Série 3 — Cercles et carrés inscrits · Figures composées · Psychométriques

Dix questions, comme une section de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Répondez aux dix avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a pris. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre avant de continuer.

Dès qu'un cercle passe par les quatre sommets d'un carré, son diamètre est la diagonale du carré ; dès qu'il touche ses quatre côtés, son diamètre est le côté. Un segment circulaire se calcule toujours en secteur moins triangle.

Exercices

Exercice 1

Un rectangle de largeur $12$ et de hauteur $8$ est traversé par une bande grise en forme de parallélogramme : ses deux bases, sur les côtés du haut et du bas du rectangle, mesurent chacune $3$ , et ses deux autres côtés mesurent $10$ . Quelle est l'aire de la bande ?

$24$
$30$
$12$
$72$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $24$

Corrigé :

h = 8

la hauteur du parallélogramme est la distance entre ses bases : la largeur du rectangle

3 \cdot 8 = 24

base fois hauteur

12 \cdot 8 - 24 = 72

le reste, blanc

La bonne réponse : « $24$ ». « $30$ » prend le côté oblique $10$ pour hauteur. « $12$ » divise par deux, comme pour un triangle. « $72$ » est l'aire blanche.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Un trapèze rectangle a des bases de $9$ et $15$ , et son côté oblique mesure $10$ . Quelle est son aire ?

$96$
$120$
$192$
$72$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $96$

Corrigé :

15 - 9 = 6

le trapèze est un rectangle plus un triangle rectangle de côté $6$ et d'hypoténuse $10$

\begin{aligned}h &= \sqrt{10^2 - 6^2} \\ &= 8\end{aligned}

le triangle $6$ - $8$ - $10$

\frac{(9 + 15) \cdot 8}{2} = 96

La bonne réponse : « $96$ ». « $120$ » prend le côté oblique $10$ pour hauteur. « $192$ » oublie de diviser par deux. « $72$ » prend $6$ , l'écart des bases, pour hauteur.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Quatre rectangles identiques forment un moulinet : chacun pose un grand côté sur un côté d'un grand carré de côté $10$ , et bute par un petit côté contre le rectangle suivant. Au centre reste un trou carré de côté $4$ . Quelle est l'aire d'un rectangle ?

$28$
$30$
$25$
$21$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $21$

Corrigé :

10^2 - 4^2 = 84

le grand carré moins le trou

84 : 4 = 21

quatre rectangles identiques se partagent cette aire

\begin{aligned}a + b &= 10 \\ \; a - b &= 4 \Rightarrow 7 \cdot 3 \\ &= 21\end{aligned}

vérification par les côtés

La bonne réponse : « $21$ ». « $25$ » oublie le trou, $100 : 4$ . « $28$ » prend le côté du trou pour largeur, $7 \cdot 4$ . « $30$ » prend le côté du grand carré pour longueur, $10 \cdot 3$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Les quatre sommets du carré grisé sont sur les côtés d'un carré de côté $7$ , et chacun partage son côté en deux morceaux de $3$ et $4$ , comme sur la figure. Quelle est l'aire du carré grisé ?

$24$
$43$
$24{,}5$
$25$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $25$

Corrigé :

7^2 = 49

le grand carré

4 \cdot \frac{3 \cdot 4}{2} = 24

les quatre triangles rectangles blancs

49 - 24 = 25

vérification : le côté gris est l'hypoténuse du triangle $3$ - $4$ - $5$

La bonne réponse : « $25$ ». « $24{,}5$ » prend la moitié du grand carré : c'est le cas quand les sommets sont aux milieux des côtés, pas ici. « $24$ » est l'aire blanche. « $43$ » ne retire qu'un triangle, $49 - 6$ .

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Exercice 5

Quatre carrés de côté $6$ sont collés sur les quatre côtés d'un carré central de même côté : ils forment une croix. Un cercle passe par les quatre sommets du carré central. Le carré central et tout le disque sont blancs ; le reste des quatre carrés est gris. Quelle est l'aire grisée ?

$180 - 9\pi$
$153 - \frac{9\pi}{2}$
$144 - 18\pi$
$180 - 18\pi$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $180 - 18\pi$

Corrigé :

\begin{aligned}r &= \frac{6\sqrt{2}}{2} \\ &= 3\sqrt{2} \\ \quad r^2 &= 18\end{aligned}

le diamètre est la diagonale du carré central

18\pi - 36

la partie du disque hors du carré central : quatre segments, un dans chaque carré gris

4 \cdot 36 - (18\pi - 36) = 180 - 18\pi

les quatre carrés moins les segments qui y dépassent

La bonne réponse : « $180 - 18\pi$ ». « $180 - 9\pi$ » prend le côté pour diamètre : $r^2 = 9$ , $144 - (9\pi - 36)$ . « $144 - 18\pi$ » retire le disque entier des quatre carrés, alors que la part du disque logée dans le carré central n'y est pas. « $153 - \frac{9\pi}{2}$ » ne retire qu'un des quatre segments, $144 - \frac{18\pi - 36}{4}$ .

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Exercice 6

Un disque de rayon $r$ touche deux murs perpendiculaires. La zone grisée est formée du disque et du coin compris entre le disque et les deux murs. Quelle est son aire ?

