Le réflexe équation · Équations et inconnues · Psychométriques

Dans chaque section quantitative, deux à quatre questions n'ont ni figure ni histoire : une donnée d'une ligne, une lettre à trouver, quatre propositions.

Elles ouvrent presque toujours la section — questions 1 à 8 —, là où le temps se gagne. Sur les vingt fascicules dépouillés pour ce chapitre, aucune session n'en manque.

Elles se règlent toutes de la même manière : un geste, pas un calcul. Ce chapitre installe six gestes — isoler, égaler les bases, ouvrir la valeur absolue, compter les solutions, borner des entiers, chercher le contre-exemple.

Chaque geste vient avec son piège. Les trois mauvaises propositions ne sont jamais tirées au hasard : chacune est le résultat d'une erreur prévue d'avance.

Geste 1 — isoler une lettre

« Donnée : $x - 4y = 3$ . Alors $y = ?$ » C'est la question la plus fréquente de la famille : deux opérations, toujours les mêmes, dans cet ordre.

1

Changer de côté, c'est changer de signe. Tout ce qui n'est pas la lettre cherchée traverse le signe égal — et bascule.

2

Diviser, c'est diviser tout le membre. On divise par le coefficient de la lettre : chaque terme de l'autre côté, pas un seul.

Le contrôle coûte cinq secondes : prenez une valeur commode — ici $x = 11$ , qui donne $y = 2$ — et vérifiez dans l'équation de départ.

Une proposition fausse n'y survit pas : le test élimine souvent trois cases d'un coup.

Les trois distracteurs d'un « $y = ?$ » sont toujours fabriqués de la même façon.

y = \frac{x + 3}{4}

y = \frac{x - 3}{4}

Le signe du terme qui a traversé a été oublié.

y = \frac{x}{4} - 3

y = \frac{x}{4} - \frac{3}{4}

Un seul terme a été divisé par $4$ .

y = 4x - 3

Diviser par $4$ est devenu multiplier : le coefficient a changé de côté sans s'inverser.

Donnée : $2a + 3b = 12$ . Alors $b = ?$

Voir la réponse et le corrigé

$b = \dfrac{12 - 2a}{3}$ , ou $4 - \dfrac{2a}{3}$ . Le $2a$ traverse en $-2a$ , puis on divise les deux termes par $3$ . Contrôle avec $a = 3$ : $b = 2$ , et $6 + 6 = 12$ .

Quand la lettre cherchée apparaît des deux côtés, ou dans un produit, on la rassemble d'abord. Souvent, la factorisation fait tout le travail.

Une condition comme « $b \ne 2$ » ou « $x \ne 0$ » dans l'énoncé n'est jamais décorative : elle vous dit par quoi vous allez diviser. Lisez-la comme une indication de méthode.

Geste 2 — même base, mêmes exposants

« Donnée : $x^3 = 4^6$ . Alors $x = ?$ » On n'extrait pas de racine cubique de $4^6$ de tête.

On réécrit la puissance connue avec l'exposant de l'inconnue, et l'on compare.

{x^{n} = a^{m} \;\Rightarrow\; x^{n} = \left(a^{m/n}\right)^{n} \;\Rightarrow\; x = a^{m/n}}

Autour de la bonne réponse, l'examen place ses voisins.

x = 4^3

x = 4^2

L'exposant de $x$ a été recopié au lieu de servir de diviseur : $6 : 3 = 2$ .

x = 2^2

\begin{aligned}x &= 4^2 \\ &= 2^4\end{aligned}

La base a été « simplifiée » en $2$ sans que l'exposant suive. $4^2 = 2^4$ , pas $2^2$ .

Trois autres règles servent dans ces questions, et rien de plus :

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Produit de puissances de même base. $2^x \cdot 2^y = 32 = 2^5$ donne $x + y = 5$ — sans jamais connaître $x$ ni $y$ séparément.

{8 = 2^3,\quad 4 = 2^2,\quad 27 = 3^3}

Ramener à une base commune. $8^x \cdot 4^x \cdot 2^x = 2^{3x} \cdot 2^{2x} \cdot 2^{x} = 2^{6x}$ .

a^n + a^n = 2 \cdot a^n

Une somme n'est pas un produit. $2^{10} + 2^{10} = 2 \cdot 2^{10} = 2^{11}$ — et surtout pas $2^{20}$ ni $4^{10}$ .

