On résout ensemble · Figures composées · Psychométriques

Six questions, une par geste central du chapitre : le tout moins le blanc, la moitié du rectangle, le périmètre de figures accolées, le pavage, le parcours du contour, le pliage. Chacune est d'abord résolue avec vous, un choix à chaque pas, puis vous attend en bas de page sous une forme jumelle.

À chaque pas, choisissez ce que vous feriez avant de lire les explications. Un mauvais choix ne coûte rien ici ; à l'examen, il coûte la question.

Le réflexe à installer : ne calculez jamais la forme bizarre. Calculez la forme simple qui l'entoure, ou comptez ce qui la borde. Une figure composée est toujours faite de rectangles, de triangles et de carrés.

1 — Le tout moins le blanc

Activité interactive

Question 1 — Le tout moins le blanc

$ABCD$ est un carré de côté $8$ . $M$ est le milieu de $BC$ et $N$ le milieu de $CD$ . Quelle est l'aire du triangle grisé $AMN$ ?

$24$

$32$

$40$

$16$

Par quoi commence-t-on ?

On calcule le carré entier, $8 \cdot 8 = 64$ , pour en retirer ensuite les morceaux blancs.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Le triangle $AMN$ n'a aucun côté horizontal ni vertical : sa hauteur n'est pas lisible. Le carré, lui, se calcule en une seconde.

On cherche la base $MN$ et la hauteur issue de $A$ .

Voir la réponse et le corrigé

C'est possible, mais il faut $MN = 4\sqrt{2}$ puis une hauteur oblique : deux calculs de racines là où une soustraction suffit.

On dit que $AMN$ est la moitié du carré, comme un triangle inscrit.

Voir la réponse et le corrigé

La règle de la moitié demande une base sur un côté du carré et le sommet sur le côté opposé. Aucun côté de $AMN$ n'est sur un côté du carré.

8 \cdot 8 = 64

L'aire du tout.

Quels sont les morceaux blancs ?

$ABM$ et $ADN$ , de côtés $8$ et $4$ , plus le coin $MCN$ , de côtés $4$ et $4$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Trois triangles rectangles dont les côtés se lisent sur le carré : $16$ , $16$ et $8$ .

$ABM$ et $ADN$ seulement.

Voir la réponse et le corrigé

Le coin $MCN$ est blanc lui aussi : sans lui, on trouve $64 - 32 = 32$ , qui est la réponse piège.

Trois triangles de $16$ chacun.

Voir la réponse et le corrigé

Le coin $MCN$ a des côtés $4$ et $4$ : son aire est $\dfrac{4 \cdot 4}{2} = 8$ , pas $16$ . Oublier la division par deux donne $64 - 48 = 16$ .

16 + 16 + 8 = 40

L'aire blanche.

Que reste-t-il ?

$64 - 40 = 24$

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Le grisé est le tout moins le blanc.

Voir la réponse et le corrigé

C'est l'aire blanche, pas l'aire grisée : relisez la question avant de cocher.

$64 - 24 = 40$

Voir la réponse et le corrigé

Le calcul est inversé : c'est le blanc qu'on retire du tout.

64 - 40 = 24

L'aire du triangle $AMN$ .

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $24$ ». « $32$ » oublie le petit triangle du coin. « $40$ » ne retire qu'un des deux grands triangles. « $16$ » oublie de diviser par deux l'aire du coin.

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Votre question jumelle : la première de la liste, en bas de page.

2 — La moitié du rectangle

Activité interactive

Question 2 — La moitié du rectangle

$ABCD$ est un rectangle de $10$ sur $6$ , et $P$ un point intérieur dont on ne donne pas la position. Quelle est l'aire totale des deux triangles grisés $PAB$ et $PCD$ ?

$30$

$60$

$15$

Les données ne suffisent pas

Qu'ont les deux triangles grisés en commun ?

Leurs bases, $AB$ et $CD$ , mesurent toutes deux $10$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Avec la même base, il suffit d'additionner les hauteurs.

Ils ont la même aire.

Voir la réponse et le corrigé

Seulement si $P$ est à mi-hauteur. Rien ne le dit ici, et la figure le montre plus bas.

Ils sont semblables.

Voir la réponse et le corrigé

Rien ne le prouve, et ce ne serait d'aucune aide pour une somme d'aires.

\begin{aligned}S &= \dfrac{10 \cdot h_1}{2} + \dfrac{10 \cdot h_2}{2} \\ &= \dfrac{10 \cdot (h_1 + h_2)}{2}\end{aligned}

Les deux hauteurs partent de $P$ , l'une vers $AB$ , l'autre vers $CD$ .

Que vaut $h_1 + h_2$ ?

$6$ : les deux hauteurs, bout à bout, traversent le rectangle.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Où que soit $P$ , la distance de $AB$ à $CD$ ne change pas.

On ne peut pas le savoir sans placer $P$ .

Voir la réponse et le corrigé

Chaque hauteur dépend de $P$ , mais leur somme non : c'est tout l'intérêt de la question.

$10$ , la longueur du rectangle.

