Série 3 — dix questions · Diviseurs et multiples · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez un chrono : douze minutes pour la série. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J — puis corrigez d'un bloc : comptez vos points sur dix et notez votre temps.

Huit ou plus dans le temps imparti : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Ici, presque rien ne se calcule. Suivez la table de parité, et contre chaque « nécessairement » essayez $0$ , $1$ , $2$ — un contre-exemple élimine une proposition bien plus vite qu'une démonstration.

Exercices

Exercice 1

$a$ est un nombre pair et $b$ est un nombre impair. Laquelle des expressions suivantes est nécessairement impaire ?

$a + 2b$
$a - b + 1$
$a + b$
$a \cdot b$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $a + b$

Corrigé :

\text{pair} + \text{impair} = \text{impair}

c'est le cas de $a + b$ , et d'elle seule

a \cdot b : \text{un facteur pair suffit}

le produit est pair

a - b + 1 : \text{impair} + 1 = \text{pair}

le $+1$ retourne la parité

a + 2b : 2b \text{ est pair}

pair plus pair, donc pair

$a + b$ . Le distracteur $a - b + 1$ est le plus coûteux : $a - b$ est bien impair, mais le $+1$ le rend pair. La soustraction suit l'addition ; c'est l'ajout d'une unité qui change tout.

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Exercice 2

$x$ est un nombre entier et $x^2$ est pair. Alors $x^3$ est nécessairement —

plus grand que 8
impair
divisible par 8
divisible par 3

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C divisible par 8

Corrigé :

x^2 \text{ pair} \Rightarrow x \text{ pair}

une puissance ne change jamais la parité de sa base

x = 2n

on écrit la parité en lettres

x^3 = 8n^3

le facteur 8 sort tout seul

Divisible par 8. « Divisible par 3 » tombe sur $x = 2$ , qui donne 8. Et « plus grand que 8 » tombe sur $x = 0$ : rappelez-vous que 0 est pair, et qu'il est presque toujours le contre-exemple attendu.

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Exercice 3

$p$ et $q$ sont deux nombres premiers différents, tous deux supérieurs à 2. Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

$p + q$ est impair
$p - q$ est impair
$p + q$ est pair
$p \cdot q$ est un nombre premier

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $p + q$ est pair

Corrigé :

\Rightarrow

Tout premier supérieur à 2 est impair : au-delà de 2, un pair est déjà divisible par 2.

\text{impair} + \text{impair} = \text{pair}

$p + q$ est pair. La condition « supérieurs à 2 » n'est pas décorative : elle écarte le seul premier pair. Et $p \cdot q$ n'est jamais premier — il a au moins quatre diviseurs.

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Exercice 4

Combien y a-t-il de nombres impairs entre 1 et 40 inclus ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

1,\ 3,\ 5,\ \ldots,\ 39

les impairs de l'intervalle

40 : 2 = 20

un nombre sur deux est impair

20. Sur un intervalle qui commence à 1 et compte un nombre pair de termes, la moitié exactement est impaire. Le dernier impair est 39, pas 40.

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Exercice 5

$n$ est un nombre entier. Le produit $n(n+1)$ est nécessairement —

impair
divisible par 3
pair
un carré parfait

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C pair

Corrigé :

n \to n+1

l'un des deux est forcément pair

\text{pair} \times \text{quelque chose} = \text{pair}

Pair. « Divisible par 3 » tombe sur $n = 1$ , qui donne 2. Et « carré parfait » tombe sur le même : 2 n'en est pas un. Le produit de deux consécutifs est pair toujours, y compris pour $n = 0$ .

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Exercice 6

La somme de trois nombres entiers consécutifs est nécessairement divisible par —

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $3$

Corrigé :

(n-1) + n + (n+1)

on pose le nombre du milieu comme inconnue

= 3n

les constantes s'annulent

3. Et mieux : la somme vaut exactement trois fois celui du milieu. « Divisible par 2 » tombe sur $1 + 2 + 3 = 6$ … qui marche, mais $2 + 3 + 4 = 9$ ne marche pas. Un seul contre-exemple suffit.