Donnée : $x^4 = 5^8$ et $x > 0$ . Alors $x = ?$

Voir la réponse et le corrigé

$x = 5^2 = 25$ . $5^8 = \left(5^2\right)^4$ , donc $x^4 = 25^4$ ; comme $x$ est positif, $x = 25$ . Sans le « $x > 0$ », $x = -25$ conviendrait aussi : un exposant pair ouvre toujours cette porte, et l'énoncé la referme exprès.

Devant un exposant pair, posez-vous la question du signe avant de cocher. $x^2 = 49$ a deux solutions ; $x^3 = 64$ n'en a qu'une. C'est toute la différence entre « une solution » et « deux solutions » dans les questions du geste 4.

Geste 3 — la valeur absolue s'ouvre en deux cas

|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}

La valeur absolue est une distance à zéro : jamais négative, et la même pour un nombre et son opposé.

Tout ce que l'examen en demande tient dans trois lectures de cette définition. Posez d'abord quelques nombres sur la droite.

|x| = x

exactement quand $x \ge 0$ . Donc « $|x| \ne x$ » est une façon déguisée d'écrire « $x$ est strictement négatif ».

|x| = -x

exactement quand $x \le 0$ . Un moins devant une lettre ne dit rien du signe du résultat : $-x$ est positif quand $x$ est négatif.

{|x|^2 = x^2,\qquad |a|\cdot|b| = |ab|}

Le carré efface les barres. Utile dans les deux sens : $x^2 - 4|x|$ se factorise en $|x|\,(|x| - 4)$ .

La faute qui coûte le plus dans ce geste.

|{-9}| = -9

|{-9}| = 9

Les barres rendent un nombre positif ou nul, toujours.

|x| = x

|x| = x \iff x \ge 0

Pour $x = -2$ , $|x| = 2 \ne -2$ . Une lettre peut cacher un négatif.

Données : $|x| \ne x$ et $|{-2x}| \ne -2x$ . Combien de nombres $x$ vérifient les deux ?

Voir la réponse et le corrigé

Aucun. La première ligne dit $x < 0$ . La seconde dit $-2x < 0$ , donc $x > 0$ . Un nombre ne peut pas être des deux côtés de zéro. « Aucun nombre ne vérifie les données » est une vraie réponse — l'examen la propose régulièrement, et elle est parfois la bonne.

Geste 4 — compter les solutions

« Combien de solutions… ? » La question ne demande pas les solutions, mais leur nombre : une, deux, trois, aucune, une infinité.

On ne sait les compter qu'en les trouvant. Deux réflexes décident de tout.

x^2 = x^3

Ne divisez jamais par $x$ . Diviser efface la solution $x = 0$ . On factorise : $x^2\,(1 - x) = 0$ , donc $x = 0$ ou $x = 1$ — deux solutions, pas une.

(2x + 3)^2 = (x + 6)^2

Deux carrés égaux : deux cas. $2x + 3 = x + 6$ ou $2x + 3 = -(x + 6)$ , donc $x = 3$ ou $x = -3$ . Si l'énoncé ajoute « $x < 0$ », il n'en reste qu'une.

Une valeur absolue dans l'équation ? C'est le geste 3 qui commande : on ouvre les deux cas, et l'on compte dans chacun.

Puis l'on vérifie que chaque solution respecte le cas d'où elle vient. C'est ainsi que $x^2 - 4|x| = 0$ a trois solutions, et non quatre.

Combien de solutions l'équation $(5x - 2)^3 = 0$ a-t-elle ?

Voir la réponse et le corrigé

Une seule, $x = \dfrac{2}{5}$ . Un cube est nul exactement quand sa base est nulle — l'exposant $3$ ne multiplie pas les solutions. Il ne le ferait que dans une équation comme $x^3 - 5x^2 = 0$ , où le facteur $x^2$ apporte la solution $0$ en plus.

Avant de compter, demandez-vous de quelle famille est l'équation : un produit nul (autant de solutions que de facteurs distincts qui peuvent s'annuler), deux carrés égaux (deux cas), une valeur absolue (deux cas), ou une égalité de nombres après simplification (aucune, ou une infinité).

Geste 5 — des entiers, et une borne à trouver

« $x$ et $y$ sont des entiers, $x \ne y$ . Quelle est la plus petite valeur de $(x - y)^2$ ? » Ici, le mot entiers est toute la question.

Deux réels différents peuvent être aussi proches qu'on veut ; deux entiers différents sont séparés d'au moins une unité.

