Série 5 — dix questions · Diviseurs et multiples · Psychométriques

Dernière série, et la plus dure. Elle mêle toutes les déclinaisons du chapitre et ajoute la forme que l'examen réserve aux dernières questions d'une section : la définition inventée. On vous donne un mot qui n'existe pas, une règle bâtie sur les diviseurs, et on vous demande de l'appliquer.

Lancez un chrono : quinze minutes. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc.

Devant une définition inventée, ne cherchez pas à comprendre le mot : relisez la règle et appliquez-la aux quatre propositions, une par une. Ces questions ne sont difficiles que par leur habillage — le calcul, lui, tient toujours en une ligne.

Exercices

Exercice 1

On appelle richesse d'un entier positif le nombre de ses diviseurs premiers différents. Lequel des nombres suivants a la plus grande richesse ?

$27$
$49$
$30$
$32$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $30$

Corrigé :

32 = 2^5 \Rightarrow 1

un seul facteur premier, le 2

30 = 2 \times 3 \times 5 \Rightarrow 3

trois facteurs premiers différents

\begin{aligned}27 &= 3^3 \Rightarrow 1 \qquad 49 \\ &= 7^2 \Rightarrow 1\end{aligned}

30, de richesse 3. C'est le plus petit des quatre : la richesse ne suit pas la taille, elle suit la variété des facteurs. Un nombre qui n'est qu'une puissance d'un premier a toujours une richesse de 1, quelle que soit sa taille.

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Exercice 2

Un entier positif est dit plein si tous ses diviseurs, à l'exception de 1, sont pairs. Lequel des nombres suivants n'est pas plein ?

$4$
$16$
$12$
$8$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $12$

Corrigé :

8 : 1,\ 2,\ 4,\ 8

hors 1, tout est pair — plein

16 : 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16

plein

12 : 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12

le 3 est impair — pas plein

12. Un raccourci existe et vaut pour toutes les questions de ce type : un nombre est plein exactement quand il est une puissance de 2. Dès qu'un facteur premier impair apparaît dans la décomposition, il devient lui-même un diviseur impair.

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Exercice 3

$x$ et $y$ sont des entiers positifs et $x^2 - y^2 = 13$ . Que vaut $x - y$ ?

$1$
on ne peut pas le déterminer
$13$
$2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $1$

Corrigé :

x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)

l'identité remarquable, qui transforme la question en divisibilité

(x-y)(x+y) = 13

13 est premier : ses seuls diviseurs positifs sont 1 et 13

x - y < x + y

les deux facteurs sont positifs, et le second est le plus grand

1. Le petit facteur ne peut donc valoir que 1, et le grand 13 — ce qui donne $x = 7$ et $y = 6$ . Chaque fois qu'une différence de carrés vaut un nombre premier, la réponse est 1 : c'est un automatisme qui vaut d'être retenu tel quel.

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Exercice 4

$a$ et $b$ sont des entiers positifs. $a$ est divisible par 9, et la division de $b$ par 9 laisse un reste de 4. Quel est le reste de la division de $a + 2b$ par 9 ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $8$

Corrigé :

a \to 0

divisible par 9 signifie exactement : reste nul

2b \to 2 \times 4 = 8

les restes se multiplient comme les nombres

0 + 8 = 8

et 8 est déjà plus petit que 9 : rien à ranger

8. Le distracteur $4$ attend ceux qui oublient de doubler. Vérification avec $a = 9$ et $b = 13$ : $a + 2b = 35$ , et $35 = 3 \times 9 + 8$ .

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Exercice 5

Quel est le plus petit entier positif qui possède exactement 4 diviseurs entiers positifs ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

1 \to 1 \quad 2 \to 2 \quad 3 \to 2

on monte depuis le bas

4 = 2^2 \to 3

trois diviseurs : 1, 2, 4

5 \to 2 \qquad 6 = 2 \times 3 \to 4

quatre diviseurs : 1, 2, 3, 6

6. Quatre diviseurs s'obtiennent de deux façons seulement : le produit de deux premiers différents — comme $6 = 2 \times 3$ — ou le cube d'un premier — comme $8 = 2^3$ . Le plus petit des deux chemins l'emporte.

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Exercice 6

Le produit de deux entiers positifs consécutifs vaut 210. Quel est le plus grand des deux ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

\begin{aligned}14^2 &= 196 \qquad 15^2 \\ &= 225\end{aligned}

on encadre : la racine de 210 est entre 14 et 15

14 \times 15 = 210

15. L'encadrement par les carrés est le chemin le plus court : deux consécutifs dont le produit vaut $N$ entourent toujours $\sqrt{N}$ . Aucune équation du second degré n'est nécessaire.

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Exercice 7

Les 60 sièges d'une salle sont numérotés de 1 à 60. On pose un coussin sur chaque siège dont le numéro est un multiple de 4, et un programme sur chaque siège dont le numéro est un multiple de 6. Sur combien de sièges trouve-t-on les deux à la fois ?

