Série 2 — treize questions · Équations et inconnues · Psychométriques

Treize questions : dix au format de l'examen, puis trois qui vérifient le même geste autrement. Lancez un chrono : quinze minutes pour la série.

Cochez toutes vos réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J. Puis corrigez d'un bloc et notez votre temps.

Onze ou plus dans le temps : la série est acquise, passez à la suivante. Huit à dix : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le geste qui a manqué.

Sept ou moins : revenez au cours et à l'unité « On résout ensemble » avant de continuer.

Devant $x^n = a^m$ , n'essayez pas de calculer $a^m$ : réécrivez-le comme une puissance $n$ -ième. Et devant un exposant pair, cherchez la ligne de l'énoncé qui fixe le signe.

Exercices

Exercice 1

Donnée : $x^3 = 7^6$ . Que vaut $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 49

Corrigé :

7^6 = \left(7^2\right)^3

On écrit la puissance connue comme un cube.

{x = 7^2 = 49}

Même exposant, mêmes bases.

$49$ . Contrôle : $49^3 = 117\,649 = 7^6$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Donnée : $x^4 = 2^{12}$ et $x > 0$ . Alors $x = ?$

$2^3$
$2^{16}$
$2^4$
$2^8$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $2^3$

Corrigé :

2^{12} = \left(2^3\right)^4

$12 = 3 \times 4$ : quatre paquets de trois.

{x = 2^3 = 8}

Exposant pair, mais $x > 0$ ferme le cas $-8$ .

$2^3$ . $2^4$ recopie l'exposant de $x$ ; $2^8$ et $2^{16}$ le retranchent ou l'ajoutent au lieu de diviser $12$ par $4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Donnée : $3^x \cdot 3^y = 243$ . Que vaut $x + y$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

3^x \cdot 3^y = 3^{x + y}

Produit de puissances de même base : les exposants s'ajoutent.

243 = 3^5

On écrit $243$ en base $3$ .

x + y = 5

Mêmes bases, mêmes exposants — sans connaître $x$ ni $y$ .

$5$ . La question porte sur la somme, jamais sur chaque exposant : c'est le signe qu'il ne faut pas les chercher.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

$27^x \cdot 9^x \cdot 3^x = ?$

$3^{3x}$
$3^{5x}$
$27^{3x}$
$3^{6x}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $3^{6x}$

Corrigé :

{27 = 3^3,\quad 9 = 3^2}

Tout en base $3$ .

3^{3x} \cdot 3^{2x} \cdot 3^{x} = 3^{3x + 2x + x}

Les exposants s'ajoutent.

3^{6x}

$3 + 2 + 1 = 6$ .

$3^{6x}$ . $3^{3x}$ multiplie les exposants comme s'ils étaient des facteurs ; $27^{3x}$ vaut $3^{9x}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

$2^{15} + 2^{15} = ?$

$4^{30}$
$2^{30}$
$4^{15}$
$2^{16}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $2^{16}$

Corrigé :

2^{15} + 2^{15} = 2 \cdot 2^{15}

Une somme de deux termes égaux, c'est le double.

2 \cdot 2^{15} = 2^{16}

Un facteur $2$ de plus : l'exposant monte de $1$ .

$2^{16}$ . $2^{30}$ et $4^{15}$ traitent la somme comme un produit — c'est la même valeur, deux fois fausse.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

Donnée : $5^{x + 2} = k \cdot 5^{x}$ . Que vaut $k$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25

Corrigé :

5^{x + 2} = 5^x \cdot 5^2

On sépare l'exposant : $x + 2$ devient un produit de puissances.

{k = 5^2 = 25}

On compare aux deux membres.

$25$ . Contrôle avec $x = 1$ : $125 = 25 \cdot 5$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

$n$ est un entier, $n \ge 1$ , et $(-3)^{2n} < (-10)^{n}$ . Lequel des énoncés suivants est nécessairement vrai ?

$n$ est divisible par $3$
$n$ est pair
$n > 10$
$n$ est impair

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $n$ est pair

Corrigé :

(-3)^{2n} = 9^n > 0

Un exposant pair rend le membre de gauche positif, quel que soit $n$ .

