Série 1 — treize questions · Équations et inconnues · Psychométriques

Treize questions : dix au format de l'examen, puis trois qui vérifient le même geste autrement. Lancez un chrono : quinze minutes pour la série.

Cochez toutes vos réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J. Puis corrigez d'un bloc et notez votre temps.

Onze ou plus dans le temps : la série est acquise, passez à la suivante. Huit à dix : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le geste qui a manqué.

Sept ou moins : revenez au cours et à l'unité « On résout ensemble » avant de continuer.

Un seul réflexe à installer dans cette série : après avoir isolé, remplacez par une valeur et vérifiez l'équation de départ. Cinq secondes, et une case fausse ne survit pas.

Exercices

Exercice 1

Donnée : $5x + 9 = 34$ . Que vaut $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

{5x = 34 - 9 = 25}

Le $9$ traverse en $-9$ .

{x = 25 : 5 = 5}

On divise par $5$ .

$5$ . Contrôle : $25 + 9 = 34$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Donnée : $x - 8y = 2$ . Alors $y = ?$

$8x - 2$
$\dfrac{x + 2}{8}$
$\dfrac{x}{8} - 2$
$\dfrac{x - 2}{8}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\dfrac{x - 2}{8}$

Corrigé :

-8y = 2 - x

Le $x$ traverse en $-x$ .

{y = \frac{2 - x}{-8} = \frac{x - 2}{8}}

On divise les deux termes par $-8$ , puis on remonte le moins.

{x = 10 : \; y = 1, \quad 10 - 8 = 2 \;\checkmark}

Contrôle.

$\dfrac{x - 2}{8}$ . $\dfrac{x + 2}{8}$ oublie le signe du terme qui a traversé ; $\dfrac{x}{8} - 2$ ne divise qu'un terme ; $8x - 2$ multiplie au lieu de diviser.

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Exercice 3

Donnée : $3a + 4b = 24$ . Alors $b = ?$

$\dfrac{24 + 3a}{4}$
$24 - \dfrac{3a}{4}$
$\dfrac{3a - 24}{4}$
$\dfrac{24 - 3a}{4}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\dfrac{24 - 3a}{4}$

Corrigé :

4b = 24 - 3a

Le $3a$ traverse en $-3a$ .

{b = \frac{24 - 3a}{4} = 6 - \frac{3a}{4}}

On divise les deux termes par $4$ .

{a = 4 : \; b = 3, \quad 12 + 12 = 24 \;\checkmark}

Contrôle.

$\dfrac{24 - 3a}{4}$ . $24 - \dfrac{3a}{4}$ n'a divisé qu'un terme ; $\dfrac{3a - 24}{4}$ a les deux signes à l'envers ; $\dfrac{24 + 3a}{4}$ a oublié le signe.

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Exercice 4

Donnée : $\dfrac{x}{4} - 3 = 5$ . Que vaut $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 32

Corrigé :

\frac{x}{4} = 8

Le $-3$ traverse en $+3$ : $5 + 3 = 8$ .

x = 32

Diviser par $4$ s'inverse en multiplier par $4$ .

$32$ . Contrôle : $32 : 4 - 3 = 5$ .

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Exercice 5

Donnée : $2\,(x - y) = 3x + 4$ . Alors $y = ?$

$4 - \dfrac{x}{2}$
$-\dfrac{x + 4}{2}$
$\dfrac{x + 4}{2}$
$\dfrac{x - 4}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $-\dfrac{x + 4}{2}$

Corrigé :

2x - 2y = 3x + 4

On développe la parenthèse d'abord.

-2y = x + 4

Le $2x$ traverse : $3x - 2x = x$ .

y = -\frac{x + 4}{2}

On divise les deux termes par $-2$ .

{x = 2 : \; y = -3, \quad 2\,(2 + 3) = 10 = 6 + 4 \;\checkmark}

Contrôle.

$-\dfrac{x + 4}{2}$ . Les trois autres ont perdu un signe en route : celui de la division par $-2$ , ou celui du $2x$ qui traverse.

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Exercice 6

Donnée : $ab - 3a = 21 - 7b$ , avec $b \ne 3$ . Que vaut $a$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -7

Corrigé :

a\,(b - 3) = 21 - 7b

À gauche, $a$ en facteur.

21 - 7b = -7\,(b - 3)

À droite, $-7$ en facteur : le même $(b - 3)$ apparaît.

a = -7

On divise par $(b - 3)$ , non nul puisque $b \ne 3$ .

$-7$ . La condition « $b \ne 3$ » annonçait la division par $(b - 3)$ .

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Exercice 7

Donnée : $\dfrac{x + y}{x} = 5$ , avec $x \ne 0$ . Que vaut $\dfrac{y}{x}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

{\frac{x + y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} = 1 + \frac{y}{x}}

On sépare la fraction : le $x$ du haut sur le $x$ du bas fait $1$ .

