On résout ensemble

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Cinq questions, une par geste du cours. Chacune est d'abord déroulée avec vous, une transformation par clic.

Puis vient sa jumelle, à faire seul — et une seconde question, d'une autre forme.

Avant chaque clic, dites ce que vous feriez. C'est l'écart entre votre réflexe et l'étape qui apparaît qui vous apprend quelque chose — pas la lecture.

Sur l'examen réel, ces questions valent autant que les problèmes longs et se règlent en trente secondes. Le temps qu'elles vous rendent se dépense sur les questions 15 à 20.

1 — Isoler : le terme qui traverse

À vous : la question jumelle suit, puis une équation à résoudre de tête.

2 — Puissances : six facteurs, trois paquets

À vous : la jumelle a un exposant pair, et une ligne de l'énoncé décide du signe.

3 — Valeur absolue : deux cas, trois points

À vous : même forme, autre coefficient. Puis une barre autour d'une somme.

4 — Compter : quand les x s'effacent

À vous : cette fois, regardez bien ce qui reste. Puis deux cas, dont un vide.

5 — Entiers : choisissez y vous-même

À vous : le carré apparaît deux fois. Puis triez les valeurs possibles.

Exercices

Exercice 1

Donnée : 2x−3y=82x - 3y = 8. Alors y=?y = ?

  1. 2x−83\dfrac{2x - 8}{3}
  2. 8−2x3\dfrac{8 - 2x}{3}
  3. 2x+83\dfrac{2x + 8}{3}
  4. 2x3−8\dfrac{2x}{3} - 8
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Réponse : A 2x−83\dfrac{2x - 8}{3}

Corrigé :

−3y=8−2x-3y = 8 - 2x

Le 2x2x traverse et devient −2x-2x.

y=8−2x−3y = \frac{8 - 2x}{-3}

On divise les deux termes de droite par −3-3.

y=2x−83y = \frac{2x - 8}{3}

Le moins du dénominateur remonte : les deux signes du numérateur basculent.

x=7:  y=2,14−6=8  ✓{x = 7 : \; y = 2, \quad 14 - 6 = 8 \;\checkmark}

Le contrôle avec une valeur commode.

2x−83\dfrac{2x - 8}{3}. 8−2x3\dfrac{8 - 2x}{3} a remonté le moins du dénominateur sans changer les signes du numérateur ; 2x+83\dfrac{2x + 8}{3} a oublié le signe du terme qui a traversé ; 2x3−8\dfrac{2x}{3} - 8 n'a divisé qu'un terme.

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Exercice 2

Donnée : x2=38x^2 = 3^8 et x>0x > 0. Alors x=?x = ?

  1. 343^4
  2. 3103^{10}
  3. 363^6
  4. 646^4
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Réponse : A 343^4

Corrigé :

38=(34)23^8 = \left(3^4\right)^2

On écrit la puissance connue comme un carré, puisque l'inconnue est au carré.

x2=(34)2  ⇒  x=34 ou x=−34{x^2 = \left(3^4\right)^2 \;\Rightarrow\; x = 3^4 \text{ ou } x = -3^4}

Deux carrés égaux : deux cas, parce que l'exposant est pair.

x>0  ⇒  x=34=81{x > 0 \;\Rightarrow\; x = 3^4 = 81}

La ligne « x>0x > 0 » de l'énoncé referme le second cas. Contrôle : 812=6561=3881^2 = 6561 = 3^8.

343^4. 363^6 recopie un exposant au lieu de le diviser par 22, 3103^{10} l'additionne, et 646^4 a doublé la base au lieu de l'exposant. Sans le « x>0x > 0 », il y aurait eu deux réponses — et l'énoncé le sait.

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Exercice 3

Combien de solutions l'équation x2=6 ∣x∣x^2 = 6\,|x| a-t-elle ?

  1. Quatre solutions
  2. Trois solutions
  3. Deux solutions
  4. Une solution
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Réponse : B Trois solutions

Corrigé :

x≥0:  x2=6x  ⇒  x (x−6)=0  ⇒  x=0 ou x=6{x \ge 0 : \; x^2 = 6x \;\Rightarrow\; x\,(x - 6) = 0 \;\Rightarrow\; x = 0 \text{ ou } x = 6}

Premier cas. On factorise — diviser par xx aurait perdu le 00.

x<0:  x2=−6x  ⇒  x (x+6)=0  ⇒  x=−6{x < 0 : \; x^2 = -6x \;\Rightarrow\; x\,(x + 6) = 0 \;\Rightarrow\; x = -6}

Second cas. Le 00 ressort aussi, mais il n'est pas négatif : il ne compte pas une seconde fois.

{−6,  0,  6}{\{-6,\; 0,\; 6\}}

Trois solutions.

Trois solutions. « Deux » vient d'une division par xx ; « Quatre » compte le zéro deux fois, une par cas. Le zéro est un seul nombre.

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Exercice 4

Combien de solutions l'équation (x+4)(x−1)−x (x+3)=−4(x + 4)(x - 1) - x\,(x + 3) = -4 a-t-elle ?

  1. Une infinité de solutions
  2. Une solution
  3. Deux solutions
  4. Aucune solution
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Réponse : A Une infinité de solutions

Corrigé :

x2+3x−4−x2−3x=−4x^2 + 3x - 4 - x^2 - 3x = -4

On développe ; le moins devant x (x+3)x\,(x + 3) s'applique aux deux termes.

