Série 5 — treize questions · Équations et inconnues · Psychométriques

Treize questions : dix au format de l'examen, puis trois qui vérifient le même geste autrement. Lancez un chrono : quinze minutes pour la série.

Cochez toutes vos réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J. Puis corrigez d'un bloc et notez votre temps.

Onze ou plus dans le temps : la série est acquise, passez à la suivante. Huit à dix : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le geste qui a manqué.

Sept ou moins : revenez au cours et à l'unité « On résout ensemble » avant de continuer.

Sur un « nécessairement », testez $0$ , $1$ , $-1$ , une fraction entre $0$ et $1$ , un négatif. Sur des entiers, écrivez les petits cas : $0$ , $1$ , $2$ .

Exercices

Exercice 1

$x$ et $y$ sont des entiers, $x \ne y$ . Quelle est la plus petite valeur que peut prendre $3\,(x - y)^2$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

{x \ne y,\; x, y \in \mathbb{Z} \;\Rightarrow\; |x - y| \ge 1}

Deux entiers différents sont séparés d'au moins une unité.

3\,(x - y)^2 \ge 3

Atteint pour $y = x \pm 1$ .

$3$ . Le $0$ oublie « $x \ne y$ ».

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Exercice 2

$m$ et $n$ sont des entiers positifs, $m < n$ et $m \cdot n < m + n$ . Que vaut $m$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

m = 1 : \; n < 1 + n \;\checkmark

Le plus petit cas marche toujours.

m = 2 : \; 2n < 2 + n \;\Rightarrow\; n < 2

Impossible avec $m < n$ . Et $m \ge 2$ ne fait qu'empirer : $mn \ge 2n \ge m + n$ .

m = 1

$1$ . Les petits cas d'abord, l'argument général ensuite.

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Exercice 3

$a$ et $b$ sont des entiers positifs, $a - b = 26$ , et $a + b$ s'écrit avec trois chiffres. Que vaut $a$ au minimum ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 63

Corrigé :

{a = b + 26 \;\Rightarrow\; a + b = 2b + 26}

On exprime tout avec $b$ .

2b + 26 \ge 100 \;\Rightarrow\; b \ge 37

« Trois chiffres » : au moins $100$ .

{a = 37 + 26 = 63}

Contrôle : $63 + 37 = 100$ .

$63$ .

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Exercice 4

$a$ , $b$ et $c$ sont des entiers consécutifs, $a < b < c$ , et $a + b + c = 0$ . Combien de ces trois nombres connaît-on avec certitude ?

Les trois
Aucun
Un seul
Deux

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A Les trois

Corrigé :

{a = b - 1,\quad c = b + 1}

Consécutifs : ils s'écrivent autour du milieu.

{(b - 1) + b + (b + 1) = 3b = 0 \;\Rightarrow\; b = 0}

Le milieu est la moyenne des trois.

{a = -1,\; b = 0,\; c = 1}

Les deux autres suivent : les trois sont connus.

Les trois. Une seule ligne de données, trois valeurs fixées — c'est la force des consécutifs.

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Exercice 5

Données : $x + y = 4$ et $y < -1$ . Quel est le domaine exact de $x$ ?

$x > 3$
$x > 5$
$x < 3$
$x < 5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $x > 5$

Corrigé :

y = 4 - x

On isole $y$ .

4 - x < -1 \;\Rightarrow\; -x < -5 \;\Rightarrow\; x > 5

On remplace, puis on multiplie par $-1$ en retournant le signe.

{x = 6 : \; y = -2 < -1 \;\checkmark}

Contrôle.

$x > 5$ . « $x < 5$ » est l'inégalité non retournée.

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Exercice 6

Données : $w < x < y < z$ et $w = 2y$ . Combien de ces quatre nombres sont nécessairement négatifs ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $3$

Corrigé :

w = 2y \text{ et } w < y \;\Rightarrow\; y < 0

Doubler $y$ le rend plus petit : $y$ est négatif.

w < x < y < 0

Donc $w$ et $x$ aussi : trois négatifs.

{z : \; w = -4,\; x = -3,\; y = -2,\; z = 1}

$z$ peut être positif — un exemple suffit.

$3$ . Le quatrième, $z$ , n'est contraint que par « plus grand que $y$ ».

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Exercice 7

Donnée : $0 < a < b < 1$ . Laquelle des expressions suivantes a la plus petite valeur ?

$b$
$a$
$a^2$
$b^2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $a^2$

Corrigé :

0 < a < 1 \;\Rightarrow\; a^2 < a

Entre $0$ et $1$ , un carré rapetisse.

a < b \;\Rightarrow\; a^2 < b^2

Et $a$ est le plus petit des deux.