{1 + \frac{y}{x} = 5 \;\Rightarrow\; \frac{y}{x} = 4}

Le $1$ traverse.

$4$ . Contrôle : $x = 1$ , $y = 4$ donne $\dfrac{5}{1} = 5$ .

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Exercice 8

Donnée : $x^2 + x^4 = a\,x^2$ , avec $x \ne 0$ . Alors $x^2 = ?$

$a$
$a - 1$
$a + 1$
$a^2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $a - 1$

Corrigé :

x^2\,(1 + x^2) = a\,x^2

On met $x^2$ en facteur à gauche.

1 + x^2 = a

On divise par $x^2$ , autorisé puisque $x \ne 0$ — c'est ce que la condition annonçait.

x^2 = a - 1

Le $1$ traverse.

$a - 1$ . Contrôle : $x = 2$ donne $4 + 16 = 20 = 5 \cdot 4$ , donc $a = 5$ et $x^2 = 4 = a - 1$ .

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Exercice 9

Données : $2x + 3y = 13$ et $4x + 5y = 23$ . Que vaut $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

4x + 6y = 26

On double la première équation pour aligner les $x$ .

{(4x + 6y) - (4x + 5y) = 26 - 23 \;\Rightarrow\; y = 3}

On soustrait membre à membre.

{2x + 9 = 13 \;\Rightarrow\; x = 2}

On remonte dans la première.

$2$ . Contrôle dans la seconde : $8 + 15 = 23$ .

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Exercice 10

Donnée : $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{z}$ , avec $x$ , $y$ , $z$ non nuls. Alors $z = ?$

$\dfrac{1}{x + y}$
$\dfrac{xy}{x + y}$
$\dfrac{x + y}{xy}$
$x + y$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\dfrac{xy}{x + y}$

Corrigé :

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{xy}

On met au même dénominateur.

\frac{1}{z} = \frac{x + y}{xy}

Deux fractions égales…

z = \frac{xy}{x + y}

… ont des inverses égaux. On retourne les deux.

$\dfrac{xy}{x + y}$ . $\dfrac{x + y}{xy}$ est $\dfrac{1}{z}$ , pas $z$ : l'inversion finale a été oubliée. $x + y$ additionne des inverses comme des nombres.

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Exercice 11

Donnée : $2x + 5y = 10$ . Alors $y = 2 - \dfrac{2x}{5}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

5y = 10 - 2x

Le $2x$ traverse en $-2x$ .

\begin{aligned}y &= \frac{10 - 2x}{5} \\ &= 2 - \frac{2x}{5}\end{aligned}

On divise les deux termes par $5$ .

Vrai. Contrôle : $x = 5$ donne $y = 0$ , et $10 + 0 = 10$ .

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Exercice 12

Données : $x + y = 7$ et $x - y = 3$ . Complétez.

En additionnant les deux équations, 2x = ____, donc x = ____ et y = ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : En additionnant les deux équations, 2x = 10, donc x = 5 et y = 2.

Corrigé :

(x + y) + (x - y) = 7 + 3

Les $y$ s'annulent.

\begin{aligned}2x &= 10 \;\Rightarrow\; x \\ &= 5\end{aligned}

On divise par $2$ .

\begin{aligned}y &= 7 - 5 \\ &= 2\end{aligned}

On remplace dans la première.

$10$ , $5$ et $2$ . Contrôle dans la seconde : $5 - 2 = 3$ .

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Exercice 13

Donnée : $x - 3y = 6$ . Rangez chaque écriture de $y$ .

Juste
Fausse

$y = \dfrac{x - 6}{3}$
$y = \dfrac{x + 6}{3}$
$y = \dfrac{x}{3} - 2$
$y = \dfrac{x}{3} - 6$
$y = 3x - 6$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $y = \dfrac{x - 6}{3}$ — Juste · $y = \dfrac{x}{3} - 2$ — Juste · $y = \dfrac{x + 6}{3}$ — Fausse · $y = \dfrac{x}{3} - 6$ — Fausse · $y = 3x - 6$ — Fausse

Corrigé :

-3y = 6 - x

Le $x$ traverse en $-x$ .

\begin{aligned}y &= \frac{x - 6}{3} \\ &= \frac{x}{3} - 2\end{aligned}

On divise les deux termes par $-3$ .

\begin{aligned}x &= 9 : \; y \\ &= 1 \\ \quad 9 - 3 &= 6 \;\checkmark\end{aligned}

Le contrôle élimine les trois autres.

Justes : les deux premières, deux écritures du même $y$ . Les autres : signe perdu, un seul terme divisé, multiplication.

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Exercices

La suite se pratique sur elev