Série 1 — Le tout moins le blanc · Figures composées · Psychométriques

Dix questions, comme une section de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Répondez aux dix avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a pris. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre avant de continuer.

Le réflexe de la série : le tout moins le blanc. Calculez la grande forme simple, puis retirez chaque morceau blanc, un par un. Pour un périmètre, suivez le contour du doigt au lieu d'additionner des périmètres : un côté collé ou replié ne fait plus partie du bord.

Exercices

Exercice 1

Le sol d'une pièce rectangulaire est couvert de carreaux carrés identiques : $9$ carreaux dans la longueur et $6$ dans la largeur. Les carreaux qui touchent le bord de la pièce sont gris, tous les autres sont blancs. Combien de carreaux sont gris ?

$30$
$28$
$26$
$14$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $26$

Corrigé :

9 \cdot 6 = 54

tous les carreaux

\begin{aligned}(9 - 2)(6 - 2) &= 7 \cdot 4 \\ &= 28\end{aligned}

les carreaux blancs : on retire une rangée à CHAQUE bout, donc deux par dimension

54 - 28 = 26

les carreaux gris

La bonne réponse : « $26$ ». « $30$ » compte le pourtour comme $2(9 + 6) = 30$ : chacun des quatre carreaux des coins y est compté deux fois. « $14$ » ne retire qu'une rangée par dimension : $8 \cdot 5 = 40$ blancs, puis $54 - 40$ . « $28$ » est le nombre de carreaux blancs.

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Exercice 2

Un rectangle de $11$ sur $8$ perd, dans un de ses coins, un rectangle de $4$ sur $3$ , comme sur la figure. Quel est le périmètre de la figure qui reste ?

$24$
$31$
$38$
$52$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $38$

Corrigé :

les deux nouveaux côtés, $4$ et $3$ , remplacent exactement les deux morceaux de bord retirés, $4$ et $3$

2(11 + 8) = 38

le périmètre est celui du rectangle de départ

La bonne réponse : « $38$ ». « $24$ » retranche le périmètre du petit rectangle, $38 - 14$ . « $31$ » retire les deux morceaux de bord, $38 - 4 - 3$ , sans ajouter les deux côtés qui apparaissent. « $52$ » ajoute le périmètre entier du petit rectangle, $38 + 14$ .

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Exercice 3

Le rectangle $ABCD$ mesure $16$ sur $10$ . Un point $P$ est placé à l'intérieur du rectangle, et on le joint aux quatre sommets. Les triangles $PAB$ et $PCD$ sont gris. Quelle est l'aire grisée ?

On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$80$
$160$
$40$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $80$

Corrigé :

S_{PAB} + S_{PCD} = \frac{16 \cdot h_1}{2} + \frac{16 \cdot h_2}{2}

même base $16$ ; $h_1$ et $h_2$ sont les distances de $P$ aux deux grands côtés

h_1 + h_2 = 10

les deux distances font ensemble la largeur du rectangle

\frac{16 \cdot 10}{2} = 80

la moitié du rectangle, où que soit $P$

La bonne réponse : « $80$ ». « $160$ » est l'aire du rectangle entier. « $40$ » place $P$ au centre et ne compte qu'un des deux triangles gris, $\frac{16 \cdot 5}{2}$ . « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » est le piège : chaque triangle gris dépend de $P$ , mais leur somme n'en dépend pas.

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Exercice 4

Sur la grille, chaque carreau est un carré de côté $1$ . Le coin en bas à gauche de la grille est le point $(0, 0)$ , et le triangle grisé a pour sommets $(0, 0)$ , $(6, 2)$ et $(2, 5)$ . Quelle est l'aire du triangle ?

$13$
$30$
$15$
$17$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $13$

Corrigé :

6 \cdot 5 = 30

le rectangle de la grille qui encadre le triangle

\begin{aligned}\frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{4 \cdot 3}{2} + \frac{2 \cdot 5}{2} &= 6 + 6 + 5 \\ &= 17\end{aligned}

les trois triangles rectangles blancs des coins, côtés comptés en carreaux

30 - 17 = 13

l'aire du triangle

La bonne réponse : « $13$ ». « $17$ » est l'aire blanche, pas la grise. « $30$ » est le rectangle qui encadre le triangle. « $15$ » prend la moitié du rectangle : ce réflexe ne vaut que pour un triangle dont un côté est un côté du rectangle, ce qui n'est pas le cas ici.

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Exercice 5

Un rectangle de $10$ sur $6$ porte, au milieu de son côté du haut, une encoche rectangulaire large de $3$ et profonde de $2$ , comme sur la figure. Quel est le périmètre de la figure ?

$32$
$36$
$42$
$34$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $36$

Corrigé :

2(10 + 6) = 32

le contour du rectangle : le fond de l'encoche remplace le morceau de bord retiré

32 + 2 \cdot 2 = 36

les deux parois de l'encoche s'ajoutent, et rien ne les compense

La bonne réponse : « $36$ ». « $32$ » traite l'encoche comme une marche d'escalier et oublie ses deux parois. « $34$ » n'ajoute qu'une des deux parois. « $42$ » ajoute le périmètre entier de l'encoche, $2(3 + 2) = 10$ : son fond était déjà compté.

