Série 4 — treize questions · Équations et inconnues · Psychométriques

Treize questions : dix au format de l'examen, puis trois qui vérifient le même geste autrement. Lancez un chrono : quinze minutes pour la série.

Cochez toutes vos réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J. Puis corrigez d'un bloc et notez votre temps.

Onze ou plus dans le temps : la série est acquise, passez à la suivante. Huit à dix : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le geste qui a manqué.

Sept ou moins : revenez au cours et à l'unité « On résout ensemble » avant de continuer.

Ne divisez jamais par $x$ : factorisez. Et quand les $x$ disparaissent, lisez ce qui reste — une égalité fausse ferme tout, une égalité vraie ouvre tout.

Exercices

Exercice 1

Soit l'équation $x^3 = x^2$ . Le nombre de ses solutions est…

$1$
$3$
$2$
infini

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $2$

Corrigé :

{x^3 - x^2 = 0 \;\Rightarrow\; x^2\,(x - 1) = 0}

Tout à gauche, puis on factorise — on ne divise pas par $x^2$ .

{x = 0 \;\text{ou}\; x = 1}

Un produit nul : l'un des facteurs est nul.

$2$ . Répondre $1$ , c'est avoir divisé par $x^2$ et perdu le zéro ; répondre $3$ , c'est compter le facteur $x^2$ pour deux solutions distinctes, alors que c'est deux fois le même zéro.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Combien de solutions l'équation $(x + 5)(x + 1) - x\,(x + 6) = 9$ a-t-elle ?

Une solution
Aucune solution
Une infinité de solutions
Deux solutions

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B Aucune solution

Corrigé :

x^2 + 6x + 5 - x^2 - 6x = 9

On développe.

5 = 9

Les $x$ s'effacent : une égalité fausse.

Aucune solution.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Donnée : $(2x + 5)^2 = (x + 10)^2$ et $x < 0$ . Que vaut $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -5

Corrigé :

{2x + 5 = x + 10 \;\text{ou}\; 2x + 5 = -(x + 10)}

Deux carrés égaux : les bases sont égales ou opposées.

{x = 5 \;\text{ou}\; 3x = -15 \;\Rightarrow\; x = -5}

On résout les deux cas.

x < 0 \;\Rightarrow\; x = -5

La donnée tranche.

$-5$ . Contrôle : $(-5)^2 = 25 = 5^2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Donnée : $(x + 2)^2 - (x - 2)^2 = 40$ . Que vaut $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

(x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 4x + 4) = 8x

Les carrés s'annulent, les $4$ aussi : il reste $8x$ .

{8x = 40 \;\Rightarrow\; x = 5}

$5$ . Plus court encore : $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) = 4 \cdot 2x = 8x$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

Combien de solutions l'équation $(4x - 3)^3 = 0$ a-t-elle ?

Une infinité de solutions
Trois solutions
Une solution
Aucune solution

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C Une solution

Corrigé :

{(4x - 3)^3 = 0 \;\iff\; 4x - 3 = 0}

Un cube est nul exactement quand sa base l'est.

x = \frac{3}{4}

Une seule valeur.

Une solution. L'exposant $3$ ne multiplie pas les solutions.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

Donnée : $x^2 + x^3 = 6x^2$ , avec $x \ne 0$ . Que vaut $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

x^2\,(1 + x) = 6x^2

On met $x^2$ en facteur.

{1 + x = 6 \;\Rightarrow\; x = 5}

On divise par $x^2$ — permis, l'énoncé dit $x \ne 0$ .

$5$ . Sans la condition $x \ne 0$ , il y aurait eu deux solutions, $0$ et $5$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

Combien de solutions l'équation $(x - 2)(x + 3) = x^2 + x - 6$ a-t-elle ?

Une infinité de solutions
Aucune solution
Deux solutions
Une solution

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A Une infinité de solutions

Corrigé :

{(x - 2)(x + 3) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6}

On développe le membre de gauche.

x^2 + x - 6 = x^2 + x - 6

Les deux membres sont identiques : tout $x$ convient.

Une infinité de solutions. Une identité n'est pas une équation sans solution — c'est l'inverse.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

Combien de solutions l'équation $x^4 = 16\,x^2$ a-t-elle ?