−4=−4-4 = -4

Les xx s'effacent. Il reste une égalité vraie.

une infiniteˊ de solutions\text{une infinité de solutions}

Tout nombre xx convient : l'équation est une identité.

Une infinité de solutions. Même forme que l'animation, verdict opposé : là où 6=76 = 7 fermait tout, −4=−4-4 = -4 ouvre tout. On ne répond pas « aucune » par réflexe — on lit ce qui reste.

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Exercice 5

aa et bb sont des entiers, a≠ba \ne b. Quelle est la plus petite valeur que peut prendre (a−b)2+(b−a)2(a - b)^2 + (b - a)^2 ?

  1. 00
  2. 44
  3. 22
  4. 11
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Réponse : C 22

Corrigé :

(b−a)2=(a−b)2(b - a)^2 = (a - b)^2

Un carré ne voit pas le signe : les deux termes sont égaux.

(a−b)2+(b−a)2=2 (a−b)2(a - b)^2 + (b - a)^2 = 2\,(a - b)^2

L'expression est le double d'un seul carré.

∣a−b∣≥1  ⇒  2 (a−b)2≥2|a - b| \ge 1 \;\Rightarrow\; 2\,(a - b)^2 \ge 2

Deux entiers différents sont à au moins une unité : le carré vaut au moins 11, et son double au moins 22 — atteint pour b=a±1b = a \pm 1.

22. 00 oublie « a≠ba \ne b » ; 11 oublie que le carré apparaît deux fois ; 44 prend un écart de 22 au lieu de 11.

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Exercice 6

Donnée : 4x−3=2x+94x - 3 = 2x + 9. Que vaut xx ?

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Réponse : 6

Corrigé :

4x−2x=9+34x - 2x = 9 + 3

Les xx d'un côté, les nombres de l'autre : chacun change de signe en traversant.

2x=12  ⇒  x=6\begin{aligned}2x &= 12 \;\Rightarrow\; x \\ &= 6\end{aligned}

On divise par 22.

66. Contrôle : 24−3=21=12+924 - 3 = 21 = 12 + 9.

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Exercice 7

Donnée : x3=212x^3 = 2^{12}. Complétez.

On range les douze facteurs 2 en trois paquets : chaque paquet vaut 2 puissance ____. Donc x = ____.

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Réponse : On range les douze facteurs 2 en trois paquets : chaque paquet vaut 2 puissance 4. Donc x = 16.

Corrigé :

212=(24)32^{12} = \left(2^4\right)^3

Douze facteurs en trois paquets de quatre.

x3=(24)3  ⇒  x=24=16\begin{aligned}x^3 &= \left(2^4\right)^3 \;\Rightarrow\; x \\ &= 2^4 \\ &= 16\end{aligned}

Deux cubes égaux ont des bases égales.

44, puis 1616. L'exposant de la réponse est 12:3=412 : 3 = 4 — pas 12−3=912 - 3 = 9.

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Exercice 8

L'équation ∣x+2∣=5|x + 2| = 5 a deux solutions.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

x+2=5  ⇒  x=3\begin{aligned}x + 2 &= 5 \;\Rightarrow\; x \\ &= 3\end{aligned}

Premier cas.

x+2=−5  ⇒  x=−7\begin{aligned}x + 2 &= -5 \;\Rightarrow\; x \\ &= -7\end{aligned}

Second cas : la quantité sous les barres vaut −5-5.

Vrai. 33 et −7-7 : deux nombres à distance 55 de −2-2.

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Exercice 9

Donnée : (x+1)2−(x−1)2=20(x + 1)^2 - (x - 1)^2 = 20. Que vaut xx ?

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Réponse : 5

Corrigé :

(x2+2x+1)−(x2−2x+1)=4x(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1) = 4x

On développe : les x2x^2 et les 11 s'en vont.

4x=20  ⇒  x=5\begin{aligned}4x &= 20 \;\Rightarrow\; x \\ &= 5\end{aligned}

Il reste une équation du premier degré.

55. Ici les x2x^2 disparaissent, mais un xx reste : une seule solution.

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Exercice 10

mm et nn sont des entiers, m≠nm \ne n. (m−n)2(m - n)^2 peut-il prendre cette valeur ?

  • Possible
  • Impossible
  • 00
  • 11
  • 22
  • 44
  • 99
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Réponse : 00 — Impossible · 11 — Possible · 22 — Impossible · 44 — Possible · 99 — Possible

Corrigé :

∣m−n∣≥1|m - n| \ge 1

Deux entiers différents.

(m−n)2∈{1,  4,  9,  … }(m - n)^2 \in \{1,\; 4,\; 9,\; \dots\}

Le carré d'un entier non nul.

Possibles : 11, 44, 99. 00 exigerait m=nm = n ; 22 n'est le carré d'aucun entier.

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Exercice 11

Combien de solutions l'équation (x−3)2=(x+5)2(x - 3)^2 = (x + 5)^2 a-t-elle ?

  1. Aucune solution
  2. Deux solutions
  3. Une solution
  4. Une infinité de solutions
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C Une solution

Corrigé :

x−3=x+5x - 3 = x + 5

Premier cas : −3=5-3 = 5, impossible.

x−3=−(x+5)  ⇒  2x=−2\begin{aligned}x - 3 &= -(x + 5) \;\Rightarrow\; 2x \\ &= -2\end{aligned}

Second cas.

x=−1x = -1

Contrôle : (−4)2=16=42(-4)^2 = 16 = 4^2.

Une solution. « Deux carrés égaux : deux cas » — mais un des cas peut être vide.

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