Série 6 — Des lettres au lieu des nombres · Figures composées · Psychométriques

Dix questions, comme une section de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Répondez aux dix avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : le chapitre est acquis. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a pris. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre, puis refaites la série.

Une lettre ne change pas le geste : écrivez chaque longueur avec la lettre, puis découpez comme avec des nombres. Pour départager deux options, remplacez la lettre par un nombre simple ( $a = 2$ , $r = 1$ ) et refaites le calcul.

Exercices

Exercice 1

Deux carrés, $ABCD$ de côté $a$ et $BEFG$ de côté $b$ , sont posés côte à côte, du même côté de la droite $AE$ , avec $A$ , $B$ et $E$ alignés dans cet ordre. Que vaut l'aire du triangle grisé $ACF$ ?

$\frac{a^2 + b^2}{2}$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$\frac{a(a + b)}{2}$
$\frac{a^2}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\frac{a^2}{2}$

Corrigé :

BF \parallel AC

les deux diagonales font un angle de $45^\circ$ avec $AE$

S_{ACF} = S_{ACB}

même base $AC$ , et $F$ et $B$ sont à la même distance de $AC$

\frac{a \cdot a}{2} = \frac{a^2}{2}

La bonne réponse : « $\frac{a^2}{2}$ ». « $\frac{a^2 + b^2}{2}$ » prend la moitié de chaque carré. « $\frac{a(a + b)}{2}$ » prend la moitié du rectangle qui encadre le triangle : $F$ n'est pas sur le côté opposé à $AE$ . « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » est le piège : l'aire ne dépend pas de $b$ .

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Exercice 2

Deux disques identiques sont posés dans un rectangle de côtés $a$ et $2a$ : chacun touche trois côtés du rectangle, et ils se touchent entre eux. Quelle est l'aire grisée, hors des deux disques ?

$2a^2 - 2\pi a^2$
$2a^2 - \frac{\pi a^2}{2}$
$2a^2 - \frac{\pi a^2}{4}$
$2a^2 - 2\pi a$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $2a^2 - \frac{\pi a^2}{2}$

Corrigé :

r = \frac{a}{2}

chaque disque touche les deux grands côtés : son diamètre est $a$

2 \cdot \pi\left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{2}

les deux disques

2a^2 - \frac{\pi a^2}{2}

La bonne réponse : « $2a^2 - \frac{\pi a^2}{2}$ ». « $2a^2 - 2\pi a^2$ » prend $a$ pour rayon. « $2a^2 - \frac{\pi a^2}{4}$ » ne retire qu'un disque. « $2a^2 - 2\pi a$ » retire la longueur de chaque cercle, $\pi d = \pi a$ , au lieu de son aire.

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Exercice 3

Cinq rectangles identiques forment un grand rectangle, comme sur la figure : trois debout côte à côte en haut, deux couchés côte à côte en bas. Le périmètre d'un petit rectangle vaut $p$ . Quel est le périmètre du grand rectangle ?

$\frac{11p}{5}$
$\sqrt{5}\,p$
$\frac{11p}{10}$
$5p$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{11p}{5}$

Corrigé :

\begin{aligned}3b &= 2a \Rightarrow a \\ &= \frac{3b}{2}\end{aligned}

un petit rectangle a pour côtés $a > b$ ; la largeur du grand se lit deux fois

\begin{aligned}p &= 2(a + b) \\ &= 5b \Rightarrow b \\ &= \frac{p}{5}\end{aligned}

\begin{aligned}2a &= 3b \\ \quad a + b &= \frac{5b}{2}\end{aligned}

la largeur et la hauteur du grand rectangle

\begin{aligned}2\left(3b + \frac{5b}{2}\right) &= 11b \\ &= \frac{11p}{5}\end{aligned}

La bonne réponse : « $\frac{11p}{5}$ ». « $5p$ » additionne les cinq périmètres : le périmètre ne se partage pas entre les pièces. « $\frac{11p}{10}$ » prend $p$ pour le demi-périmètre : $b = \frac{p}{10}$ . « $\sqrt{5}\,p$ » multiplie par la racine du nombre de pièces, comme si le grand rectangle était un agrandissement du petit.