$10$
$5$
$4$
$3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $5$

Corrigé :

\Rightarrow

Porter les deux, c'est être divisible par 4 et par 6 — donc par leur PPCM.

\text{PPCM}(4, 6) = 12

et non 24 : le facteur 2 ne se compte qu'une fois

60 : 12 = 5

5 sièges : les numéros 12, 24, 36, 48 et 60. Le piège est de multiplier $4 \times 6 = 24$ , ce qui donnerait 2, un nombre qui ne figure même pas parmi les propositions — c'est le PPCM qu'il faut, jamais le produit, dès que les deux nombres partagent un facteur.

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Exercice 8

$a$ est un nombre entier supérieur à 2. Laquelle des expressions suivantes n'est jamais un nombre premier ?

$a^2 - 1$
$a + 1$
$2a + 1$
$a^2 + 1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $a^2 - 1$

Corrigé :

a^2 - 1 = (a-1)(a+1)

l'identité remarquable, encore elle

a > 2 \Rightarrow a - 1 \ge 2

les deux facteurs valent au moins 2

\Rightarrow

un produit de deux nombres supérieurs à 1 n'est jamais premier

$a^2 - 1$ . La condition $a > 2$ est ce qui rend l'énoncé exact : pour $a = 2$ , le facteur $a - 1$ vaudrait 1 et $a^2 - 1 = 3$ serait premier. Les trois autres peuvent l'être — $a = 4$ donne 5 et 17, $a = 3$ donne 7.

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Exercice 9

$x$ est un entier positif. Le nombre $10x + 5$ est nécessairement divisible par —

$10$
$5$
$2$
$3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $5$

Corrigé :

10x + 5 = 5(2x + 1)

on factorise par 5

\Rightarrow

le facteur 5 est là quel que soit $x$

5. Et remarquez ce que dit la parenthèse : $2x + 1$ est impair, donc $10x + 5$ est toujours impair — ce qui élimine 2 et 10 d'un seul coup, sans même factoriser. Pour 3, le contre-exemple $x = 1$ donne 15… qui marche, mais $x = 2$ donne 25, qui ne marche pas.

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Exercice 10

$a$ et $b$ sont des entiers positifs, tous deux divisibles par $c$ sans reste. Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

$a \cdot b$ est divisible par $c^3$
$a + b$ est divisible par $c$
$a - b$ est divisible par $c^2$
$a + b$ est divisible par $2c$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $a + b$ est divisible par $c$

Corrigé :

\begin{aligned}a &= c \cdot m \qquad b \\ &= c \cdot n\end{aligned}

on écrit la divisibilité

a + b = c(m + n)

le facteur $c$ sort — la somme le garde

\begin{aligned}a &= 3 \\ \ b &= 6 \\ \ c &= 3\end{aligned}

le contre-exemple qui tue les trois autres

$a + b$ est divisible par $c$ . Avec $a = 3$ , $b = 6$ et $c = 3$ : la somme fait 9, qui n'est pas divisible par $2c = 6$ ; le produit fait 18, qui n'est pas divisible par $c^3 = 27$ ; et la différence fait $-3$ , qui n'est pas divisible par $c^2 = 9$ . Retenez la règle générale : une somme et une différence conservent les diviseurs communs, mais pas nécessairement leurs puissances.

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Exercice 11

La somme de quatre entiers consécutifs est nécessairement divisible par $4$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

1 + 2 + 3 + 4 = 10

le plus petit essai

n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6

toujours 2 de reste par 4

Faux. La règle « $k$ fois le milieu » ne vaut que pour un nombre impair de consécutifs : quatre n'ont pas de milieu entier.

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Exercice 12

Complétez, en partant du milieu.

Trois entiers consécutifs ont pour somme 72. Le plus petit vaut ____, et le plus grand ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Trois entiers consécutifs ont pour somme 72. Le plus petit vaut 23, et le plus grand 25.

Corrigé :

72 : 3 = 24

la somme vaut trois fois le milieu

23 + 24 + 25 = 72

le contrôle

Poser le milieu comme inconnue fait disparaître les constantes : un geste, une division.

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Exercice 13

$p$ et $q$ sont deux premiers différents. Associez chaque nombre à son nombre de diviseurs.

$p^4$
$p \times q$
$p^2 q$
$p^2 q^2$

$4$ diviseurs
$5$ diviseurs
$6$ diviseurs
$9$ diviseurs

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $p^4$ — $5$ diviseurs · $p \times q$ — $4$ diviseurs · $p^2 q$ — $6$ diviseurs · $p^2 q^2$ — $9$ diviseurs

Corrigé :

p^4 \to 4 + 1 = 5

p \times q \to 2 \times 2 = 4

p^2 q \to 3 \times 2 = 6

p^2 q^2 \to 3 \times 3 = 9

La formule ne regarde que les exposants : $p$ et $q$ peuvent valoir n'importe quels premiers.

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Exercices

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