Série 4 — dix questions · Diviseurs et multiples · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez un chrono : treize minutes pour la série. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J — puis corrigez d'un bloc : comptez vos points sur dix et notez votre temps.

Huit ou plus dans le temps imparti : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Deux réflexes portent toute la série. Un reste est toujours plus petit que le diviseur : si le vôtre dépasse, rangez-le. Et le chiffre des unités d'une puissance tourne en boucle de quatre pas — on divise l'exposant par 4 et on lit le reste.

Exercices

Exercice 1

Quel est le reste de la division de 100 par 7 ?

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Réponse : 2

Corrigé :

7 \times 14 = 98

le plus grand multiple de 7 sous 100

100 - 98 = 2

2. Contrôle : le reste doit être strictement plus petit que 7, et 2 l'est bien.

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Exercice 2

La division de $a$ par 9 laisse un reste de 5, et celle de $b$ par 9 laisse un reste de 7. Quel est le reste de la division de $a + b$ par 9 ?

$3$
$12$
$0$
$2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $3$

Corrigé :

5 + 7 = 12

on additionne les restes, pas les nombres

12 = 9 + 3

12 dépasse le diviseur : on range

3. La proposition $12$ est le piège de toute la famille : aucun reste ne peut atteindre le diviseur. Vérification avec $a = 14$ et $b = 16$ : leur somme fait 30, et $30 = 3 \times 9 + 3$ .

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Exercice 3

Quel est le chiffre des unités de $2^{30}$ ?

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Réponse : C $4$

Corrigé :

2,\ 4,\ 8,\ 16

les quatre premières puissances : unités 2, 4, 8, 6

2^5 = 32

unités 2 — la boucle mesure bien 4

30 = 4 \times 7 + 2

on divise l'exposant par 4 : reste 2

4, le deuxième de la boucle $2, 4, 8, 6$ . Contrôlez toujours le sens sur $2^1$ : un reste de 1 doit rendre 2, donc un reste de 2 rend 4.

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Exercice 4

Quel est le chiffre des unités de $6^{12}$ ?

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Réponse : 6

Corrigé :

\begin{aligned}6^1 &= 6 \qquad 6^2 \\ &= 36 \qquad 6^3 \\ &= 216\end{aligned}

les unités ne bougent pas

\Rightarrow

6 n'a pas de boucle : il reste 6

6^{12} \to 6

l'exposant 12 ne change rien : aucun reste à calculer

6. Avec 0, 1, 5 et 6, le chiffre des unités ne change jamais, quelle que soit la puissance. Aucun calcul de reste n'est nécessaire — c'est une seconde gagnée.

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Exercice 5

Parmi les nombres compris entre 800 et 999, on appelle $m$ celui qui est le plus proche de 999 tout en étant un multiple de 7. Par quel chiffre $m$ se termine-t-il ?

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Réponse : B $4$

Corrigé :

999 : 7 = 142{,}71\ldots

on divise la borne haute et on garde la partie entière

142 \times 7 = 994

on remonte au multiple, qui tient bien dans l'intervalle

4, car $m = 994$ . Le distracteur $7$ attend ceux qui répondent par réflexe sur le diviseur, et $9$ ceux qui gardent le dernier chiffre de 999 sans chercher.

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Exercice 6

Quel est le plus petit multiple de 8 qui s'écrive avec trois chiffres ?

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Réponse : 104

Corrigé :

100 : 8 = 12{,}5

on divise la borne basse

13 \times 8 = 104

on prend l'entier au-dessus

104. Le sens de l'arrondi décide de tout : pour le plus grand on descend, pour le plus petit on monte. Contrôle par le critère : les trois derniers chiffres font 104, et $104 = 8 \times 13$ .

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Exercice 7

Un nombre à deux chiffres est tel que la somme de ses deux chiffres vaut 12. Lequel des nombres suivants ne peut pas être ce nombre ?

