

On suit la lumière : $12 + 6 = 18$ , soit la lampe $3$ après un tour de $15$ .

{\dfrac{15}{\operatorname{pgcd}(15, 6)} = \dfrac{15}{3} = 5}

La règle le confirme : $5$ lampes s'allument, les multiples de $3$ .

{15 - 5 = 10}

Les autres restent éteintes.

$10$ lampes. Répondre $5$ donne le nombre de lampes allumées, pas celui des éteintes. Et diviser $15$ par $6$ ne donne aucun nombre de sauts : c'est le plus grand diviseur commun, $3$ , qui fixe la longueur du tour.

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Exercice 7

Une mère a $28$ ans de plus que sa fille. Dans $10$ ans, elle aura $38$ ans de plus qu'elle.

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Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}(M + 10) - (F + 10) &= M - F \\ &= 28\end{aligned}

Dans $10$ ans, on ajoute $10$ aux deux âges.

Faux : l'écart reste $28$ ans pour toujours. Le $38$ ajoute les $10$ ans à une seule des deux.

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Exercice 8

Une ferme élève des canards et des moutons : $20$ têtes et $56$ pattes en tout. Combien y a-t-il de moutons ?

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Réponse : 8

Corrigé :

20 \times 2 = 40

L'hypothèse : les $20$ animaux sont des canards.

\begin{aligned}56 - 40 &= 16 \\ \quad 16 \div 2 &= 8\end{aligned}

Chaque canard changé en mouton ajoute $2$ pattes.

8 moutons, et $12$ canards. Le distracteur $12$ est l'autre sorte d'animal.

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Exercice 9

Si $2$ crayons et $3$ gommes coûtent $13$ ₪, et $3$ crayons et $2$ gommes coûtent $12$ ₪, alors un crayon et une gomme coûtent ensemble $5$ ₪.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}(2c + 3g) + (3c + 2g) &= 5c + 5g \\ &= 13 + 12 \\ &= 25\end{aligned}

On additionne les deux achats : autant de crayons que de gommes.

\begin{aligned}c + g &= 25 \div 5 \\ &= 5\end{aligned}

Une seule division.

Vrai : la paire sort de l'addition, sans connaître ni le crayon ( $c = 2$ ) ni la gomme ( $g = 3$ ).

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Exercice 10

$10$ enfants sont assis en cercle. Le ballon saute toujours de $4$ places dans le même sens. Au bout de combien de passes revient-il, pour la première fois, à l'enfant qui l'a lancé ?

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Réponse : 5

Corrigé :

0 \to 4 \to 8 \to 2 \to 6 \to 0

On suit les places, de $4$ en $4$ , en retirant $10$ quand on dépasse.

\begin{aligned}\dfrac{10}{\text{pgcd}(10,\ 4)} &= \dfrac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

Le plus grand diviseur commun fixe la longueur du tour.

5 passes, et seuls $5$ enfants touchent le ballon. Le distracteur $10$ suppose que le ballon passe par tous.

Vérifier la réponse sur elev

1 — Deux âges : l'écart ne bouge pas

2 — Têtes et pattes : supposer, puis convertir

3 — Deux achats : combiner les équations entières

4 — Deux groupes : au moins, au plus

5 — Maximiser l'un : le minimum aux autres

6 — Des sauts sur un cercle

Exercices

La suite se pratique sur elev