{a = \tfrac{1}{2},\; b = \tfrac{3}{4} : \; \tfrac{1}{4} < \tfrac{1}{2} < \tfrac{9}{16} < \tfrac{3}{4}}

Un exemple pour voir l'ordre complet.

$a^2$ . Le réflexe « le carré est plus grand » ne vaut qu'au-delà de $1$ .

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Exercice 8

Données : $a > b$ et $a \cdot b > 0$ . Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

$\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$
$a - b > 1$
$a > 0$
$a^2 > b^2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$

Corrigé :

ab > 0 \;\Rightarrow\; a \text{ et } b \text{ de même signe}

C'est ce que dit la seconde donnée.

a > b \;\Rightarrow\; \frac{a}{ab} > \frac{b}{ab} \;\Rightarrow\; \frac{1}{b} > \frac{1}{a}

On divise par $ab > 0$ : l'inégalité garde son sens.

{a = -1,\; b = -2 : \; a < 0,\quad a^2 = 1 < 4 = b^2,\quad a - b = 1}

Un seul couple négatif casse les trois autres.

$\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$ . Le piège est de lire « $a > b$ » comme « $a$ positif » : deux négatifs font aussi un produit positif.

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Exercice 9

$x$ est un entier positif à deux chiffres, et $8x$ s'écrit aussi avec deux chiffres. Combien de valeurs de $x$ conviennent ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

10 \le x \quad\text{et}\quad 8x \le 99 \;\Rightarrow\; x \le 12

Les deux bornes.

{x \in \{10,\; 11,\; 12\}}

On les écrit : trois valeurs.

$3$ . $12 - 10 = 2$ compte les écarts, pas les nombres.

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Exercice 10

Données : $m$ et $n$ sont des entiers, $m - n = 7$ , et $m$ est pair. Laquelle des affirmations suivantes est correcte ?

$n$ peut être impair, sans l'être nécessairement
$n$ est nécessairement impair
$n$ est nécessairement divisible par $7$
$n$ peut être pair

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $n$ est nécessairement impair

Corrigé :

n = m - 7

On isole $n$ .

\text{pair} - \text{impair} = \text{impair}

Retirer un nombre impair à un nombre pair donne toujours un impair.

{m = 8 : \; n = 1 ;\quad m = 20 : \; n = 13}

Impairs tous les deux, et $13$ n'est pas divisible par $7$ .

$n$ est nécessairement impair. Le tableau de parité règle la question sans aucun calcul.

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Exercice 11

$a$ et $b$ sont des entiers positifs, et $a \cdot b = 12$ . Alors $a + b \ge 7$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

(1, 12),\; (2, 6),\; (3, 4)

Les paires de facteurs de $12$ .

13,\; 8,\; 7

Leurs sommes : la plus petite vaut $7$ .

Vrai. La somme est la plus petite quand les deux facteurs sont les plus proches.

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Exercice 12

$x$ est un entier positif à deux chiffres, et $6x$ s'écrit aussi avec deux chiffres. Complétez.

Il faut 6x ≤ 99, donc x ≤ ____. De 10 à cette borne, on compte ____ valeurs.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Il faut 6x ≤ 99, donc x ≤ 16. De 10 à cette borne, on compte 7 valeurs.

Corrigé :

6x \le 99 \;\Rightarrow\; x \le 16

$6 \times 16 = 96$ , $6 \times 17 = 102$ .

10,\, 11,\, 12,\, 13,\, 14,\, 15,\, 16

On les écrit, puis on compte.

$16$ et $7$ . $16 - 10 = 6$ compte les écarts, pas les nombres.

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Exercice 13

Donnée : $0 < a < 1$ . Rangez chaque affirmation.

Nécessairement vraie
Pas nécessairement

$\dfrac{1}{a} > 1$
$2a > 1$
$a^2 < a$
$a^2 > \dfrac{1}{2}$
$a^3 < a^2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $a^2 < a$ — Nécessairement vraie · $\dfrac{1}{a} > 1$ — Nécessairement vraie · $a^2 > \dfrac{1}{2}$ — Pas nécessairement · $a^3 < a^2$ — Nécessairement vraie · $2a > 1$ — Pas nécessairement

Corrigé :

0 < a < 1 \;\Rightarrow\; a^2 < a, \quad a^3 < a^2

Multiplier par un nombre entre $0$ et $1$ rapetisse.

\frac{1}{a} > 1

Diviser par un nombre plus petit que $1$ agrandit.

\begin{aligned}a &= \tfrac{1}{4} : \; a^2 \\ &= \tfrac{1}{16} < \tfrac{1}{2} \\ \quad 2a &= \tfrac{1}{2} < 1\end{aligned}

Un seul contre-exemple casse les deux autres.

Nécessairement vraies : $a^2 < a$ , $\frac{1}{a} > 1$ et $a^3 < a^2$ .

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Exercices

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