Une solution
Quatre solutions
Trois solutions
Deux solutions

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C Trois solutions

Corrigé :

{x^4 - 16x^2 = 0 \;\Rightarrow\; x^2\,(x^2 - 16) = 0}

Tout à gauche, $x^2$ en facteur.

x^2\,(x - 4)(x + 4) = 0

La différence de carrés se factorise encore.

{x \in \{0,\; 4,\; -4\}}

Trois valeurs distinctes.

Trois solutions. « Deux » est la trace d'une division par $x^2$ ; « Quatre » compte le zéro double comme deux solutions.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

Donnée : $x \ne 2$ et $x \ne -2$ . $\dfrac{x^2 - 4}{x\,(x + 2) - 2\,(x + 2)} = ?$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

x\,(x + 2) - 2\,(x + 2) = (x + 2)(x - 2)

Au dénominateur, $(x + 2)$ se met en facteur.

x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

Au numérateur, une différence de carrés.

\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = 1

Tout se simplifie — les deux conditions garantissent qu'on ne divise pas par $0$ .

$1$ . Contrôle avec $x = 3$ : $\dfrac{5}{15 - 10} = 1$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

Combien de solutions l'équation $|x| = x^2 + 1$ a-t-elle ?

Deux solutions
Quatre solutions
Aucune solution
Une solution

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C Aucune solution

Corrigé :

x^2 + 1 - |x| = |x|^2 - |x| + 1

Comme $x^2 = |x|^2$ , tout s'écrit avec $t = |x| \ge 0$ .

t^2 - t + 1 = \left(t - \tfrac{1}{2}\right)^2 + \tfrac{3}{4} > 0

Cette quantité est toujours strictement positive : elle ne vaut jamais $0$ .

\text{aucune solution}

Aucune solution. Autre lecture : $x^2 + 1 > |x|$ pour tout $x$ , parce que $x^2 + 1 - |x| \ge \tfrac{3}{4}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

L'équation $x^2 = 5x$ a une seule solution.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}x^2 - 5x &= 0 \;\Rightarrow\; x\,(x - 5) \\ &= 0\end{aligned}

On factorise, on ne divise pas par $x$ .

\begin{aligned}x &= 0 \quad\text{ou}\quad x \\ &= 5\end{aligned}

Deux solutions.

Faux. Diviser par $x$ laisse $x = 5$ seul, et perd $x = 0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

Donnée : $x^3 - 9x = 0$ . Complétez.

On factorise : x(x² − 9) = 0. Les solutions sont ____, 0 et ____, soit ____ solutions.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : On factorise : x(x² − 9) = 0. Les solutions sont -3, 0 et 3, soit 3 solutions.

Corrigé :

x\,(x^2 - 9) = 0

$x$ en facteur.

\begin{aligned}x &= 0 \quad\text{ou}\quad x^2 \\ &= 9\end{aligned}

Un produit nul.

\{-3,\; 0,\; 3\}

Trois solutions.

$-3$ , $3$ , et $3$ solutions.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

Rangez chaque équation selon son nombre de solutions.

Aucune
Une infinité

$(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$
$|x| + 4 = 0$
$2x + 1 = 2\,(x + 1)$
$3\,(x + 2) = 3x + 6$
$x - (x - 5) = 5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $3\,(x + 2) = 3x + 6$ — Une infinité · $2x + 1 = 2\,(x + 1)$ — Aucune · $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ — Une infinité · $|x| + 4 = 0$ — Aucune · $x - (x - 5) = 5$ — Une infinité

Corrigé :

\begin{aligned}3x + 6 &= 3x + 6 \\ \quad x^2 + 2x + 1 &= x^2 + 2x + 1 \\ \quad 5 &= 5\end{aligned}

Les $x$ s'en vont et il reste une égalité vraie.

\begin{aligned}2x + 1 &= 2x + 2 \;\Rightarrow\; 1 \\ &= 2\end{aligned}

Il reste une égalité fausse.

|x| = -4

Une valeur absolue n'est jamais négative.

Aucune : $2x + 1 = 2(x + 1)$ et $|x| + 4 = 0$ . Les trois autres sont des identités.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev