Série 4 — Ce qui bouge, ce qui reste

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Dix questions, comme une section de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Répondez aux dix avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a pris. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre avant de continuer.

Une pièce qui se déplace garde son aire : une bosse et une entaille identiques s'annulent. Pour un maximum, repérez la seule longueur qui peut encore varier, puis donnez-lui la plus grande valeur que la figure permet.

Exercices

Exercice 1

Un rectangle est fait de 5×45 \times 4 carrés de côté 11. On en retire deux : un carré d'un coin, et un carré intérieur qui ne touche pas le bord. Quel est le périmètre de la figure qui reste, bord du trou compris ?

  1. 2222
  2. 2020
  3. 1818
  4. 2626
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 2222

Corrigé :

2(5+4)=182(5 + 4) = 18

le rectangle

+0+0

le carré du coin : il emporte deux côtés du bord et en découvre deux

+4+4

le carré intérieur : il découvre ses quatre côtés, qui forment le bord du trou

18+4=2218 + 4 = 22

La bonne réponse : « 2222 ». « 1818 » croit que retirer un carré ne change jamais le périmètre. « 2626 » donne +4+4 au carré du coin aussi. « 2020 » traite le carré intérieur comme un carré du bord, +2+2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

10

On part d'un carré de côté 1010. Sur le côté du haut, on ajoute à l'extérieur un demi-disque de diamètre 1010 ; dans le côté du bas, on découpe un demi-disque de diamètre 66, centré au milieu de ce côté. Quelle est l'aire de la figure grisée ?

  1. 100+17π100 + 17\pi
  2. 100+25π2100 + \frac{25\pi}{2}
  3. 100100
  4. 100+8π100 + 8\pi
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 100+8π100 + 8\pi

Corrigé :

10⋅10=10010 \cdot 10 = 100

le carré

π⋅522=25π2\frac{\pi \cdot 5^2}{2} = \frac{25\pi}{2}

la bosse, de rayon 55

π⋅322=9π2\frac{\pi \cdot 3^2}{2} = \frac{9\pi}{2}

l'entaille, de rayon 33

100+25π2−9π2=100+8π100 + \frac{25\pi}{2} - \frac{9\pi}{2} = 100 + 8\pi

La bonne réponse : « 100+8π100 + 8\pi ». « 100100 » croit que la bosse et l'entaille s'annulent : c'est vrai seulement quand elles ont le même diamètre. « 100+25π2100 + \frac{25\pi}{2} » ajoute la bosse et oublie l'entaille. « 100+17π100 + 17\pi » ajoute l'entaille au lieu de la retirer : 25π2+9π2\frac{25\pi}{2} + \frac{9\pi}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Un rectangle est pavé de carreaux carrés identiques, avec au moins trois carreaux dans chaque dimension. Exactement 2424 carreaux ne touchent pas le bord. Combien de carreaux, au plus, touchent le bord ?

  1. 5454
  2. 5050
  3. 2424
  4. 5858
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 5454

Corrigé :

p⋅q=24p \cdot q = 24

l'intérieur est un rectangle de pp sur qq carreaux ; le tout mesure p+2p + 2 sur q+2q + 2

(p+2)(q+2)−pq=2(p+q)+4(p + 2)(q + 2) - pq = 2(p + q) + 4

les carreaux du bord

1×24:  2⋅25+4=541 \times 24 : \; 2 \cdot 25 + 4 = 54

p+qp + q est le plus grand quand l'intérieur est une seule rangée

La bonne réponse : « 5454 ». « 2424 » est le minimum, obtenu pour 4×64 \times 6 : 2⋅10+42 \cdot 10 + 4. « 5050 » oublie les quatre carreaux des coins, 2(1+24)2(1 + 24). « 5858 » compte le pourtour 2(3+26)2(3 + 26) : chaque coin y est compté deux fois.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

r

Quatre disques de rayon rr sont posés de façon que leurs centres forment un carré, et que chaque disque touche ses deux voisins. Quelle est l'aire de la zone grisée, enfermée entre les quatre disques ?