$\pi r^2 + r^2$
$r^2 - \frac{\pi r^2}{4}$
$2r^2 + \frac{3\pi r^2}{4}$
$r^2 + \frac{3\pi r^2}{4}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $r^2 + \frac{3\pi r^2}{4}$

Corrigé :

r^2 - \frac{\pi r^2}{4}

le coin : le carré de côté $r$ entre le centre et les murs, moins le quart de disque qu'il contient

\pi r^2 + r^2 - \frac{\pi r^2}{4} = r^2 + \frac{3\pi r^2}{4}

le disque plus le coin

La bonne réponse : « $r^2 + \frac{3\pi r^2}{4}$ ». « $\pi r^2 + r^2$ » ajoute le carré sans retrancher le quart de disque qu'il partage avec le disque : ce quart est compté deux fois. « $2r^2 + \frac{3\pi r^2}{4}$ » compte le carré deux fois. « $r^2 - \frac{\pi r^2}{4}$ » est le coin seul, sans le disque.

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Exercice 7

$ABCD$ est un carré de côté $a$ . Les points $E$ sur $AB$ et $F$ sur $AD$ vérifient $AE = AF = \frac{a}{3}$ . Quelle est l'aire du cerf-volant grisé $AECF$ ?

$\frac{a^2}{3}$
$\frac{a^2\sqrt{2}}{6}$
$\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$
$\frac{2a^2}{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{a^2}{3}$

Corrigé :

\begin{aligned}AC &= a\sqrt{2} \\ \quad EF &= \frac{a\sqrt{2}}{3}\end{aligned}

les diagonales du cerf-volant sont perpendiculaires

\frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{3} = \frac{a^2}{3}

la moitié du produit des diagonales

a^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{3} \cdot a = \frac{a^2}{3}

vérification : le carré moins les triangles $EBC$ et $FDC$

La bonne réponse : « $\frac{a^2}{3}$ ». « $\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$ » prend le côté entier $a$ pour la diagonale $EF$ . « $\frac{2a^2}{3}$ » oublie le $\frac{1}{2}$ du produit des diagonales. « $\frac{a^2\sqrt{2}}{6}$ » prend $EF$ égal à $AE$ , soit $\frac{a}{3}$ .

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Exercice 8

Un hexagone régulier de côté $a$ est posé dans un rectangle : deux de ses sommets opposés touchent les petits côtés du rectangle, et deux de ses côtés sont posés sur les grands côtés. Quelle est l'aire du rectangle ?

$\sqrt{3}\,a^2$
$2\sqrt{3}\,a^2$
$6a^2$
$4a^2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $2\sqrt{3}\,a^2$

Corrigé :

2a

la longueur : deux côtés, d'un sommet au sommet opposé

2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}

la largeur : deux hauteurs de triangle équilatéral

2a \cdot a\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\,a^2

La bonne réponse : « $2\sqrt{3}\,a^2$ ». « $4a^2$ » prend la largeur égale à deux côtés, $2a$ . « $6a^2$ » oublie la racine dans la hauteur du triangle : largeur $2 \cdot \frac{3a}{2} = 3a$ . « $\sqrt{3}\,a^2$ » ne compte qu'une hauteur de triangle pour la largeur.

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Exercice 9

Un carré est inscrit dans un cercle de rayon $6$ : ses quatre sommets sont sur le cercle. Les quatre parties du disque situées hors du carré sont grises. Quelle est l'aire grisée ?

$36\pi - 72$
$144 - 36\pi$
$9\pi - 18$
$36\pi - 36$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $36\pi - 72$

Corrigé :

\frac{\pi \cdot 6^2}{4} - \frac{6 \cdot 6}{2} = 9\pi - 18

une zone : le quart de disque moins le triangle rectangle isocèle de côtés $6$

4(9\pi - 18) = 36\pi - 72

les quatre zones ; vérification : le carré a pour diagonale $12$ , donc une aire $\frac{12^2}{2} = 72$

La bonne réponse : « $36\pi - 72$ ». « $9\pi - 18$ » ne compte qu'une des quatre zones. « $36\pi - 36$ » prend le rayon $6$ pour côté du carré. « $144 - 36\pi$ » inverse la figure : c'est un disque inscrit dans un carré de côté $12$ .

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Exercice 10

$ABCDEF$ est un hexagone régulier de côté $6$ . Quelle est l'aire du triangle grisé $ACD$ ?

$18\sqrt{3}$
$36$
$9\sqrt{3}$
$27\sqrt{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $18\sqrt{3}$

Corrigé :

\begin{aligned}AD &= 2 \cdot 6 \\ &= 12\end{aligned}

la grande diagonale $AD$ traverse deux triangles équilatéraux de côté $6$

\frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}

la hauteur issue de $C$ sur $AD$ : celle d'un triangle équilatéral de côté $6$

\frac{12 \cdot 3\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}

base $AD$ , hauteur $3\sqrt{3}$

La bonne réponse : « $18\sqrt{3}$ ». « $9\sqrt{3}$ » est l'aire d'un des six triangles équilatéraux : la bonne hauteur, mais la base $6$ au lieu de $12$ . « $27\sqrt{3}$ » est le triangle $ACE$ des sommets alternés, la moitié de l'hexagone. « $36$ » prend la hauteur égale au côté $6$ : $\frac{12 \cdot 6}{2}$ .

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Exercices

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