On résout ensemble · Diviseurs et multiples · Psychométriques

Cinq questions déroulées, une par famille que l'examen ressort d'année en année : compter les diviseurs, la parité qui décide, les restes, le chiffre des unités, la somme nécessairement divisible. Six exercices de réflexe suivent, chacun sous une autre forme.

Pour chacune : cherchez d'abord seul, puis ouvrez le corrigé. Il déroule le raisonnement étape par étape et nomme le piège que la question tend. À chaque étape, demandez-vous ce que vous auriez fait avant de lire la suite — c'est l'écart entre votre réflexe et la méthode qui vous apprend quelque chose.

Mémo — à vérifier avant de cocher

\checkmark

J'ai lu le mot qui décide : nécessairement, peut être, ou ne peut pas être.

\checkmark

Contre « nécessairement », j'ai essayé $0$ , $1$ , $2$ et un négatif.

\checkmark

Pour compter des diviseurs, je suis passé par la décomposition, pas par la liste.

\checkmark

Je n'ai pas appliqué la table de parité à une division.

\checkmark

Mon reste est bien plus petit que le diviseur : je l'ai rangé.

\checkmark

Je n'ai pas oublié que 0 est pair et que 1 n'est pas premier.

Exercices

Exercice 1

Combien le nombre 200 possède-t-il de diviseurs entiers positifs ?

$6$
$8$
$10$
$12$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $12$

Corrigé :

\Rightarrow

Surtout, ne listez pas. Écrire les diviseurs de 200 un par un prend une minute et en oublie toujours un ou deux. On décompose.

\begin{aligned}200 &= 2 \times 100 \\ &= 2 \times 4 \times 25\end{aligned}

on coupe où l'on veut

= 2^3 \times 5^2

la carte d'identité de 200 : exposants 3 et 2

\begin{aligned}(3+1)(2+1) &= 4 \times 3 \\ &= 12\end{aligned}

on ajoute 1 à chaque exposant, et on multiplie

12 diviseurs. Le distracteur $8$ vise ceux qui n'ajoutent 1 qu'à un seul exposant : $(3+1) \times 2 = 8$ . Le $6$ attend ceux qui multiplient les exposants sans rien ajouter : $3 \times 2 = 6$ . Contrôle : 200 n'est pas un carré parfait, donc son nombre de diviseurs doit être pair.

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Exercice 2

$m$ et $n$ sont des nombres entiers, et le produit $m \cdot n$ est impair. Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

$m + n$ est pair
$m + n$ est impair
$m$ est pair
$m - n$ est impair

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $m + n$ est pair

Corrigé :

\Rightarrow

Le produit d'abord. Un produit n'est impair que si tous ses facteurs le sont : un seul facteur pair suffirait à le rendre pair.

m \cdot n \text{ impair} \Rightarrow m \text{ impair et } n \text{ impair}

l'énoncé nous donne donc les deux d'un coup

\text{impair} + \text{impair} = \text{pair}

la ligne de la table qu'on oublie le plus souvent

$m + n$ est pair. La proposition « $m$ est pair » est directement contredite par l'énoncé. Et $m - n$ suit l'addition : impair moins impair est pair aussi — c'est le distracteur qui coûte le plus cher, parce que le signe donne l'illusion de changer quelque chose.

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Exercice 3

$a$ et $b$ sont des entiers positifs. La division de $a$ par 8 laisse un reste de 3, et la division de $b$ par 8 laisse un reste de 6. Quel est le reste de la division de $a + b$ par 8 ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $1$

Corrigé :

\Rightarrow

On ne cherche ni $a$ ni $b$ . Les restes se combinent tout seuls : le reste d'une somme est la somme des restes, à ranger.

3 + 6 = 9

on additionne les deux restes

9 = 8 + 1

9 dépasse le diviseur : on range

Le reste vaut 1. La proposition $9$ est le piège central : un reste est toujours strictement plus petit que le diviseur, donc un reste de 9 dans une division par 8 n'existe pas. Si l'envie vous prend de vérifier, prenez $a = 11$ et $b = 14$ : leur somme fait 25, et $25 = 3 \times 8 + 1$ .

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Exercice 4

Quel est le chiffre des unités de $3^{17}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $3$

Corrigé :

\Rightarrow

Personne ne calcule $3^{17}$ . On cherche la boucle du chiffre des unités, qui fait au plus quatre pas.

3,\; 9,\; 27,\; 81

les quatre premières puissances : unités 3, 9, 7, 1

3^5 = 243

unités 3 — la boucle recommence, elle mesure bien 4

17 = 4 \times 4 + 1

on divise l'exposant par 4 et on lit le reste : 1

3. Reste 1 renvoie au premier de la boucle $3, 9, 7, 1$ . Le distracteur $1$ attend ceux qui prennent le quatrième par réflexe, $9$ ceux qui décalent la boucle d'un cran, et $7$ ceux qui la décalent de deux. Vérifiez toujours le sens sur $3^1$ : reste 1 doit rendre 3.

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Exercice 5

Dans une pâtisserie, trois gâteaux coûtent respectivement 7, 8 et 12 shékels. Un client achète le même nombre de gâteaux de chaque sorte. Lequel des énoncés suivants est nécessairement vrai à propos de la somme totale qu'il a payée ?

Elle est divisible par 9
Elle est divisible par 8
Elle est divisible par 2
Elle est divisible par 7

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A Elle est divisible par 9

Corrigé :

\Rightarrow

« Le même nombre de chaque sorte » est toute la question. On appelle $n$ ce nombre, et on écrit le total.

