Série 3 — treize questions · Équations et inconnues · Psychométriques

Treize questions : dix au format de l'examen, puis trois qui vérifient le même geste autrement. Lancez un chrono : quinze minutes pour la série.

Cochez toutes vos réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J. Puis corrigez d'un bloc et notez votre temps.

Onze ou plus dans le temps : la série est acquise, passez à la suivante. Huit à dix : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le geste qui a manqué.

Sept ou moins : revenez au cours et à l'unité « On résout ensemble » avant de continuer.

Dès qu'une barre apparaît, écrivez les deux cas — $x \ge 0$ et $x < 0$ — avant tout calcul. Et rappelez-vous que « $|x| \ne x$ » est une phrase déguisée : elle dit « $x$ est négatif ».

Exercices

Exercice 1

Donnée : $|{-6}| + |3| - |{-11}| - a = 4$ . Que vaut $a$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -6

Corrigé :

6 + 3 - 11 - a = 4

Chaque barre rend le nombre sans son signe.

{-2 - a = 4 \;\Rightarrow\; a = -6}

On calcule, puis $a$ traverse.

$-6$ . Contrôle : $-2 - (-6) = 4$ .

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Exercice 2

Données : $|x| \ne x$ et $|{-4x}| \ne -4x$ . Alors $x = ?$

$0$
$\dfrac{1}{4}$
$-\dfrac{1}{4}$
Aucun nombre $x$ ne vérifie les données

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D Aucun nombre $x$ ne vérifie les données

Corrigé :

|x| \ne x \;\Rightarrow\; x < 0

La première ligne : $x$ est strictement négatif.

|{-4x}| \ne -4x \;\Rightarrow\; -4x < 0 \;\Rightarrow\; x > 0

La seconde : $-4x$ est strictement négatif, donc $x$ est positif.

x < 0 \text{ et } x > 0 : \text{ impossible}

Les deux conditions se contredisent.

Aucun nombre ne vérifie les données. Le $0$ est tentant, mais $|0| = 0$ : la première ligne l'exclut déjà.

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Exercice 3

Donnée : $a \ne 0$ . Laquelle des expressions suivantes est nécessairement positive ?

$a^{-2} \cdot |{-a}|$
$a \cdot |a| - a$
$a^3 \cdot |a|$
$a^2 - |a|$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $a^{-2} \cdot |{-a}|$

Corrigé :

{a^{-2} \cdot |{-a}| = \frac{|a|}{a^2} = \frac{1}{|a|} > 0}

Un carré et une valeur absolue : deux quantités positives, et $a \ne 0$ écarte le zéro.

{a = \tfrac{1}{2} : \; a^2 - |a| = \tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{2} < 0}

Une fraction entre $0$ et $1$ casse la deuxième.

{a = -1 : \; a^3 \cdot |a| = -1,\quad a \cdot |a| - a = -1 + 1 = 0}

Un négatif casse la troisième, et donne $0$ — pas positif — à la quatrième.

$a^{-2} \cdot |{-a}|$ . Les contre-exemples sont toujours les mêmes : $\tfrac{1}{2}$ et $-1$ .

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Exercice 4

Données : $x < 0$ et $|x - 3| = 8$ . Que vaut $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -5

Corrigé :

{x - 3 = 8 \;\text{ou}\; x - 3 = -8}

Deux cas : ce qui est dans les barres vaut $8$ ou $-8$ .

{x = 11 \;\text{ou}\; x = -5}

On résout chacun.

x < 0 \;\Rightarrow\; x = -5

La donnée choisit.

$-5$ . Contrôle : $|{-5} - 3| = |{-8}| = 8$ .

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Exercice 5

Combien de solutions l'équation $|2x - 5| = -3$ a-t-elle ?

Aucune solution
Une infinité de solutions
Deux solutions
Une solution

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A Aucune solution

Corrigé :

|2x - 5| \ge 0 \text{ pour tout } x

Une valeur absolue n'est jamais négative.

|2x - 5| = -3 : \text{ impossible}

Un nombre positif ou nul ne peut pas valoir $-3$ .

Aucune solution. Ouvrir les deux cas donnerait $x = 1$ et $x = 4$ — deux « solutions » qui ne vérifient pas l'équation. Regardez le signe du membre de droite avant d'ouvrir.

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Exercice 6

Données : $B < 0 < A$ . $\dfrac{A \cdot |B|}{|A| \cdot B} = ?$

$-1$
$A$
$-\dfrac{A}{B}$
$1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $-1$

Corrigé :

{|A| = A,\qquad |B| = -B}

$A$ est positif, $B$ négatif : chaque barre s'ouvre selon son signe.