{x, y \in \mathbb{Z},\; x \ne y \;\Rightarrow\; |x - y| \ge 1 \;\Rightarrow\; (x - y)^2 \ge 1}

Le minimum est donc $1$ , atteint dès que $y = x \pm 1$ . Le $0$ est la case que l'on coche quand on saute la ligne « $x \ne y$ ».

« Au moins » : on pousse la borne. $a$ et $b$ sont des entiers positifs, $a - b = 30$ , et $a + b$ s'écrit avec trois chiffres. Que vaut $a$ au minimum ?

Les petits cas : $0$ , $1$ , $2$ suffisent presque toujours. Exemple : $m$ et $n$ sont des entiers positifs, $m < n$ et $m \cdot n < m + n$ .

m = 1

$n < 1 + n$ : toujours vrai.

m = 2

$2n < 2 + n$ force $n < 2$ : impossible avec $m < n$ . Donc $m = 1$ nécessairement.

Les consécutifs : trois entiers consécutifs de somme nulle sont $-1$ , $0$ , $1$ . Le milieu est la moyenne, donc $0$ , et les deux autres suivent.

Geste 6 — « nécessairement » se casse d'un contre-exemple

« Lequel des énoncés suivants est nécessairement vrai ? » Une proposition l'est si aucun choix de valeurs compatible avec les données ne la met en défaut.

Pour l'éliminer, un seul contre-exemple suffit. Pour la garder, il faut un argument — et souvent il tient en une ligne.

{0,\quad 1,\quad -1}

Les trois valeurs qui cassent tout. Zéro annule un produit, un ne change rien à une puissance, moins un renverse un signe.

0 < a < 1

Une fraction entre 0 et 1 : son carré est plus petit qu'elle. Si $0 < a < b < 1$ , la plus grande des expressions $a$ , $b$ , $a^2$ , $b^2$ est $b$ — et non $b^2$ .

x < 0

Un négatif renverse l'inégalité quand on multiplie par lui. $x \cdot z < x \cdot y$ ne dit pas que $z < y$ : si $x < 0$ , c'est l'inverse.

Données : $w < x < y < z$ et $z = 2x$ . Combien de ces quatre nombres sont nécessairement positifs ?

Voir la réponse et le corrigé

Trois. $z = 2x$ et $z > x$ forcent $x > 0$ : si $x$ était négatif, $2x$ serait plus petit que $x$ . Donc $x$ , $y$ et $z$ sont positifs. $w$ peut être négatif : $w = -1$ , $x = 1$ , $y = 1{,}5$ , $z = 2$ respecte tout. Trois, pas quatre.

Sur un « nécessairement », testez d'abord la proposition qui vous semble vraie avec $0$ , $1$ , $-1$ et une fraction. Si elle survit aux quatre, elle est presque toujours la bonne — et vous avez gagné deux minutes sur les trois autres.

Mémo — les six gestes

1

Isoler : changer de côté change le signe ; diviser divise tout le membre ; contrôler avec une valeur.

2

Puissances : réécrire la puissance connue avec l'exposant de l'inconnue ; même base, mêmes exposants.

3

Valeur absolue : deux cas, $x \ge 0$ et $x < 0$ ; « $|x| \ne x$ » veut dire $x < 0$ .

4

Compter : factoriser, jamais diviser par $x$ ; deux carrés égaux, deux cas ; les $x$ disparaissent → vrai ou faux.

5

Entiers : deux entiers différents sont à au moins $1$ l'un de l'autre ; pousser la borne ; essayer $0$ , $1$ , $2$ .

6

Nécessairement : un contre-exemple élimine ; $0$ , $1$ , $-1$ , une fraction, un négatif.

La page suivante déroule cinq de ces questions avec vous, pas à pas. Puis le jeu « Réflexe équation » et cinq séries font travailler chaque geste jusqu'au réflexe.

Exercices

Exercice 1

Donnée : $3x - 7 = 11$ . Que vaut $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

{3x = 11 + 7 = 18}

Le $-7$ traverse et devient $+7$ .

{x = 18 : 3 = 6}

On divise par le coefficient $3$ .

$6$ . Contrôle : $3 \cdot 6 - 7 = 11$ .

Geste 1 — isoler une lettre

Geste 2 — même base, mêmes exposants

Geste 3 — la valeur absolue s'ouvre en deux cas

Geste 4 — compter les solutions

Geste 5 — des entiers, et une borne à trouver

Geste 6 — « nécessairement » se casse d'un contre-exemple

Mémo — les six gestes

Exercices

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