7n + 8n + 12n

les trois dépenses

= (7 + 8 + 12)\,n = 27n

le facteur commun sort : c'est la somme des prix qui commande, jamais les prix pris un par un

27 = 3^3

27 est divisible par 9, donc $27n$ l'est aussi, quel que soit $n$

Divisible par 9. Les trois autres propositions tombent sur le plus petit cas, $n = 1$ : le total vaut alors 27, qui n'est divisible ni par 7, ni par 8, ni par 2. Retenez le geste — dès que l'énoncé dit « autant de chaque », on additionne les prix et on décompose la somme.

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Exercice 6

Un entier divisible par $4$ et par $6$ est nécessairement divisible par $24$ .

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Réponse : Faux

Corrigé :

4 \times 6 = 24

la coupe tentée

\text{PGCD}(4, 6) = 2

4 et 6 partagent le facteur 2 : la coupe est interdite

\begin{aligned}12 &= 4 \times 3 \\ &= 6 \times 2\end{aligned}

divisible par 4 et par 6…

12 : 24 = 0{,}5

…mais pas par 24

Faux. $12$ suffit à l'éliminer. Ce qu'on peut dire, c'est que l'entier est divisible par le PPCM de $4$ et $6$ , soit $12$ — jamais par leur produit quand ils ont un facteur commun.

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Exercice 7

Combien y a-t-il de multiples de $7$ entre $50$ et $150$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14

Corrigé :

\left[\dfrac{150}{7}\right] = 21

les multiples de 7 de 1 à 150

\left[\dfrac{49}{7}\right] = 7

ceux qui sont strictement sous 50

21 - 7 = 14

de 56 à 147

14. On compte jusqu'en haut, puis on retire ce qui précède le bas. Soustraire les bornes d'abord, $(150 - 50) : 7 \approx 14{,}3$ , ne dit pas si l'on doit arrondir vers 14 ou 15.

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Exercice 8

Complétez, en décomposant d'abord.

540 = 4 × 27 × 5. L'exposant de 2 vaut ____, celui de 3 vaut ____, et 540 a ____ diviseurs entiers positifs.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 540 = 4 × 27 × 5. L'exposant de 2 vaut 2, celui de 3 vaut 3, et 540 a 24 diviseurs entiers positifs.

Corrigé :

540 = 2^2 \times 3^3 \times 5

4 = 2^2 et 27 = 3^3

\begin{aligned}(2+1)(3+1)(1+1) &= 3 \times 4 \times 2 \\ &= 24\end{aligned}

on ajoute 1 à chaque exposant

24 diviseurs. Le $5$ porte l'exposant $1$ : il compte pour $(1+1) = 2$ choix, on ne l'oublie pas.

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Exercice 9

Rangez ces nombres du moins de diviseurs au plus de diviseurs.

$100$
$30$
$32$
$49$
$60$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $49$ · $32$ · $30$ · $100$ · $60$

Corrigé :

\begin{aligned}49 &= 7^2 \to 3 \\ \quad 32 &= 2^5 \to 6\end{aligned}

\begin{aligned}30 &= 2 \times 3 \times 5 \to 8 \\ \quad 100 &= 2^2 \times 5^2 \to 9\end{aligned}

60 = 2^2 \times 3 \times 5 \to 12

$3 < 6 < 8 < 9 < 12$ . La taille du nombre ne dit rien : $32$ a moins de diviseurs que $30$ . Seuls les exposants comptent.

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Exercice 10

Associez chaque puissance à son chiffre des unités.

$2^{10}$
$3^{9}$
$7^{8}$
$8^{5}$

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Réponse : $2^{10}$ — $4$ · $3^{9}$ — $3$ · $7^{8}$ — $1$ · $8^{5}$ — $8$

Corrigé :

\begin{aligned}2 : 2 \\ 4 \\ 8 \\ 6 \qquad 10 &= 4 \times 2 + 2 \to 4\end{aligned}

\begin{aligned}3 : 3 \\ 9 \\ 7 \\ 1 \qquad 9 &= 4 \times 2 + 1 \to 3\end{aligned}

\begin{aligned}7 : 7 \\ 9 \\ 3 \\ 1 \qquad 8 &= 4 \times 2 + 0 \to 1\end{aligned}

reste 0 : la dernière case

\begin{aligned}8 : 8 \\ 4 \\ 2 \\ 6 \qquad 5 &= 4 + 1 \to 8\end{aligned}

Une boucle de quatre par base, et le reste de l'exposant par $4$ . Le reste $0$ renvoie à la dernière case, pas à la première.

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Exercice 11

$n$ est un entier. Rangez chaque expression.

Toujours paire
Pas toujours paire

$(n+1)(n+2)$
$2n + 1$
$3n$
$n(n+1)$
$n^2 + 1$
$n^2 + n + 2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $n(n+1)$ — Toujours paire · $n^2 + n + 2$ — Toujours paire · $(n+1)(n+2)$ — Toujours paire · $2n + 1$ — Pas toujours paire · $n^2 + 1$ — Pas toujours paire · $3n$ — Pas toujours paire

Corrigé :

n(n+1), \; (n+1)(n+2)

deux consécutifs : l'un est pair

n^2 + n + 2 = n(n+1) + 2

pair + pair

\begin{aligned}n &= 1 : \; 2n + 1 \\ &= 3 \\ \; n^2 + 1 &= 2 \\ \; 3n &= 3\end{aligned}

un essai suffit à les sortir

Contre « toujours », un seul essai suffit : $n = 1$ rend $3n$ impair, $n = 0$ rend $n^2 + 1$ impair. $2n + 1$ , lui, n'est jamais pair.

Vérifier la réponse sur elev

Mémo — à vérifier avant de cocher

Exercices

La suite se pratique sur elev