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Exercice 4

Un demi-cercle a pour rayon $r$ . Un chemin en escalier relie les deux extrémités de son diamètre en passant par le sommet de l'arc : il monte par marches jusqu'au sommet, puis redescend par marches jusqu'à l'autre extrémité, chaque marche étant faite d'un segment horizontal et d'un segment vertical. Quelle est la longueur du chemin ?

$3r$
$2r$
$4r$
$\pi r$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $4r$

Corrigé :

2r

les segments horizontaux, poussés bout à bout, vont d'une extrémité à l'autre

r + r = 2r

les segments verticaux : on monte de $r$ , puis on redescend de $r$

2r + 2r = 4r

La bonne réponse : « $4r$ ». « $2r$ » ne compte que les segments horizontaux. « $\pi r$ » est la longueur de l'arc, pas celle du chemin. « $3r$ » compte la montée et oublie la descente.

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Exercice 5

D'un carré de côté $a$ , on coupe les quatre coins : chacun est un triangle rectangle isocèle dont les deux côtés de l'angle droit mesurent $x$ . Quel est le périmètre de l'octogone qui reste ?

$4a$
$4a - 8x + 4\sqrt{2}\,x$
$4a - 4x$
$4a - 8x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $4a - 8x + 4\sqrt{2}\,x$

Corrigé :

4(a - 2x)

chaque côté du carré perd $x$ à chaque bout

x\sqrt{2}

chaque coupe ajoute une hypoténuse

4a - 8x + 4\sqrt{2}\,x

La bonne réponse : « $4a - 8x + 4\sqrt{2}\,x$ ». « $4a$ » croit qu'une coupe ne change pas le périmètre, comme pour une marche d'escalier : l'hypoténuse $x\sqrt{2}$ est plus courte que les $2x$ qu'elle remplace. « $4a - 8x$ » oublie les quatre hypoténuses. « $4a - 4x$ » prend l'hypoténuse égale à $x$ .

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Exercice 6

Un disque de rayon $2$ roule à l'extérieur d'un rectangle de $10$ sur $6$ , tout autour, sans jamais quitter son bord. Quelle est la longueur du chemin parcouru par le centre du disque en un tour complet ?

$32 + 8\pi$
$32 + 4\pi$
$48$
$32 + \pi$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $32 + 4\pi$

Corrigé :

2(10 + 6) = 32

le long de chaque côté, le centre avance d'une longueur égale au côté

4 \cdot \frac{2\pi \cdot 2}{4} = 4\pi

à chaque coin, le centre tourne d'un quart de cercle de rayon $2$ autour du sommet : quatre quarts font un cercle entier

32 + 4\pi

La bonne réponse : « $32 + 4\pi$ ». « $48$ » fait passer le centre par des coins carrés, sur le rectangle de $14$ sur $10$ . « $32 + \pi$ » ne compte qu'un quart de cercle en tout. « $32 + 8\pi$ » compte un demi-cercle à chaque coin.

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Exercice 7

Un disque de rayon $r$ est partagé en une partie grise et une partie blanche par une ligne en S faite de deux demi-cercles de diamètre $r$ , comme sur la figure. Quel est le périmètre de la partie grise ?

$\frac{3\pi r}{2}$
$\pi r$
$2\pi r$
$\pi r + 2r$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $2\pi r$

Corrigé :

\pi r

le grand demi-cercle

2 \cdot \pi \cdot \frac{r}{2} = \pi r

les deux petits demi-cercles, de rayon $\frac{r}{2}$

\pi r + \pi r = 2\pi r

autant que le cercle entier

La bonne réponse : « $2\pi r$ ». « $\pi r + 2r$ » remplace la ligne en S par le diamètre droit. « $\frac{3\pi r}{2}$ » ne compte qu'un des deux petits demi-cercles. « $\pi r$ » ne compte que le grand demi-cercle.