(-10)^n > 9^n > 0 \;\Rightarrow\; n \text{ pair}

Le membre de droite doit être positif, donc l'exposant $n$ est pair.

n \text{ pair} : \; 9^n < 10^n \;\checkmark

Et pour tout $n$ pair l'inégalité tient bien : rien de plus n'est imposé.

$n$ est pair. $n = 2$ convient et n'est ni divisible par $3$ ni supérieur à $10$ : les deux dernières propositions tombent sur ce seul exemple.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

Donnée : $\left(x^2\right)^3 = 4^9$ et $x > 0$ . Que vaut $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

{x^6 = 4^9 = \left(2^2\right)^9 = 2^{18}}

Tout en base $2$ , et les exposants se multiplient.

{2^{18} = \left(2^3\right)^6 \;\Rightarrow\; x = 2^3 = 8}

Un exposant $6$ des deux côtés ; $x > 0$ écarte $-8$ .

$8$ . Contrôle : $8^6 = 262\,144 = 4^9$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

$\dfrac{6^5}{2^5 \cdot 3^3} = ?$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

6^5 = 2^5 \cdot 3^5

On décompose la base $6$ .

{\frac{2^5 \cdot 3^5}{2^5 \cdot 3^3} = 3^{5 - 3} = 3^2 = 9}

Les $2^5$ se simplifient ; les exposants de $3$ se retranchent.

$9$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

Données : $x^2 = 64$ et $x^3 < 0$ . Que vaut $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -8

Corrigé :

{x^2 = 64 \;\Rightarrow\; x = 8 \text{ ou } x = -8}

Exposant pair : deux cas.

x^3 < 0 \;\Rightarrow\; x < 0 \;\Rightarrow\; x = -8

Un cube a le signe de sa base : la seconde donnée choisit.

$-8$ . La ligne « $x^3 < 0$ » n'est là que pour ça.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

$4^5 + 4^5 + 4^5 + 4^5 = 4^6$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

4^5 + 4^5 + 4^5 + 4^5 = 4 \cdot 4^5

Quatre fois la même puissance.

4 \cdot 4^5 = 4^6

Multiplier par la base ajoute un à l'exposant.

Vrai. Quatre termes égaux à $4^5$ : c'est la base elle-même qui multiplie.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

Donnée : $9^x = 3^{x + 6}$ . Complétez.

On écrit 9 comme une puissance de 3 : le membre de gauche devient 3 puissance ____x. Les exposants sont égaux, donc x = ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : On écrit 9 comme une puissance de 3 : le membre de gauche devient 3 puissance 2x. Les exposants sont égaux, donc x = 6.

Corrigé :

\begin{aligned}9^x &= \left(3^2\right)^x \\ &= 3^{2x}\end{aligned}

Base commune $3$ .

\begin{aligned}2x &= x + 6 \;\Rightarrow\; x \\ &= 6\end{aligned}

Même base, mêmes exposants.

$2$ , puis $6$ . Contrôle : $9^6 = 3^{12}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

Rangez chaque écriture : vaut-elle $2^{12}$ ?

Égale
Différente

$16^3$
$2^6 \cdot 2^2$
$2^6 + 2^6$
$4^6$
$8^4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $8^4$ — Égale · $4^6$ — Égale · $2^6 + 2^6$ — Différente · $16^3$ — Égale · $2^6 \cdot 2^2$ — Différente

Corrigé :

\begin{aligned}8^4 &= 2^{12} \\ \quad 4^6 &= 2^{12} \\ \quad 16^3 &= 2^{12}\end{aligned}

$8 = 2^3$ , $4 = 2^2$ , $16 = 2^4$ : on multiplie les exposants.

\begin{aligned}2^6 + 2^6 &= 2^7 \\ \quad 2^6 \cdot 2^2 &= 2^8\end{aligned}

Une somme double ; un produit additionne.

Égales : $8^4$ , $4^6$ et $16^3$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev