Série 5 — Le niveau de l'examen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Dix questions, comme une section de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Répondez aux dix avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a pris. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre avant de continuer.

À ce niveau, chaque figure cache une deuxième étape : un rayon qui vient d'une diagonale, un rapport d'aires à mettre au carré, une hauteur commune à deux triangles. Écrivez la chaîne des longueurs avant le premier calcul.

Exercices

Exercice 1

30°ABC

AB=12AB = 12 est le diamètre d'un demi-cercle, et CC un point de l'arc tel que l'angle CABCAB mesure 30∘30^\circ. La zone grisée est le demi-disque privé du triangle ABCABC. Quelle est son aire ?

  1. 18π−18318\pi - 18\sqrt{3}
  2. 36π−18336\pi - 18\sqrt{3}
  3. 18π−3618\pi - 36
  4. 18π−36318\pi - 36\sqrt{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 18π−18318\pi - 18\sqrt{3}

Corrigé :

ACB^=90∘\widehat{ACB} = 90^\circ

CC est sur le demi-cercle de diamètre ABAB

BC=122=6AC=63\begin{aligned}BC &= \frac{12}{2} \\ &= 6 \\ \quad AC &= 6\sqrt{3}\end{aligned}

dans ce triangle 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ, le petit côté BCBC, face à l'angle de 30∘30^\circ, mesure AB2\frac{AB}{2}

6⋅632=183\frac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}

le triangle

π⋅622−183=18π−183\frac{\pi \cdot 6^2}{2} - 18\sqrt{3} = 18\pi - 18\sqrt{3}

le demi-disque, de rayon 66, moins le triangle

La bonne réponse : « 18π−18318\pi - 18\sqrt{3} ». « 36π−18336\pi - 18\sqrt{3} » prend le disque entier au lieu du demi-disque. « 18π−36318\pi - 36\sqrt{3} » oublie de diviser l'aire du triangle par deux. « 18π−3618\pi - 36 » prend le diamètre 1212 pour le côté ACAC : 12⋅62\frac{12 \cdot 6}{2}.

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Exercice 2

ABCDE

Le triangle ABCABC a une aire de 7272. Les points DD sur ABAB et EE sur ACAC vérifient AD=13ABAD = \frac{1}{3}AB et AE=13ACAE = \frac{1}{3}AC. Le triangle ADEADE est blanc, le quadrilatère DBCEDBCE est gris. Quelle est l'aire grisée ?

  1. 6464
  2. 4848
  3. 88
  4. 9696
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 6464

Corrigé :

ADEADE est semblable à ABCABC, de rapport 13\frac{1}{3}

72⋅(13)2=872 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 8

les aires sont dans le rapport 19\frac{1}{9}

72−8=6472 - 8 = 64

La bonne réponse : « 6464 ». « 4848 » prend le rapport des aires égal à 13\frac{1}{3}, 72−2472 - 24. « 88 » est l'aire du triangle blanc. « 9696 » calcule le trapèze BC+DE2\frac{BC + DE}{2} avec la hauteur du triangle entier : 43⋅72\frac{4}{3} \cdot 72.

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Exercice 3

124

D'un triangle équilatéral de côté 1212, on coupe aux trois sommets un triangle équilatéral de côté 44. Quelle est l'aire de l'hexagone grisé qui reste ?

  1. 4848
  2. 24324\sqrt{3}
  3. 12312\sqrt{3}
  4. 32332\sqrt{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 24324\sqrt{3}

Corrigé :

12234=363\frac{12^2\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}

le grand triangle

4234=43\frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}

un coin

363−3⋅43=24336\sqrt{3} - 3 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}

La bonne réponse : « 24324\sqrt{3} ». « 32332\sqrt{3} » ne retire qu'un coin. « 4848 » calcule l'aire d'un triangle équilatéral comme c22\frac{c^2}{2}, la hauteur prise égale au côté : 72−3⋅872 - 3 \cdot 8. « 12312\sqrt{3} » est l'aire des trois coins.

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Exercice 4

10

Les quatre sommets d'un carré grisé sont sur les côtés d'un carré de côté 1010 ; chaque sommet partage son côté de la même façon, en un petit et un grand morceau. L'aire du carré grisé vaut 5858. Combien mesure le petit morceau ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

  1. On ne peut pas le savoir avec ces seules données
  2. 33
  3. 77
  4. 55
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 33

Corrigé :

100−58=42100 - 58 = 42

les quatre triangles rectangles blancs

x(10−x)2=424⇒x(10−x)=21\begin{aligned}\frac{x(10 - x)}{2} &= \frac{42}{4} \Rightarrow x(10 - x) \\ &= 21\end{aligned}

chacun a pour côtés le petit morceau xx et le grand 10−x10 - x

x=3x = 3

et le grand morceau vaut 77 ; vérification : 32+72=583^2 + 7^2 = 58

La bonne réponse : « 33 ». « 77 » est le grand morceau. « 55 » place les sommets aux milieux : ce carré aurait une aire de 5050. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » est le piège : l'aire du carré grisé fixe le partage.

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Exercice 5

6

Dans un hexagone régulier de côté 66, on joint un sommet sur deux : on obtient un triangle équilatéral grisé. Quelle est son aire ?

  1. 36336\sqrt{3}
  2. 27327\sqrt{3}
  3. 939\sqrt{3}
  4. 54354\sqrt{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 27327\sqrt{3}

Corrigé :

2⋅632=632 \cdot \frac{6\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}

le côté du triangle : deux hauteurs de triangle équilatéral de côté 66

(63)234=10834=273\begin{aligned}\frac{(6\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} &= \frac{108\sqrt{3}}{4} \\ &= 27\sqrt{3}\end{aligned}
543−3⋅93=27354\sqrt{3} - 3 \cdot 9\sqrt{3} = 27\sqrt{3}

vérification : l'hexagone moins trois triangles blancs, chacun le sixième de l'hexagone

La bonne réponse : « 27327\sqrt{3} ». « 36336\sqrt{3} » prend pour côté la grande diagonale de l'hexagone, 1212. « 939\sqrt{3} » prend pour côté le côté de l'hexagone, 66. « 54354\sqrt{3} » est l'aire de l'hexagone entier.

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Exercice 6

ABC

ABAB est le diamètre d'un demi-cercle de rayon rr, et CC le point de ce demi-cercle tel que CA=CBCA = CB. Sur CACA et sur CBCB, on trace vers l'extérieur deux demi-cercles. Les deux lunules grises sont comprises entre ces petits demi-cercles et le grand. Quelle est leur aire totale ?

  1. πr22\frac{\pi r^2}{2}
  2. πr22−r2\frac{\pi r^2}{2} - r^2
  3. r2r^2
  4. 3πr22+r2\frac{3\pi r^2}{2} + r^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C r2r^2

Corrigé :

CA=CB=r2\begin{aligned}CA &= CB \\ &= r\sqrt{2}\end{aligned}

le triangle ACBACB est rectangle isocèle en CC

2⋅π2(r22)2=πr222 \cdot \frac{\pi}{2}\left(\frac{r\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{\pi r^2}{2}

les deux petits demi-disques

πr22−r2\frac{\pi r^2}{2} - r^2

les deux segments du grand demi-disque, hors du triangle d'aire 2r⋅r2=r2\frac{2r \cdot r}{2} = r^2

πr22−(πr22−r2)=r2\frac{\pi r^2}{2} - \left(\frac{\pi r^2}{2} - r^2\right) = r^2

les lunules : les petits demi-disques moins ces segments

La bonne réponse : « r2r^2 ». « πr22\frac{\pi r^2}{2} » additionne les petits demi-disques sans retirer les segments du grand. « πr22−r2\frac{\pi r^2}{2} - r^2 » est l'aire des deux segments, pas des lunules. « 3πr22+r2\frac{3\pi r^2}{2} + r^2 » prend CACA pour rayon des petits demi-cercles, au lieu de diamètre : 2πr2−(πr22−r2)2\pi r^2 - \left(\frac{\pi r^2}{2} - r^2\right).

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Exercice 7

ABCDO

Dans le trapèze ABCDABCD, la base ABAB est deux fois plus longue que la base CDCD. Les diagonales se coupent en OO, et le triangle CODCOD a une aire de 55. Quelle est l'aire du trapèze ?

  1. 3535
  2. 6565
  3. 4545
  4. 2525
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 4545

Corrigé :

OAOC=OBOD=ABCD=2\begin{aligned}\frac{OA}{OC} &= \frac{OB}{OD} \\ &= \frac{AB}{CD} \\ &= 2\end{aligned}

les triangles OABOAB et OCDOCD sont semblables : leurs côtés ABAB et CDCD sont parallèles

SOAB=5⋅22=20\begin{aligned}S_{OAB} &= 5 \cdot 2^2 \\ &= 20\end{aligned}

le rapport des aires est le carré du rapport des longueurs

SOAD=2⋅SOCD=10\begin{aligned}S_{OAD} &= 2 \cdot S_{OCD} \\ &= 10\end{aligned}

OADOAD et OCDOCD ont la même hauteur issue de DD, et OA=2 OCOA = 2\,OC ; de même, SOBC=10S_{OBC} = 10

5+20+10+10=455 + 20 + 10 + 10 = 45

La bonne réponse : « 4545 ». « 3535 » prend le rapport des aires égal à 22 : SOAB=10S_{OAB} = 10. « 2525 » oublie les deux triangles OADOAD et OBCOBC. « 6565 » donne aux triangles OADOAD et OBCOBC l'aire du grand triangle, 2020.

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Exercice 8

R

Un carré est inscrit dans un cercle de rayon RR, et un second cercle est inscrit dans ce carré. Quelle est l'aire de la couronne grisée, comprise entre les deux cercles ?

  1. πR22\frac{\pi R^2}{2}
  2. 2R2−πR222R^2 - \frac{\pi R^2}{2}
  3. πR2−2R2\pi R^2 - 2R^2
  4. 3πR24\frac{3\pi R^2}{4}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A πR22\frac{\pi R^2}{2}

Corrigé :

R2R\sqrt{2}

la diagonale du carré est le diamètre 2R2R : son côté vaut R2R\sqrt{2}

R22(R22)2=R22\begin{aligned}\frac{R\sqrt{2}}{2} \\ \quad \left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right)^2 &= \frac{R^2}{2}\end{aligned}

le petit rayon : la moitié du côté

πR2−πR22=πR22\pi R^2 - \frac{\pi R^2}{2} = \frac{\pi R^2}{2}

La bonne réponse : « πR22\frac{\pi R^2}{2} ». « πR2−2R2\pi R^2 - 2R^2 » calcule le grand disque moins le carré. « 3πR24\frac{3\pi R^2}{4} » prend le petit rayon égal à R2\frac{R}{2}. « 2R2−πR222R^2 - \frac{\pi R^2}{2} » calcule le carré moins le petit disque.

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Exercice 9

ABCDH

Le rectangle ABCDABCD a pour côtés AB=12AB = 12 et BC=5BC = 5. On trace la diagonale ACAC, puis la perpendiculaire DHDH à ACAC, avec HH sur ACAC. Combien mesure DHDH ?

  1. 132\frac{13}{2}
  2. 55
  3. 6013\frac{60}{13}
  4. 3013\frac{30}{13}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 6013\frac{60}{13}

Corrigé :

AC=122+52=13\begin{aligned}AC &= \sqrt{12^2 + 5^2} \\ &= 13\end{aligned}

Pythagore

SACD=12⋅52=30\begin{aligned}S_{ACD} &= \frac{12 \cdot 5}{2} \\ &= 30\end{aligned}

le triangle ACDACD est la moitié du rectangle

13⋅DH2=30⇒DH=6013\begin{aligned}\frac{13 \cdot DH}{2} &= 30 \Rightarrow DH \\ &= \frac{60}{13}\end{aligned}

la même aire, écrite avec la base ACAC et la hauteur DHDH

La bonne réponse : « 6013\frac{60}{13} ». « 3013\frac{30}{13} » oublie de diviser par deux dans la seconde écriture de l'aire : 13⋅DH=3013 \cdot DH = 30. « 132\frac{13}{2} » prend la moitié de la diagonale, comme si HH était le milieu de ACAC. « 55 » prend DHDH égal au côté ADAD : la perpendiculaire est plus courte que lui.

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Exercice 10

8

Un cercle est inscrit dans un carré de côté 88. Un deuxième carré est inscrit dans ce cercle, et un deuxième cercle dans ce deuxième carré. La zone grisée est la partie du deuxième carré située hors du deuxième disque. Quelle est son aire ?

  1. 32−4π32 - 4\pi
  2. 16−4π16 - 4\pi
  3. 32−8π32 - 8\pi
  4. 64−16π64 - 16\pi
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 32−8π32 - 8\pi

Corrigé :

r1=4r_1 = 4

le premier cercle a pour diamètre le côté 88

822=32\frac{8^2}{2} = 32

le deuxième carré a pour diagonale ce diamètre, 88

r2=422=22r22=8\begin{aligned}r_2 &= \frac{4\sqrt{2}}{2} \\ &= 2\sqrt{2} \\ \quad r_2^2 &= 8\end{aligned}

son côté vaut 424\sqrt{2}, et le deuxième rayon en est la moitié

32−8π32 - 8\pi

La bonne réponse : « 32−8π32 - 8\pi ». « 64−16π64 - 16\pi » s'arrête au premier niveau : le premier carré moins le premier disque. « 16−4π16 - 4\pi » prend le rayon 44 pour côté du deuxième carré. « 32−4π32 - 4\pi » prend pour deuxième rayon la moitié du premier, 22.

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