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Exercice 8

Sept carrés de côté $1$ sont assemblés en une seule pièce sans trou, chaque carré partageant au moins un côté entier avec un autre. Lequel des nombres suivants ne peut pas être le périmètre de la pièce ?

$16$
$14$
$12$
$18$

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Réponse : D $18$

Corrigé :

4 \cdot 7 - 2c = 28 - 2c

$c$ est le nombre de côtés communs : chacun disparaît deux fois

c \geq 6 \Rightarrow 28 - 2c \leq 16

pour tenir en une seule pièce, sept carrés partagent au moins six côtés

c \leq 8 \Rightarrow 28 - 2c \geq 12

au plus huit : un rectangle $2 \times 4$ privé d'un coin

le périmètre est donc $12$ , $14$ ou $16$ , jamais $18$

La bonne réponse : « $18$ ». « $12$ » est possible : un rectangle $2 \times 4$ privé d'un coin, le plus compact. « $14$ » est possible : un rectangle $2 \times 3$ et un carré collé contre un de ses côtés. « $16$ » est possible : la bande de sept carrés, la moins compacte.

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Exercice 9

Dans un triangle équilatéral de côté $a$ , on trace trois arcs de cercle de rayon $\frac{a}{2}$ , centrés aux trois sommets. La zone grisée est la partie du triangle située hors des trois secteurs. Quelle est son aire ?

$\frac{a^2}{2} - \frac{\pi a^2}{8}$
$\frac{\sqrt{3}\,a^2}{4} - \frac{3\pi a^2}{16}$
$\frac{\sqrt{3}\,a^2}{4} - \frac{\pi a^2}{8}$
$\frac{\sqrt{3}\,a^2}{4} - \frac{\pi a^2}{24}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\frac{\sqrt{3}\,a^2}{4} - \frac{\pi a^2}{8}$

Corrigé :

\frac{\sqrt{3}\,a^2}{4}

le triangle équilatéral

\frac{60}{360} \cdot \pi\left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{24}

un secteur : l'angle du triangle vaut $60^\circ$

\frac{\sqrt{3}\,a^2}{4} - 3 \cdot \frac{\pi a^2}{24} = \frac{\sqrt{3}\,a^2}{4} - \frac{\pi a^2}{8}

La bonne réponse : « $\frac{\sqrt{3}\,a^2}{4} - \frac{\pi a^2}{8}$ ». « $\frac{\sqrt{3}\,a^2}{4} - \frac{3\pi a^2}{16}$ » prend chaque secteur pour un quart de disque. « $\frac{a^2}{2} - \frac{\pi a^2}{8}$ » calcule l'aire du triangle comme $\frac{a \cdot a}{2}$ , la hauteur prise égale au côté. « $\frac{\sqrt{3}\,a^2}{4} - \frac{\pi a^2}{24}$ » ne retire qu'un secteur.

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Exercice 10

Une allée de largeur $1$ fait le tour d'une piscine rectangulaire de $a$ sur $b$ ; son bord extérieur est aussi un rectangle. Quelle est l'aire de l'allée ?

$2a + 2b$
$2a + 2b + 8$
$a + b + 1$
$2a + 2b + 4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $2a + 2b + 4$

Corrigé :

(a + 2)(b + 2) - ab

le grand rectangle moins la piscine : l'allée élargit chaque dimension de $1$ à CHAQUE bout

= 2a + 2b + 4

quatre bandes le long des côtés, et quatre carrés de $1$ aux coins

La bonne réponse : « $2a + 2b + 4$ ». « $2a + 2b$ » oublie les quatre carrés des coins. « $a + b + 1$ » n'élargit chaque dimension que d'un côté : $(a + 1)(b + 1) - ab$ . « $2a + 2b + 8$ » additionne quatre bandes de longueurs $a + 2$ et $b + 2$ : chaque coin y est compté deux fois.

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Exercices

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