Série 2 — Découper ou compléter · Figures composées · Psychométriques

Dix questions, comme une section de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Répondez aux dix avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a pris. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre avant de continuer.

Avant de calculer, choisissez : additionner des morceaux qui ne se chevauchent pas, ou compléter en une forme simple puis retirer. Et quand deux figures sont semblables dans un rapport $k$ , leurs aires sont dans le rapport $k^2$ , jamais $k$ .

Exercices

Exercice 1

Deux rectangles identiques de $10$ sur $4$ se croisent à angle droit en leurs milieux et forment une croix. Quelle est l'aire de la croix ?

$100$
$64$
$80$
$48$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $64$

Corrigé :

10 \cdot 4 + 10 \cdot 4 = 80

les deux rectangles

4 \cdot 4 = 16

le carré central appartient aux deux rectangles

80 - 16 = 64

on ne le garde qu'une fois

La bonne réponse : « $64$ ». « $80$ » compte deux fois le carré central. « $100$ » est le carré qui encadre la croix, $10 \cdot 10$ . « $48$ » retire deux fois le carré central, $80 - 32$ .

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Exercice 2

La figure en forme de T est faite d'une barre horizontale de $12$ sur $4$ et d'un pied vertical de largeur $4$ , placé au milieu sous la barre. La hauteur totale de la figure est $13$ . Quelle est son aire ?

$100$
$120$
$156$
$84$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $84$

Corrigé :

13 - 4 = 9

la hauteur du pied, sous la barre

\begin{aligned}12 \cdot 4 + 4 \cdot 9 &= 48 + 36 \\ &= 84\end{aligned}

on additionne deux rectangles qui ne se chevauchent pas

\begin{aligned}12 \cdot 13 - 2 \cdot 4 \cdot 9 &= 156 - 72 \\ &= 84\end{aligned}

vérification : le rectangle qui encadre, moins les deux coins vides

La bonne réponse : « $84$ ». « $100$ » prend $13$ pour hauteur du pied, $48 + 52$ : le carré où le pied rejoint la barre est compté deux fois. « $156$ » est le rectangle qui encadre la figure, $12 \cdot 13$ . « $120$ » ne retire qu'un des deux coins vides, $156 - 36$ .

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Exercice 3

On joint les milieux des quatre côtés d'un rectangle de $12$ sur $8$ : on obtient un losange. Quelle est l'aire du losange ?

$40$
$48$
$24$
$96$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $48$

Corrigé :

12 \text{ et } 8

les diagonales du losange sont les deux médianes du rectangle

\frac{12 \cdot 8}{2} = 48

la moitié du produit des diagonales

96 - 4 \cdot \frac{6 \cdot 4}{2} = 48

vérification : le rectangle moins les quatre coins

La bonne réponse : « $48$ ». « $96$ » oublie de diviser le produit des diagonales par deux. « $24$ » divise deux fois par deux. « $40$ » calcule le périmètre du rectangle, $2(12 + 8)$ , pas une aire.

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Exercice 4

Une figure en escalier est faite de carrés de côté $1$ : de gauche à droite, ses colonnes comptent $1$ , $2$ , $3$ , $4$ et $5$ carrés, posées sur une même ligne. Quel est son périmètre ?

$15$
$40$
$60$
$20$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $20$

Corrigé :

on pousse chaque marche vers le coin : les segments horizontaux se rangent en haut, les verticaux à gauche

2(5 + 5) = 20

le périmètre du carré $5 \times 5$ qui encadre l'escalier

15 \cdot 4 - 2 \cdot 20 = 20

vérification : $15$ carrés, $20$ côtés communs, chacun perdu deux fois

La bonne réponse : « $20$ ». « $60$ » additionne les périmètres des $15$ carrés. « $40$ » retire chaque côté commun une seule fois, $60 - 20$ . « $15$ » est le nombre de carrés, donc l'aire.

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Exercice 5

Un rectangle de $10$ sur $6$ perd, à son extrémité droite, un demi-disque blanc dont le diamètre est le petit côté du rectangle. Quelle est l'aire grisée ?

$60 - 3\pi$
$60 - \frac{9\pi}{2}$
$60 - 18\pi$
$60 - 9\pi$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $60 - \frac{9\pi}{2}$

Corrigé :

\begin{aligned}r &= 6 : 2 \\ &= 3\end{aligned}

le diamètre est le petit côté

10 \cdot 6 = 60

le rectangle

60 - \frac{\pi \cdot 3^2}{2} = 60 - \frac{9\pi}{2}

moins un DEMI-disque

La bonne réponse : « $60 - \frac{9\pi}{2}$ ». « $60 - 9\pi$ » retire un disque entier. « $60 - 18\pi$ » prend le diamètre $6$ pour rayon, $\frac{\pi \cdot 36}{2}$ . « $60 - 3\pi$ » retire la longueur du demi-cercle, $\pi r$ , au lieu de son aire.

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Exercice 6

Quelle est l'aire d'un hexagone régulier de côté $4$ ?

