L'examen ne vous laisse jamais le temps de poser une division. Il attend que vous lisiez la divisibilité sur les chiffres, en une seconde.
Les neuf critères
Le chiffre des unités est pair : 0, 2, 4, 6 ou 8.
La somme des chiffres est divisible par 3.
Les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4.
Le chiffre des unités est 0 ou 5.
Divisible par 2 et par 3 en même temps.
Les trois derniers chiffres forment un nombre divisible par 8.
La somme des chiffres est divisible par 9.
Le chiffre des unités est 0.
La somme alternée des chiffres est divisible par 11.
Les critères de 4 et de 8 ne sont pas arbitraires : est divisible par 4, donc tout ce qui est au-dessus des dizaines disparaît. Et est divisible par 8, donc tout ce qui est au-dessus des centaines disparaît aussi.
Les critères composés, et le piège qui va avec
Pour un diviseur qui n'est pas premier, on le coupe en deux facteurs et on teste chacun — mais seulement si ces deux facteurs n'ont aucun diviseur commun. C'est cette condition que l'examen fait oublier.
La coupe interdite, dans sa version la plus fréquente.
12 est divisible par 2 et par 4, mais pas par 8. Pour 8, aucune coupe n'est possible — on regarde les trois derniers chiffres, et c'est tout.
Le chiffre des unités d'une puissance
Question récurrente : quel est le chiffre des unités de ? On ne calcule évidemment rien.
Le chiffre des unités d'une puissance tourne en boucle, et la boucle fait au plus quatre pas.
On divise donc l'exposant par 4 et on lit le reste : reste 1 donne le premier de la boucle, reste 2 le deuxième, reste 3 le troisième, et reste 0 le quatrième.
Quel est le chiffre des unités de ?
Voir la réponse et le corrigé
3. : le reste vaut 3, donc c'est le troisième de la boucle .
Quatre bases n'ont presque rien à retenir, et elles tombent souvent : les puissances de 5 finissent toujours par 5, celles de 6 toujours par 6, celles de 0 par 0. Et 4 comme 9 n'alternent qu'entre deux valeurs — et
Le plus grand, le plus petit
Une question qui cherche le plus grand multiple de 4 sous la barre des mille se règle en descendant depuis — , , , . Or est divisible par 4 : c'est donc .
Plus rapide encore : divisez la borne et gardez la partie entière. , donc . Le même geste donne le plus petit : pour un nombre à trois chiffres divisible par 7, , donc .
Compter les multiples dans un intervalle
Combien de multiples de 4 entre 1 et 100 ? On divise, et on garde la partie entière.
Ici pile, donc 25 multiples. Entre 1 et 50 : , donc 12.
Si l'intervalle ne part pas de 1, on compte jusqu'en haut, puis on retire ce qui est strictement en dessous du bas.
Combien y a-t-il de multiples de 3 entre 1 et 299 ?
Voir la réponse et le corrigé
99. , dont la partie entière est 99. Le plus grand d'entre eux est .
Le comptage qui perd toujours une extrémité.
De 20 à 40, il y a six multiples de 4 : 20, 24, 28, 32, 36, 40. Soustraire les bornes avant de diviser en oublie une — on compte jusqu'en haut, puis on retire ce qui précède le bas.
Les chiffres d'un nombre, écrits comme une somme
Quand l'énoncé parle d'un nombre « à deux chiffres », il ne s'agit jamais du produit . Il faut l'écrire :
C'est cette écriture qui règle toutes les questions d'inversion de chiffres.
Inverser donne , et la différence vaut : toujours un multiple de 9.
Un nombre à trois chiffres se lit pareil à l'endroit et à l'envers, comme 383. Est-il nécessairement divisible par 11 ?
Voir la réponse et le corrigé
Non. Le critère de 11 donne , qui n'est pas divisible par 11. C'est vrai pour un palindrome à quatre chiffres — donne — jamais garanti à trois. Le piège a déjà été posé tel quel à l'examen.