\frac{A \cdot (-B)}{A \cdot B} = -1

Les $A$ et les $B$ se simplifient ; reste le signe.

$-1$ . Contrôle : $A = 2$ , $B = -3$ donne $\dfrac{2 \cdot 3}{2 \cdot (-3)} = -1$ .

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Exercice 7

Combien de solutions l'équation $x^2 - 5\,|x| = 0$ a-t-elle ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

{x \ge 0 : \; x\,(x - 5) = 0 \;\Rightarrow\; x = 0 \text{ ou } 5}

Premier cas, factorisé.

{x < 0 : \; x\,(x + 5) = 0 \;\Rightarrow\; x = -5}

Second cas ; le $0$ n'est pas négatif.

{\{-5,\; 0,\; 5\}}

Trois solutions.

$3$ . Diviser par $x$ en aurait fait perdre une.

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Exercice 8

Données : $x < y < 0$ . Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

$x + y > 0$
$|x| > |y|$
$|x - y| = x - y$
$|x| < |y|$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $|x| > |y|$

Corrigé :

x < y < 0 \;\Rightarrow\; -x > -y > 0

On multiplie par $-1$ : les inégalités se retournent.

{|x| = -x,\quad |y| = -y \;\Rightarrow\; |x| > |y|}

Le plus négatif des deux est le plus loin de zéro.

{x = -3,\; y = -1 : \; x + y = -4 < 0,\quad |x - y| = 2 \ne -2}

Un seul exemple casse les deux dernières.

$|x| > |y|$ . Sur la droite, $x$ est à gauche de $y$ , donc plus loin de $0$ .

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Exercice 9

Donnée : $|x| + |y| = 0$ . Que vaut $x^2 + y^2 + 7$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

{|x| \ge 0,\; |y| \ge 0,\; |x| + |y| = 0 \;\Rightarrow\; x = y = 0}

Deux quantités positives ou nulles de somme nulle sont nulles toutes les deux.

0 + 0 + 7 = 7

$7$ .

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Exercice 10

Donnée : $|x - 2| < 3$ . Quel est le domaine exact de $x$ ?

$x > -1$
$x < 5$
$-1 < x < 5$
$-5 < x < 1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $-1 < x < 5$

Corrigé :

-3 < x - 2 < 3

« À moins de $3$ de $2$ » : ce qui est dans les barres est entre $-3$ et $3$ .

-1 < x < 5

On ajoute $2$ aux trois membres.

$-1 < x < 5$ . Contrôle : $x = 0$ donne $|{-2}| = 2 < 3$ , oui ; $x = 6$ donne $4$ , non.

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Exercice 11

Pour tout nombre $x$ , $|{-x}| = |x|$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}|{-x}| &= |{-1}| \cdot |x| \\ &= |x|\end{aligned}

Un nombre et son opposé sont à la même distance de zéro.

Vrai. C'est la définition même : la distance à zéro ne voit pas le signe.

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Exercice 12

Donnée : $|x - 4| = 6$ . Complétez.

Deux cas : x − 4 = 6 ou x − 4 = −6. Les solutions sont x = ____ et x = ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Deux cas : x − 4 = 6 ou x − 4 = −6. Les solutions sont x = 10 et x = -2.

Corrigé :

\begin{aligned}x - 4 &= 6 \;\Rightarrow\; x \\ &= 10\end{aligned}

Premier cas.

\begin{aligned}x - 4 &= -6 \;\Rightarrow\; x \\ &= -2\end{aligned}

Second cas.

$10$ et $-2$ : les deux nombres à distance $6$ de $4$ .

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Exercice 13

Donnée : $x < 0$ . Rangez chaque égalité.

Vraie
Fausse

$|2x| = -2x$
$|x - 1| = x - 1$
$|x^2| = x^2$
$|x| = -x$
$|x| = x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $|x| = -x$ — Vraie · $|x| = x$ — Fausse · $|2x| = -2x$ — Vraie · $|x^2| = x^2$ — Vraie · $|x - 1| = x - 1$ — Fausse

Corrigé :

\begin{aligned}x < 0 \;\Rightarrow\; |x| &= -x \\ \quad |2x| &= -2x\end{aligned}

Sous les barres, un négatif ressort changé de signe.

x^2 \ge 0 \;\Rightarrow\; |x^2| = x^2

Un carré est déjà positif.

x - 1 < 0 \;\Rightarrow\; |x - 1| = 1 - x

Et non $x - 1$ .

Vraies : $|x| = -x$ , $|2x| = -2x$ et $|x^2| = x^2$ .

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Exercices

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