Parité et restes · Diviseurs et multiples · Psychométriques

La moitié des questions de cette famille ne portent pas sur un nombre, mais sur son type. Pair ou impair, et rien d'autre. On ne calcule alors rien du tout : on suit une table.

La table de parité

La soustraction suit exactement l'addition — le signe ne change rien à la parité. « impair moins impair » est pair, tout comme « impair plus impair ».

Deux phrases tiennent toute la table. Une somme est impaire seulement si elle contient un nombre impair de termes impairs. Un produit est impair seulement si tous ses facteurs sont impairs.

La ligne que la table n'a pas, et que le livret officiel prend soin de signaler.

\frac{\text{pair}}{\text{pair}} = \text{pair}

\begin{aligned}\frac{8}{4} &= 2 \qquad \frac{6}{2} \\ &= 3 \qquad \frac{6}{4} \\ &= 1{,}5\end{aligned}

La table ne vaut pas pour la division. Le quotient de deux pairs peut être pair, impair, ou même ne pas être entier du tout.

Écrire la parité en lettres

Quand la table ne suffit plus, on pose l'écriture générale. C'est le geste qui débloque les questions difficiles :

\begin{aligned}\text{pair} &= 2n \qquad \text{impair} \\ &= 2n + 1\end{aligned}

Pourquoi la somme de deux impairs est-elle toujours paire ?

On écrit deux impairs quelconques, et on regarde ce qui sort.

(2n + 1) + (2m + 1)

deux impairs, sans rien supposer d'autre

= 2n + 2m + 2

= 2(n + m + 1)

un facteur 2 apparaît : c'est un pair, quels que soient $n$ et $m$ .

Ce que la puissance conserve

Une puissance ne change jamais la parité de sa base : un pair reste pair, un impair reste impair.

Seul l'exposant $0$ est à part : $x^0 = 1$ , toujours impair.

x^k \text{ pair} \iff x \text{ pair}

C'est ce qui règle une question déjà tombée : « $x$ est entier et $x^3$ est pair — que peut-on dire de $x^2$ ? » Si $x^3$ est pair alors $x$ est pair, donc $x = 2n$ , donc $x^2 = 4n^2$ : divisible par 4.

$x$ est un entier et $x^2$ est impair. Quelle est la parité de $x^5$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Impair. $x^2$ impair force $x$ impair, et un impair reste impair à toutes les puissances.

La division avec reste

Diviser $17$ par $5$ , c'est écrire $17 = 3 \times 5 + 2$ : $3$ est le quotient, $2$ le reste.

Et le reste obéit à une seule règle, celle qui règle toutes les questions du genre :

n = q \times k + r \qquad 0 \le r < k

Le reste est toujours positif ou nul, et strictement plus petit que le diviseur. Un reste de 7 dans une division par 5 n'existe pas : il faut le ranger.

r = 0

$n$ est divisible par $k$ . « Divisible » veut dire exactement cela, et rien d'autre.

k = 2

Deux restes possibles seulement : 0 pour un pair, 1 pour un impair. La parité est un reste.

Le reste se promène dans les calculs

On n'a jamais besoin des nombres eux-mêmes : les restes se combinent entre eux, exactement comme la parité.

r(a + b) = r(a) + r(b)

à ranger si la somme atteint ou dépasse le diviseur

r(a \times b) = r(a) \times r(b)

même règle, même rangement

Un nombre laisse 3 comme reste dans la division par 5. Quel reste laisse son double ?

Voir la réponse et le corrigé

1. $3 \times 2 = 6$ , et $6 = 5 + 1$ : on range, il reste 1.

Les nombres consécutifs

Trois faits sur les entiers qui se suivent, et l'examen les exploite tous les trois :

n(n+1)

Le produit de deux consécutifs est toujours pair : l'un des deux l'est forcément.

n(n+1)(n+2)

Le produit de trois consécutifs est toujours divisible par 6 — il contient un multiple de 2 et un multiple de 3.

k, k+1, \ldots

Parmi $k$ entiers qui se suivent, il y en a exactement un divisible par $k$ .

Et une somme : $(n-1) + n + (n+1) = 3n$ . Trois consécutifs valent trois fois celui du milieu.

« La somme de trois consécutifs est 33 » se règle donc en une seconde : le milieu vaut 11.

Poser le nombre du milieu comme inconnue, plutôt que le premier, fait disparaître les constantes. Pour cinq consécutifs, la somme vaut cinq fois celui du milieu.

Nécessairement, ou seulement possible

Le mot de l'énoncé décide de la méthode. Contre « nécessairement », on cherche un contre-exemple ; pour « peut être », un seul exemple suffit. Et la liste des essais est toujours la même :

0

Pair, ni positif ni négatif — casse la moitié des propositions.

1

Impair, n'est pas premier, et vaut 1 à toutes les puissances.

2

Le seul premier pair — casse toutes les propositions sur les nombres premiers.

-3

Si l'énoncé autorise les négatifs, un négatif impair règle le reste.

Vous tenez maintenant le socle entier. La page suivante déroule cinq questions du style de l'examen, pas à pas — puis viennent les cinq séries.