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Exercice 6

Sur deux côtés opposés d'un hexagone régulier de côté $4$ , on colle à l'extérieur deux carrés de côté $4$ , comme sur la figure. Quel est le périmètre de la figure obtenue ?

$40$
$56$
$32$
$48$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $40$

Corrigé :

6 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 4 = 56

les trois périmètres mis bout à bout

56 - 2 \cdot 2 \cdot 4 = 40

chaque côté collé passe à l'intérieur : il disparaît deux fois, une fois de chaque figure

10 \cdot 4 = 40

vérification : le contour compte quatre côtés de l'hexagone et trois de chaque carré

La bonne réponse : « $40$ ». « $56$ » n'enlève rien : les côtés collés ne sont plus sur le contour. « $48$ » retire chaque côté collé une seule fois. « $32$ » ne compte que deux côtés par carré, au lieu de trois.

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Exercice 7

Une feuille rectangulaire de $20$ sur $12$ est pliée en deux le long de la droite qui joint les milieux de ses deux grands côtés. Quel est le périmètre de la feuille pliée ?

$32$
$64$
$52$
$44$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $44$

Corrigé :

20 : 2 = 10

le pli coupe en deux les grands côtés, et eux seuls

2(10 + 12) = 44

la feuille pliée mesure $10$ sur $12$

La bonne réponse : « $44$ ». « $32$ » prend la moitié du périmètre de départ, $64 : 2$ : plier divise l'aire par deux, pas le périmètre. « $52$ » plie dans l'autre sens, en $20$ sur $6$ . « $64$ » est le périmètre de la feuille avant le pli.

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Exercice 8

Dans le triangle $ABC$ , rectangle en $B$ , $AB = 12$ et $BC = 16$ . Le point $D$ est sur $BC$ , avec $BD = 9$ . Le triangle $ABD$ est blanc, le triangle $ADC$ est gris. Quelle est l'aire grisée ?

$42$
$52{,}5$
$54$
$84$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $42$

Corrigé :

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{12 \cdot 16}{2} \\ &= 96\end{aligned}

le grand triangle : ses deux côtés de l'angle droit

\begin{aligned}S_{ABD} &= \frac{12 \cdot 9}{2} \\ &= 54\end{aligned}

le triangle blanc : base $BD$ sur un côté de l'angle droit, hauteur l'autre côté $AB$

96 - 54 = 42

le gris ; vérification : base $DC = 7$ , hauteur $12$ , $\frac{7 \cdot 12}{2} = 42$

La bonne réponse : « $42$ ». « $52{,}5$ » prend $AD = 15$ pour hauteur du triangle gris, $\frac{7 \cdot 15}{2}$ : $AD$ n'est pas perpendiculaire à $DC$ , la hauteur est $AB$ . « $84$ » oublie de diviser par deux, $7 \cdot 12$ . « $54$ » est l'aire du triangle blanc.

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Exercice 9

Un disque blanc est inscrit dans un carré de côté $12$ : il touche ses quatre côtés. Les quatre coins du carré, hors du disque, sont gris. Quelle est l'aire grisée ?

$144 - 36\pi$
$36 - 9\pi$
$144 - 12\pi$
$36\pi$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $144 - 36\pi$

Corrigé :

\begin{aligned}r &= 12 : 2 \\ &= 6\end{aligned}

le diamètre du disque est le côté du carré

12^2 - \pi \cdot 6^2 = 144 - 36\pi

le carré moins le disque

La bonne réponse : « $144 - 36\pi$ ». « $144 - 12\pi$ » prend la formule de la longueur du cercle, $\pi d = 12\pi$ , au lieu de l'aire du disque. « $36\pi$ » est l'aire du disque blanc. « $36 - 9\pi$ » ne compte qu'un des quatre coins.

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Exercice 10

Un carré est découpé en cinq bandes rectangulaires identiques, parallèles à un de ses côtés. Le périmètre d'une bande vaut $36$ . Quelle est l'aire du carré ?

$225$
$2025$
$45$
$81$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $225$

Corrigé :

c \times \frac{c}{5}

si le carré a pour côté $c$ , une bande mesure $c$ sur $\frac{c}{5}$

\begin{aligned}2\left(c + \frac{c}{5}\right) &= \frac{12c}{5} \\ &= 36\end{aligned}

le périmètre d'une bande

\begin{aligned}c &= 15 \\ \quad 15^2 &= 225\end{aligned}

La bonne réponse : « $225$ ». « $81$ » prend $36$ pour le périmètre du carré : $c = 9$ . « $2025$ » croit que le périmètre se partage : $5 \cdot 36 = 180 = 4c$ , $c = 45$ . « $45$ » est l'aire d'une bande, $15 \cdot 3$ .

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Exercices

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