  1. 4r2−πr24r^2 - \pi r^2
  2. 4r2−πr244r^2 - \frac{\pi r^2}{4}
  3. 16r2−4πr216r^2 - 4\pi r^2
  4. r2−πr24r^2 - \frac{\pi r^2}{4}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 4r2−πr24r^2 - \pi r^2

Corrigé :

(2r)2=4r2(2r)^2 = 4r^2

deux disques voisins se touchent : leurs centres sont à 2r2r

4⋅πr24=πr24 \cdot \frac{\pi r^2}{4} = \pi r^2

à chaque sommet du carré, l'angle droit découpe un quart de disque

4r2−πr24r^2 - \pi r^2

La bonne réponse : « 4r2−πr24r^2 - \pi r^2 ». « r2−πr24r^2 - \frac{\pi r^2}{4} » prend rr pour côté du carré des centres. « 16r2−4πr216r^2 - 4\pi r^2 » calcule le grand carré qui entoure les quatre disques, moins les disques : une autre zone. « 4r2−πr244r^2 - \frac{\pi r^2}{4} » ne retire qu'un quart de disque.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

aABCDEF

ABCDABCD est un carré de côté aa. EE est le milieu de BCBC, et FF le milieu de CDCD. Quelle est l'aire du triangle grisé AEFAEF ?

  1. 3a28\frac{3a^2}{8}
  2. a22\frac{a^2}{2}
  3. a24\frac{a^2}{4}
  4. 5a28\frac{5a^2}{8}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 3a28\frac{3a^2}{8}

Corrigé :

SABE=SADF=a⋅a22=a24\begin{aligned}S_{ABE} &= S_{ADF} \\ &= \frac{a \cdot \frac{a}{2}}{2} \\ &= \frac{a^2}{4}\end{aligned}

deux triangles blancs

SECF=a2⋅a22=a28\begin{aligned}S_{ECF} &= \frac{\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}}{2} \\ &= \frac{a^2}{8}\end{aligned}

le petit triangle du coin CC

a2−a24−a24−a28=3a28a^2 - \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{8} = \frac{3a^2}{8}

La bonne réponse : « 3a28\frac{3a^2}{8} ». « a22\frac{a^2}{2} » oublie le petit triangle blanc ECFECF. « 5a28\frac{5a^2}{8} » est l'aire blanche. « a24\frac{a^2}{4} » compte ECFECF pour a24\frac{a^2}{4}, sans diviser par deux.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

a

Un triangle rectangle isocèle a deux côtés de l'angle droit de longueur aa. Un rectangle a un sommet sur l'angle droit, deux côtés sur les côtés de l'angle droit, et le sommet opposé sur l'hypoténuse. Quelle est la plus grande aire possible de ce rectangle ?

  1. a22\frac{a^2}{2}
  2. a28\frac{a^2}{8}
  3. 2a29\frac{2a^2}{9}
  4. a24\frac{a^2}{4}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D a24\frac{a^2}{4}

Corrigé :

x(a−x)x(a - x)

si le rectangle a pour largeur xx, sa hauteur vaut a−xa - x : le triangle blanc au-dessus de lui est rectangle isocèle

x(a−x)=a24−(x−a2)2x(a - x) = \frac{a^2}{4} - \left(x - \frac{a}{2}\right)^2

le produit est le plus grand pour x=a2x = \frac{a}{2}

a2⋅a2=a24\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4}

la moitié de l'aire du triangle

La bonne réponse : « a24\frac{a^2}{4} ». « a22\frac{a^2}{2} » est l'aire du triangle entier : aucun rectangle ne le remplit. « 2a29\frac{2a^2}{9} » place le sommet au tiers de l'hypoténuse, a3⋅2a3\frac{a}{3} \cdot \frac{2a}{3}. « a28\frac{a^2}{8} » trouve le carré de côté a2\frac{a}{2}, puis divise encore par deux, comme pour un triangle.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

r

Un carré est inscrit dans un demi-disque de rayon rr : un de ses côtés est sur le diamètre, et ses deux autres sommets sont sur l'arc. Quelle est l'aire du carré ?

  1. 4r25\frac{4r^2}{5}
  2. 4r23\frac{4r^2}{3}
  3. r2r^2
  4. r22\frac{r^2}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 4r25\frac{4r^2}{5}

Corrigé :

par symétrie, le centre du demi-cercle est le milieu du côté posé sur le diamètre : un sommet du haut est à c2\frac{c}{2} du centre en largeur et à cc en hauteur

c2+(c2)2=r2c^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2 = r^2

Pythagore : ce sommet est sur l'arc, à la distance rr du centre

5c24=r2⇒c2=4r25\begin{aligned}\frac{5c^2}{4} &= r^2 \Rightarrow c^2 \\ &= \frac{4r^2}{5}\end{aligned}

La bonne réponse : « 4r25\frac{4r^2}{5} ». « r22\frac{r^2}{2} » prend l'écart horizontal égal à cc au lieu de c2\frac{c}{2} : c2+c2=r2c^2 + c^2 = r^2. « r2r^2 » prend le côté égal au rayon. « 4r23\frac{4r^2}{3} » soustrait au lieu d'additionner : c2−c24=r2c^2 - \frac{c^2}{4} = r^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

a

Deux carrés de côté aa sont accolés pour former un rectangle. Un cercle passe par les quatre sommets du carré de gauche ; le disque déborde donc du rectangle en haut, en bas et à gauche, et entre un peu dans le carré de droite. Dans le rectangle, tout ce qui est hors du disque est gris. Quelle est l'aire grisée ?

