Le réflexe diviseurs

Cette famille de questions ne demande aucune formule. Tout s'y joue sur des réflexes, qu'on a ou qu'on n'a pas.

On la reconnaît à un mot : « divisible ». Dans une question, il veut toujours dire divisible sans reste.

Dire que $a$ divise $b$, c'est dire qu'il existe un entier $k$ tel que :

Puisque $24 = 3 \times 8$ : $3$ et $8$ sont des diviseurs de $24$, et $24$ est un multiple de $3$ et de $8$.

Les deux mots décrivent la même flèche, vue de l'un ou l'autre bout. L'examen dit aussi facteur pour diviseur.

On essaie 1, puis 2, puis 3… et chaque fois qu'on trouve un diviseur, son partenaire vient gratuitement avec lui. On s'arrête quand les deux se rejoignent.

Neuf diviseurs pour $36$ : $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$. Huit pour $40$.

Un nombre impair de diviseurs est la marque des carrés parfaits, et d'eux seuls : le diviseur du milieu est son propre partenaire.

Un nombre premier est un entier positif qui possède exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même. Pas un de plus, pas un de moins.

La liste jusqu'à 50 se tient par cœur. Plutôt que de l'apprendre, fabriquez-la :

Tout entier supérieur à 1 s'écrit d'une seule façon comme produit de nombres premiers.

C'est la carte d'identité du nombre : presque tout ce que l'examen demande s'y lit.

Une fois la décomposition tenue, le nombre de diviseurs se lit sans en écrire un seul : on ajoute 1 à chaque exposant, et on multiplie.

Fabriquer un diviseur, c'est choisir combien de fois on prend chaque premier : de $0$ à $a$ fois pour $p$, soit $a + 1$ choix.

Une question déjà tombée compare le nombre de diviseurs premiers différents de $a$ et celui de $a^2$.

Élever au carré double les exposants, mais n'ajoute aucun premier. Le nombre de diviseurs change ; le nombre de diviseurs premiers, jamais.

Le PGCD — plus grand commun diviseur — est le plus grand nombre qui divise les deux.

Le PPCM — plus petit commun multiple — est le plus petit nombre que les deux divisent.

Ce contrôle vaut de l'or, pour deux entiers positifs : $12 \times 120 = 1440$, et $24 \times 60 = 1440$. Si le produit ne tombe pas, l'un des deux est faux. Il sert aussi à retrouver l'un quand l'énoncé donne l'autre.

Presque toutes les questions de cette famille contiennent l'un de ces trois mots — et ils ne demandent pas du tout le même travail :

Les deux pages suivantes installent le reste du socle : les critères de divisibilité, qui font lire la divisibilité sur les chiffres, et la parité avec les restes, qui est l'algèbre du pair et de l'impair. On résout ensuite ensemble, avant les cinq séries.