$39$
$63$
$75$
$84$

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Réponse : B $63$

Corrigé :

\begin{aligned}3 + 9 &= 12 \qquad 8 + 4 \\ &= 12 \qquad 7 + 5 \\ &= 12\end{aligned}

trois candidats passent

6 + 3 = 9

le quatrième échoue

63, dont les chiffres font 9. Notez au passage ce que la condition entraîne : une somme de chiffres égale à 12 rend le nombre divisible par 3.

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Exercice 8

Quel est le reste de la division de $7 \times 8 \times 9$ par 5 ?

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Réponse : D $4$

Corrigé :

7 \to 2 \qquad 8 \to 3 \qquad 9 \to 4

le reste de chaque facteur par 5

2 \times 3 \times 4 = 24

les restes se multiplient entre eux

24 = 4 \times 5 + 4

on range

4. Calculer $7 \times 8 \times 9 = 504$ puis diviser donne le même résultat, en trois fois plus de temps. Sur des nombres plus gros, la méthode par les restes est la seule praticable.

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Exercice 9

Un nombre entier laisse un reste de 4 dans la division par 6. Quel reste laisse-t-il dans la division par 3 ?

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Réponse : 1

Corrigé :

n = 6q + 4

on écrit la division avec reste

= 3(2q) + 3 + 1

6q est déjà un multiple de 3, et 4 se coupe en 3 + 1

= 3(2q + 1) + 1

1. Puisque 3 divise 6, tout se joue sur le reste : $4 = 3 + 1$ , donc il reste 1. Vérification sur le premier cas venu, $n = 10$ : $10 = 3 \times 3 + 1$ .

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Exercice 10

Combien y a-t-il de multiples de 6 entre 20 et 80 inclus ?

$9$
$12$
$10$
$11$

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Réponse : C $10$

Corrigé :

24

le premier multiple de 6 au-dessus de 20

78

le dernier en dessous de 80

\begin{aligned}\frac{78 - 24}{6} + 1 &= 9 + 1 \\ &= 10\end{aligned}

on compte les pas, puis on ajoute le premier terme

10. Le distracteur $9$ est exactement le nombre d'intervalles : oublier le $+1$ est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre. Autre chemin, même résultat : $\left(80:6\right)$ donne 13, $\left(19:6\right)$ donne 3, et $13 - 3 = 10$ .

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Exercice 11

Si $a$ et $b$ sont impairs, $a^2 + b^2$ est nécessairement pair.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

a \text{ impair} \Rightarrow a^2 \text{ impair}

la puissance garde la parité

\text{impair} + \text{impair} = \text{pair}

Vrai. Exemple : $3^2 + 5^2 = 34$ . La ligne de la table qu'on oublie le plus souvent.

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Exercice 12

Complétez, en travaillant sur les restes seuls.

a laisse 5 dans la division par 6, b laisse 4. Alors a + b laisse ____, et a × b laisse ____.

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Réponse : a laisse 5 dans la division par 6, b laisse 4. Alors a + b laisse 3, et a × b laisse 2.

Corrigé :

\begin{aligned}5 + 4 &= 9 \\ &= 6 + 3\end{aligned}

on range : reste 3

\begin{aligned}5 \times 4 &= 20 \\ &= 3 \times 6 + 2\end{aligned}

on range : reste 2

Un reste est toujours plus petit que le diviseur : $9$ et $20$ ne sont pas des restes par $6$ , il faut les ranger.

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Exercice 13

Rangez ces restes du plus petit au plus grand.

le reste de $100$ par $13$
le reste de $100$ par $7$
le reste de $100$ par $8$
le reste de $100$ par $9$

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Réponse : le reste de $100$ par $9$ · le reste de $100$ par $7$ · le reste de $100$ par $8$ · le reste de $100$ par $13$

Corrigé :

\begin{aligned}100 &= 11 \times 9 + 1 \\ \quad 100 &= 14 \times 7 + 2\end{aligned}

\begin{aligned}100 &= 12 \times 8 + 4 \\ \quad 100 &= 7 \times 13 + 9\end{aligned}

$1 < 2 < 4 < 9$ . Chaque reste reste sous son diviseur : le plus grand vient du diviseur $13$ .

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Exercices

La suite se pratique sur elev