  1. 2a2−πa242a^2 - \frac{\pi a^2}{4}
  2. a2−πa28a^2 - \frac{\pi a^2}{8}
  3. 2a2−πa222a^2 - \frac{\pi a^2}{2}
  4. 5a24−πa28\frac{5a^2}{4} - \frac{\pi a^2}{8}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 5a24−πa28\frac{5a^2}{4} - \frac{\pi a^2}{8}

Corrigé :

r=a22r2=a22\begin{aligned}r &= \frac{a\sqrt{2}}{2} \\ \quad r^2 &= \frac{a^2}{2}\end{aligned}

le diamètre est la diagonale du carré de gauche

le disque couvre tout le carré de gauche ; il dépasse par quatre segments, dont un seul entre dans le carré de droite

14(πa22−a2)=πa28−a24\frac{1}{4}\left(\frac{\pi a^2}{2} - a^2\right) = \frac{\pi a^2}{8} - \frac{a^2}{4}

ce segment

a2−(πa28−a24)=5a24−πa28a^2 - \left(\frac{\pi a^2}{8} - \frac{a^2}{4}\right) = \frac{5a^2}{4} - \frac{\pi a^2}{8}

le carré de droite moins le segment

La bonne réponse : « 5a24−πa28\frac{5a^2}{4} - \frac{\pi a^2}{8} ». « 2a2−πa222a^2 - \frac{\pi a^2}{2} » retire le disque entier du rectangle, alors que trois de ses segments sont hors du rectangle. « 2a2−πa242a^2 - \frac{\pi a^2}{4} » prend le côté pour diamètre, r=a2r = \frac{a}{2} : le disque tiendrait dans le carré de gauche. « a2−πa28a^2 - \frac{\pi a^2}{8} » retire un quart de disque au lieu du segment : il oublie d'y rendre le triangle.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

16103

Dans un rectangle de 1616 sur 1010, un cerf-volant a deux sommets aux milieux des grands côtés ; ses deux autres sommets sont sur une même parallèle aux grands côtés, chacun à 33 d'un petit côté. Quelle est l'aire du cerf-volant ?

  1. 100100
  2. 5050
  3. 3030
  4. 8080
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 5050

Corrigé :

1010

la diagonale verticale joint les milieux des grands côtés : la largeur du rectangle

16−2⋅3=1016 - 2 \cdot 3 = 10

la diagonale horizontale

10⋅102=50\frac{10 \cdot 10}{2} = 50

les diagonales sont perpendiculaires : la moitié de leur produit

La bonne réponse : « 5050 ». « 8080 » prend le côté entier 1616 pour diagonale horizontale. « 100100 » oublie de diviser le produit des diagonales par deux. « 3030 » ne compte que le triangle du bas, 10⋅62\frac{10 \cdot 6}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

6

Dans un carré de côté 66, on trace vers l'intérieur quatre demi-cercles, chacun ayant un côté du carré pour diamètre. Ils dessinent quatre pétales, en gris. Quelle est l'aire grisée ?

  1. 18π18\pi
  2. 9π−189\pi - 18
  3. 72−18π72 - 18\pi
  4. 18π−3618\pi - 36
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 18π−3618\pi - 36

Corrigé :

π⋅324−3⋅32=9π4−92\frac{\pi \cdot 3^2}{4} - \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9\pi}{4} - \frac{9}{2}

un pétale est fait de deux segments ; un segment : quart de disque de rayon 33 moins triangle rectangle isocèle

8(9π4−92)=18π−368\left(\frac{9\pi}{4} - \frac{9}{2}\right) = 18\pi - 36

huit segments

4⋅9π2−36=18π−364 \cdot \frac{9\pi}{2} - 36 = 18\pi - 36

vérification : les quatre demi-disques couvrent le carré et recouvrent deux fois les pétales

La bonne réponse : « 18π−3618\pi - 36 ». « 18π18\pi » additionne les quatre demi-disques sans retirer le carré. « 9π−189\pi - 18 » ne compte qu'un segment par pétale. « 72−18π72 - 18\pi » est l'aire blanche, 36−(18π−36)36 - (18\pi - 36).

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe