Série 2 — dix questions · Diviseurs et multiples · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez un chrono : douze minutes pour la série. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J — puis corrigez d'un bloc : comptez vos points sur dix et notez votre temps.

Huit ou plus dans le temps imparti : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Toute cette série se joue sur une seule habitude : décomposer avant de répondre. Le nombre de diviseurs se lit sur les exposants, le PGCD prend les plus petits, le PPCM les plus grands.

Exercices

Exercice 1

Quelle est la décomposition de 144 en facteurs premiers ?

$2^3 \times 3^3$
$2^4 \times 3^3$
$2^2 \times 3^4$
$2^4 \times 3^2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $2^4 \times 3^2$

Corrigé :

144 = 16 \times 9

une coupe évidente

\begin{aligned}16 &= 2^4 \qquad 9 \\ &= 3^2\end{aligned}

144 = 2^4 \times 3^2

$2^4 \times 3^2$ . Contrôle en une seconde : $16 \times 9 = 144$ . Les trois autres donnent 216, 324 et 432 — un simple ordre de grandeur les élimine.

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Exercice 2

Combien le nombre 120 possède-t-il de diviseurs entiers positifs ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

120 = 2^3 \times 3 \times 5

la décomposition

(3+1)(1+1)(1+1) = 4 \times 2 \times 2

on ajoute 1 à chaque exposant

= 16

16 diviseurs. Les écrire un par un aurait pris une minute et en aurait sûrement oublié un.

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Exercice 3

On donne $a = 2^2 \times 3 \times 7$ . Combien $a$ possède-t-il de diviseurs premiers différents ?

$24$
$4$
$3$
$12$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $3$

Corrigé :

2,\ 3,\ 7

on compte les facteurs premiers différents

\Rightarrow

les répétitions du 2 ne comptent qu'une fois

3. Le distracteur $12$ est le nombre total de diviseurs, $(2+1)(1+1)(1+1)$ : c'est exactement la confusion que la question cherche. « Diviseurs premiers différents » ne demande jamais ce calcul-là.

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Exercice 4

$a$ est un entier positif qui n'est pas un nombre premier. Le nombre de diviseurs premiers différents de $a^2$ est —

impossible à déterminer sans connaître $a$
plus petit que celui de $a$
plus grand que celui de $a$
égal à celui de $a$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D égal à celui de $a$

Corrigé :

a = p^m \times q^n

une décomposition quelconque

a^2 = p^{2m} \times q^{2n}

élever au carré double les exposants

\Rightarrow

aucun facteur premier nouveau n'apparaît

Égal. C'est vrai pour tout $a$ , sans exception. Ne confondez pas avec le nombre de diviseurs, qui lui augmente beaucoup : $a = 6$ en a 4, et $a^2 = 36$ en a 9.

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Exercice 5

Quel est le plus grand commun diviseur de 84 et de 126 ?

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Réponse : 42

Corrigé :

84 = 2^2 \times 3 \times 7

126 = 2 \times 3^2 \times 7

2 \times 3 \times 7 = 42

chaque facteur commun, à l'exposant le plus petit

42. Contrôle : $84 = 42 \times 2$ et $126 = 42 \times 3$ — et 2 et 3 n'ont plus rien en commun, signe qu'on est allé au bout.

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Exercice 6

Quel est le plus petit commun multiple de 9 et de 12 ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

\begin{aligned}9 &= 3^2 \qquad 12 \\ &= 2^2 \times 3\end{aligned}

2^2 \times 3^2 = 36

chaque facteur présent, à l'exposant le plus grand

36. Le produit $9 \times 12 = 108$ est bien un multiple commun, mais pas le plus petit : il faut le diviser par le PGCD, qui vaut 3.

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Exercice 7

Pour deux entiers positifs $a$ et $b$ , le PGCD vaut 6 et le PPCM vaut 72. Que vaut $a \times b$ ?

