Série 1 — dix questions · Diviseurs et multiples · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez un chrono : douze minutes pour la série. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J — puis corrigez d'un bloc : comptez vos points sur dix et notez votre temps.

Huit ou plus dans le temps imparti : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Si vous vous surprenez à écrire la liste complète des diviseurs d'un nombre, un réflexe vous manque : passez par la décomposition. Et gardez la liste des premiers jusqu'à 50 sous la main — 51, 57 et 91 n'en font pas partie.

Exercices

Exercice 1

Combien le nombre 45 possède-t-il de diviseurs entiers positifs ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

45 = 3^2 \times 5

la décomposition d'abord

\begin{aligned}(2+1)(1+1) &= 3 \times 2 \\ &= 6\end{aligned}

on ajoute 1 à chaque exposant

6 diviseurs : $1, 3, 5, 9, 15, 45$ . Nombre pair, comme il se doit — 45 n'est pas un carré parfait.

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Exercice 2

Parmi les quatre nombres ci-dessous, un seul n'est pas premier. Lequel ?

$43$
$51$
$31$
$37$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $51$

Corrigé :

5 + 1 = 6

la somme des chiffres de 51 est divisible par 3

51 = 3 \times 17

51. C'est le faux ami le plus courant de l'examen, avec $57 = 3 \times 19$ et $91 = 7 \times 13$ . Le critère de 3 démasque $51$ et $57$ en une seconde ; $91$ , dont les chiffres font $10$ , ne se rend qu'au test par $7$ .

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Exercice 3

Lequel des nombres suivants est un diviseur de 84 ?

$9$
$14$
$5$
$8$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $14$

Corrigé :

84 = 2^2 \times 3 \times 7

la carte d'identité de 84

14 = 2 \times 7

les deux facteurs sont présents — donc 14 divise 84

14, puisque $84 = 14 \times 6$ . Les trois autres tombent au critère : 84 ne finit ni par 0 ni par 5, ses trois derniers chiffres ne se divisent pas par 8, et $8 + 4 = 12$ n'est pas divisible par 9.

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Exercice 4

Quel est le plus petit nombre premier strictement supérieur à 90 ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 97

Corrigé :

90 \to 91,\ 92,\ 93 \ldots

on part de 90 et on monte, en écartant d'abord les pairs

91 = 7 \times 13

le piège classique — 91 n'est pas premier

\begin{aligned}93 &= 3 \times 31 \qquad 95 \\ &= 5 \times 19\end{aligned}

et 92, 94, 96 sont pairs

97

ni 2, ni 3, ni 5, ni 7 ne le divisent

97. On ne teste que les premiers jusqu'à la racine : $10^2 = 100 > 97$ , donc s'arrêter à 7 suffit.

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Exercice 5

Quel est le plus grand commun diviseur de 36 et de 48 ?

$18$
$4$
$12$
$6$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $12$

Corrigé :

\begin{aligned}36 &= 2^2 \times 3^2 \qquad 48 \\ &= 2^4 \times 3\end{aligned}

les deux décompositions

2^2 \times 3 = 12

chaque facteur commun, à l'exposant le plus petit

12. Contrôle immédiat : 12 divise bien 36 et 48, et aucun nombre plus grand ne le fait — 18 ne divise pas 48.

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Exercice 6

Quel est le plus petit commun multiple de 6 et de 8 ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24

Corrigé :

\begin{aligned}6 &= 2 \times 3 \qquad 8 \\ &= 2^3\end{aligned}

2^3 \times 3 = 24

chaque facteur présent, à l'exposant le plus grand

24. Contrôle par le produit : $\text{PGCD} \times \text{PPCM} = 2 \times 24 = 48 = 6 \times 8$ .

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Exercice 7

$x$ est un entier divisible par 12. Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

$x$ est impair
$x$ est divisible par 6
$x$ est divisible par 5
$x$ est divisible par 8

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $x$ est divisible par 6

Corrigé :

12 = 2^2 \times 3

tout diviseur de 12 divise aussi $x$

6 = 2 \times 3

6 est bien contenu dans 12

Divisible par 6. Un multiple de 12 hérite de tous les diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6 et 12. En revanche 8 n'est pas un diviseur de 12, et $x = 12$ suffit à le montrer.

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Exercice 8

Combien y a-t-il de multiples de 7 entre 1 et 100 inclus ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14

Corrigé :

100 : 7 = 14{,}28\ldots

on divise la borne haute

\Rightarrow

on garde la partie entière

14 multiples, de $7$ à $98$ . On ne soustrait rien ici : l'intervalle part bien de 1.

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Exercice 9

Un entier $n$ possède exactement 3 diviseurs entiers positifs. Lequel des nombres suivants peut être $n$ ?

$8$
$12$
$25$
$6$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $25$

Corrigé :

\Rightarrow

Un nombre impair de diviseurs signale un carré parfait — un seul candidat en est un.

\begin{aligned}25 &= 5^2 \Rightarrow (2+1) \\ &= 3\end{aligned}

trois diviseurs : 1, 5 et 25

25. Les autres tombent tout de suite : 6 et 8 en ont quatre, 12 en a six. Et un nombre à exactement trois diviseurs est toujours le carré d'un nombre premier.

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Exercice 10

Quel est le plus grand diviseur de 91, autre que 91 lui-même ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 13

Corrigé :

91 = 7 \times 13

91 n'est pas premier, malgré les apparences

1,\ 7,\ 13,\ 91

la liste complète de ses diviseurs

13. Le plus grand diviseur propre d'un nombre est toujours le quotient par son plus petit diviseur autre que 1 — ici $91 : 7 = 13$ .

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Exercice 11

Le nombre $91$ est premier.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

9 + 1 = 10

ni 2, ni 3, ni 5

91 = 7 \times 13

l'essai par 7

Faux. $91 = 7 \times 13$ : le faux ami le plus courant, que le critère de $3$ ne démasque pas.

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Exercice 12

Complétez la liste des paires.

Les diviseurs de 28 vont par paires : 1 × 28, 2 × ____, 4 × ____. 28 a donc ____ diviseurs.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Les diviseurs de 28 vont par paires : 1 × 28, 2 × 14, 4 × 7. 28 a donc 6 diviseurs.

Corrigé :

\begin{aligned}28 &= 1 \times 28 \\ &= 2 \times 14 \\ &= 4 \times 7\end{aligned}

3 ne divise pas 28, et 6 dépasse le milieu

\begin{aligned}28 &= 2^2 \times 7 \to (2+1)(1+1) \\ &= 6\end{aligned}

le contrôle par les exposants

6 diviseurs : $1, 2, 4, 7, 14, 28$ . Trois paires, aucune repliée : $28$ n'est pas un carré.

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Exercice 13

Rangez ces nombres du moins de diviseurs au plus de diviseurs.

$12$
$13$
$25$
$27$
$36$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $13$ · $25$ · $27$ · $12$ · $36$

Corrigé :

\begin{aligned}13 \to 2 \\ \quad 25 &= 5^2 \to 3 \\ \quad 27 &= 3^3 \to 4\end{aligned}

\begin{aligned}12 &= 2^2 \times 3 \to 6 \\ \quad 36 &= 2^2 \times 3^2 \to 9\end{aligned}

$2 < 3 < 4 < 6 < 9$ . $27$ est plus grand que $12$ , et il a pourtant moins de diviseurs.

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Exercices

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