$48$
$12\sqrt{3}$
$48\sqrt{3}$
$24\sqrt{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $24\sqrt{3}$

Corrigé :

l'hexagone régulier se découpe en six triangles équilatéraux de côté $4$

\begin{aligned}h &= \frac{4\sqrt{3}}{2} \\ &= 2\sqrt{3}\end{aligned}

la hauteur d'un triangle : le triangle $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$

6 \cdot \frac{4 \cdot 2\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}

La bonne réponse : « $24\sqrt{3}$ ». « $48\sqrt{3}$ » oublie de diviser par deux l'aire de chaque triangle. « $48$ » prend la hauteur d'un triangle égale à son côté, $6 \cdot \frac{4 \cdot 4}{2}$ . « $12\sqrt{3}$ » ne compte que trois triangles.

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Exercice 7

Dans le triangle $ABC$ , rectangle en $C$ , $AC = 10$ et $BC = 24$ . Le point $D$ est sur $AC$ , avec $CD = 4$ . Le triangle $DCB$ est blanc ; le reste du triangle $ABC$ est gris. Quelle est l'aire grisée ?

$48$
$78$
$72$
$144$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $72$

Corrigé :

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{10 \cdot 24}{2} \\ &= 120\end{aligned}

le grand triangle

\begin{aligned}S_{DCB} &= \frac{4 \cdot 24}{2} \\ &= 48\end{aligned}

le triangle blanc : base $CD$ sur un côté de l'angle droit, hauteur l'autre côté $BC$

120 - 48 = 72

vérification : base $AD = 6$ , hauteur $BC = 24$ , $\frac{6 \cdot 24}{2} = 72$

La bonne réponse : « $72$ ». « $78$ » prend $AB = 26$ pour hauteur du triangle gris, $\frac{6 \cdot 26}{2}$ : $AB$ n'est pas perpendiculaire à $AD$ . « $144$ » oublie de diviser par deux, $6 \cdot 24$ . « $48$ » est l'aire du triangle blanc.

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Exercice 8

Les diagonales du losange $ABCD$ mesurent $AC = 20$ et $BD = 12$ . Aux sommets $A$ et $C$ , on coupe un petit triangle blanc en joignant les milieux des deux côtés issus de ce sommet. Quelle est l'aire grisée qui reste ?

$60$
$90$
$210$
$105$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $90$

Corrigé :

\frac{20 \cdot 12}{2} = 120

l'aire du losange

S_{ABD} = 60

la diagonale $BD$ coupe le losange en deux moitiés

60 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 15

le petit triangle en $A$ est semblable à $ABD$ , de rapport $\frac{1}{2}$ : les aires sont dans le rapport $\frac{1}{4}$

120 - 2 \cdot 15 = 90

La bonne réponse : « $90$ ». « $60$ » prend le rapport des aires égal au rapport des côtés, $\frac{1}{2}$ : $30$ par triangle, $120 - 60$ . « $105$ » ne coupe qu'un des deux triangles, $120 - 15$ . « $210$ » oublie de diviser par deux l'aire du losange, $240 - 30$ .

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Exercice 9

Dans le carré $ABCD$ de côté $8$ , on trace deux quarts de cercle de rayon $8$ : l'un de centre $A$ , l'autre de centre $C$ . La zone grisée est la partie commune aux deux quarts de disque. Quelle est son aire ?

$64 - 16\pi$
$32\pi - 64$
$16\pi - 32$
$32\pi - 32$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $32\pi - 64$

Corrigé :

la diagonale $BD$ coupe la zone grisée en deux segments circulaires

\frac{\pi \cdot 8^2}{4} - \frac{8 \cdot 8}{2} = 16\pi - 32

un segment : le quart de disque de centre $A$ moins le triangle rectangle isocèle $ABD$

2(16\pi - 32) = 32\pi - 64

les deux segments

La bonne réponse : « $32\pi - 64$ ». « $16\pi - 32$ » ne compte qu'un des deux segments. « $32\pi - 32$ » retire pour chaque segment un triangle d'aire $16$ , le quart du carré, au lieu de la moitié. « $64 - 16\pi$ » calcule une zone blanche : le carré moins un quart de disque.

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Exercice 10

Un trapèze est dessiné dans un carré de côté $10$ : sa petite base, de longueur $4$ , est posée sur le côté du haut du carré, et sa grande base sur le côté du bas. Quelle est la plus grande aire possible de ce trapèze ?

$70$
$28$
$140$
$100$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $70$

Corrigé :

h = 10

les deux bases sont sur deux côtés opposés : la hauteur est le côté du carré

la grande base mesure au plus $10$ , le côté du carré

\frac{(10 + 4) \cdot 10}{2} = 70

l'aire maximale

La bonne réponse : « $70$ ». « $140$ » oublie de diviser par deux. « $28$ » prend la petite base pour hauteur, $\frac{(10 + 4) \cdot 4}{2}$ . « $100$ » donne aux deux bases la longueur $10$ : c'est le carré, mais la petite base est fixée à $4$ .

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Exercices

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