$432$
$12$
$216$
$78$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $432$

Corrigé :

\text{PGCD}(a,b) \times \text{PPCM}(a,b) = a \times b

la relation à connaître

6 \times 72 = 432

432. Le distracteur $78$ est la somme $6 + 72$ : le réflexe d'addition n'a rien à faire ici. Un couple qui convient : $a = 24$ et $b = 18$ .

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Exercice 8

Combien le nombre $2^5 \times 3$ possède-t-il de diviseurs entiers positifs ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

(5+1)(1+1)

on ajoute 1 à chaque exposant — le 3 porte l'exposant 1

= 6 \times 2 = 12

12. L'exposant invisible est celui qu'on oublie : $3$ s'écrit $3^1$ , et il apporte donc bien un facteur 2.

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Exercice 9

Lequel des nombres suivants possède le plus grand nombre de diviseurs entiers positifs ?

$24$
$16$
$25$
$29$

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Réponse : A $24$

Corrigé :

16 = 2^4 \Rightarrow 5

\begin{aligned}24 &= 2^3 \times 3 \Rightarrow 4 \times 2 \\ &= 8\end{aligned}

25 = 5^2 \Rightarrow 3 \qquad 29 \Rightarrow 2

29 est premier : deux diviseurs, le minimum

24, avec huit diviseurs. Le plus grand nombre n'est pas le mieux fourni : 29, le plus grand des quatre, en a le moins. Ce sont les exposants variés qui font le nombre de diviseurs, pas la taille.

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Exercice 10

Quel est le plus petit entier positif divisible à la fois par 4, par 6 et par 10 ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

\begin{aligned}4 &= 2^2 \qquad 6 \\ &= 2 \times 3 \qquad 10 \\ &= 2 \times 5\end{aligned}

2^2 \times 3 \times 5 = 60

chaque facteur présent, à l'exposant le plus grand

60. Multiplier les trois nombres donnerait 240 : un multiple commun, mais quatre fois trop grand. Le PPCM ne compte le facteur 2 qu'une fois, à sa plus forte puissance.

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Exercice 11

Le PGCD de $18$ et $24$ vaut $6$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}18 &= 2 \times 3^2 \qquad 24 \\ &= 2^3 \times 3\end{aligned}

\begin{aligned}\text{PGCD} &= 2 \times 3 \\ &= 6\end{aligned}

les plus petits exposants

Vrai. Contrôle par le produit : $\text{PPCM} = 72$ , et $6 \times 72 = 432 = 18 \times 24$ .

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Exercice 12

Complétez.

PGCD(20, 30) = ____ et PPCM(20, 30) = ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : PGCD(20, 30) = 10 et PPCM(20, 30) = 60.

Corrigé :

\begin{aligned}20 &= 2^2 \times 5 \qquad 30 \\ &= 2 \times 3 \times 5\end{aligned}

\begin{aligned}\text{PGCD} &= 2 \times 5 \\ &= 10 \qquad \text{PPCM} \\ &= 2^2 \times 3 \times 5 \\ &= 60\end{aligned}

\begin{aligned}10 \times 60 &= 600 \\ &= 20 \times 30\end{aligned}

le contrôle

Le $3$ manque à $20$ : il sort du PGCD, mais il entre dans le PPCM.

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Exercice 13

Associez chaque nombre à sa décomposition.

$72$
$60$
$90$
$48$

$2 \times 3^{2} \times 5$
$2^{2} \times 3 \times 5$
$2^{3} \times 3^{2}$
$2^{4} \times 3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $72$ — $2^{3} \times 3^{2}$ · $60$ — $2^{2} \times 3 \times 5$ · $90$ — $2 \times 3^{2} \times 5$ · $48$ — $2^{4} \times 3$

Corrigé :

\begin{aligned}72 &= 8 \times 9 \\ \quad 60 &= 4 \times 15\end{aligned}

\begin{aligned}90 &= 2 \times 45 \\ \quad 48 &= 16 \times 3\end{aligned}

Les quatre se ressemblent : seule une coupe menée jusqu'aux premiers les sépare.

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Exercices

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