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Exercice 7

La somme de trois nombres entiers consécutifs vaut 48. Quel est le plus grand des trois ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 17

Corrigé :

3n = 48

la somme vaut trois fois celui du milieu

n = 16

le nombre du milieu

15,\ 16,\ 17

17. Poser le milieu comme inconnue évite l'équation $x + (x+1) + (x+2) = 48$ — même résultat, deux fois plus de temps.

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Exercice 8

$x$ et $y$ sont des nombres entiers, et $x + y$ est impair. Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

$x$ et $y$ sont pairs
$x \cdot y$ est pair
$x - y$ est pair
$x \cdot y$ est impair

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $x \cdot y$ est pair

Corrigé :

\text{somme impaire} \Rightarrow \text{un pair et un impair}

deux pairs ou deux impairs donneraient une somme paire

\text{pair} \times \text{impair} = \text{pair}

$x \cdot y$ est pair. Le distracteur « $x - y$ est pair » se corrige d'une ligne : la soustraction suit l'addition, donc $x - y$ est impair comme $x + y$ .

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Exercice 9

$a$ désigne un entier quelconque. Laquelle de ces quatre expressions est paire, quel que soit $a$ ?

$a^2 + 1$
$a^2 + a$
$2a + 1$
$a^2 - a + 1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $a^2 + a$

Corrigé :

a^2 + a = a(a+1)

on factorise — c'est le geste qui règle la question

\Rightarrow

deux entiers consécutifs : l'un des deux est pair

$a^2 + a$ . Sans la factorisation, on aurait dû traiter deux cas ; avec elle, un seul argument suffit. Les trois autres sont impaires pour tout $a$ ou changent avec la parité de $a$ : $2a + 1$ est toujours impair.

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Exercice 10

Combien y a-t-il de nombres entiers pairs strictement compris entre 11 et 29 ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

12,\ 14,\ \ldots,\ 28

le premier pair après 11 et le dernier avant 29

\frac{28 - 12}{2} + 1 = 9

on compte les pas, puis on ajoute le premier terme

9. Le $+1$ est ce qui manque presque toujours : $(28-12) : 2$ donne 8 intervalles, et il y a toujours un terme de plus que d'intervalles.

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Exercice 11

Un entier divisible par $6$ et par $9$ est nécessairement divisible par $54$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\text{PGCD}(6, 9) = 3

la coupe 6 × 9 est interdite

\begin{aligned}18 &= 6 \times 3 \\ &= 9 \times 2\end{aligned}

divisible par 6 et par 9, pas par 54

Faux. Il est seulement divisible par $\text{PPCM}(6, 9) = 18$ .

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Exercice 12

Complétez la boucle, puis lisez-la.

Les unités des puissances de 2 tournent : 2, 4, 8, ____, puis on recommence. 2 puissance 23 finit donc par ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Les unités des puissances de 2 tournent : 2, 4, 8, 6, puis on recommence. 2 puissance 23 finit donc par 8.

Corrigé :

2^4 = 16

unités 6

23 = 4 \times 5 + 3

reste 3 : la troisième case

$2^{23}$ finit par 8. Vérifiez le sens sur $2^3 = 8$ : reste $3$ , troisième case.

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Exercice 13

Divisible par $3$ , ou non ? Lisez la somme des chiffres.

Divisible par 3
Pas divisible par 3

$1\,236$
$2\,222$
$4\,571$
$5\,551$
$7\,113$
$9\,003$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $1\,236$ — Divisible par 3 · $4\,571$ — Pas divisible par 3 · $9\,003$ — Divisible par 3 · $2\,222$ — Pas divisible par 3 · $7\,113$ — Divisible par 3 · $5\,551$ — Pas divisible par 3

Corrigé :

\begin{aligned}1+2+3+6 &= 12 \\ \quad 9+0+0+3 &= 12 \\ \quad 7+1+1+3 &= 12\end{aligned}

multiples de 3

\begin{aligned}4+5+7+1 &= 17 \\ \quad 2+2+2+2 &= 8 \\ \quad 5+5+5+1 &= 16\end{aligned}

pas multiples de 3

Une somme de chiffres, une seconde par nombre. Le chiffre des unités ne dit rien pour $3$ .

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Exercices

La suite se pratique sur elev