Voir la réponse et le corrigé

Les hauteurs vers $AB$ et $CD$ sont verticales : elles se mesurent sur la largeur, $6$ .

\begin{aligned}S &= \dfrac{10 \cdot 6}{2} \\ &= 30\end{aligned}

La moitié du rectangle.

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $30$ ». « $60$ » est le rectangle entier. « $15$ » divise deux fois par deux. « Les données ne suffisent pas » est le piège : l'énoncé tait la position de $P$ parce qu'elle ne compte pas.

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Votre question jumelle : la deuxième de la liste.

3 — Le côté commun disparaît

Activité interactive

Question 3 — Le côté commun disparaît

Sur chacun des six côtés d'un hexagone régulier de côté $3$ , on colle vers l'extérieur un carré de côté $3$ . Quel est le périmètre de la figure obtenue ?

$54$

$90$

$72$

$36$

Comment s'y prend-on ?

On suit le contour et on compte, carré par carré, les côtés qui restent dehors.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Le contour ne passe que par des côtés de carrés : il suffit de compter ceux qui ne touchent pas l'hexagone.

On additionne les périmètres des sept figures.

Voir la réponse et le corrigé

Chaque côté de l'hexagone est collé : il est compté deux fois dans cette somme alors qu'il n'est plus sur le contour.

On prend le périmètre de l'hexagone et on ajoute un côté par carré.

Voir la réponse et le corrigé

Les côtés de l'hexagone sont tous à l'intérieur : ils ne font plus partie du contour.

On compte le contour.

Combien de côtés de chaque carré sont sur le contour ?

Trois : le côté extérieur et les deux côtés latéraux.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Entre deux carrés voisins s'ouvre un creux de $360^\circ - 120^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 60^\circ$ : les côtés latéraux le bordent, ils sont donc dehors.

Un seul, le côté extérieur.

Voir la réponse et le corrigé

Les côtés latéraux ne sont collés à rien : ils bordent les creux en pointe entre deux carrés.

Deux, car les côtés latéraux de deux carrés voisins se touchent.

Voir la réponse et le corrigé

Ils partent du même sommet de l'hexagone mais font un angle de $60^\circ$ : ils ne se recouvrent pas.

6 \cdot 3 \cdot 3 = 54

Six carrés, trois côtés de $3$ chacun.

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $54$ ». « $90$ » additionne les sept périmètres, $18 + 6 \cdot 12$ . « $72$ » ne retire les côtés collés qu'une fois. « $36$ » ne compte que deux côtés par carré.

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Votre question jumelle : la troisième de la liste.

4 — Quatre pièces identiques

Activité interactive

Question 4 — Quatre pièces identiques

Le grand rectangle est fait de quatre rectangles identiques : trois debout côte à côte, un couché au-dessus, comme sur la figure. Le périmètre du grand rectangle vaut $56$ . Quelle est l'aire d'un petit rectangle ?

$48$

$192$

$32$

$14$

Quelle relation lie $a$ et $b$ ?

$a = 3b$ : le côté du haut est la longueur $a$ de la pièce couchée, et aussi trois largeurs $b$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. C'est le côté qui se lit de deux façons.

$a = 2b$ .

Voir la réponse et le corrigé

Comptez les pièces debout sous la pièce couchée : il y en a trois, pas deux.

Aucune : il faudrait une donnée de plus.

Voir la réponse et le corrigé

La figure elle-même donne la relation : les pièces s'emboîtent exactement.

a = 3b

La relation du pavage.

Que vaut le périmètre du grand rectangle, en $b$ ?

$2(3b + 4b) = 14b$ : la largeur vaut $a = 3b$ , la hauteur $a + b = 4b$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Et $14b = 56$ donne $b = 4$ .

$4$ fois le périmètre d'une pièce.

Voir la réponse et le corrigé

Les côtés intérieurs ne sont pas sur le contour du grand : un périmètre ne s'additionne pas.

$2(3b + b) = 8b$ .

Voir la réponse et le corrigé

La hauteur du grand est $a + b$ : la pièce couchée ( $b$ ) posée sur les pièces debout ( $a$ ).

\begin{aligned}14b &= 56 \ \Rightarrow\ b \\ &= 4 \\ \ a &= 12\end{aligned}

Les côtés d'une pièce.

Quelle est l'aire d'une pièce ?

$12 \cdot 4 = 48$

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Vérification : $4 \cdot 48 = 192 = 12 \cdot 16$ , l'aire du grand.

$12 \cdot 16 = 192$

Voir la réponse et le corrigé

C'est l'aire du grand rectangle entier.

$2(12 + 4) = 32$

Voir la réponse et le corrigé

C'est le périmètre d'une pièce, pas son aire.

\begin{aligned}S &= 12 \cdot 4 \\ &= 48\end{aligned}

L'aire d'une pièce.

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $48$ ». « $192$ » est l'aire du grand rectangle. « $32$ » est le périmètre d'une pièce. « $14$ » partage $56$ en quatre, comme si le périmètre se répartissait entre les pièces.

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Votre question jumelle : la quatrième de la liste.

5 — Le point qui fait le tour

Activité interactive

Question 5 — Le point qui fait le tour

$ABCD$ est un carré de côté $5$ m. Un point part de $A$ et parcourt le bord dans le sens $A \to B \to C \to D \to A$ . Où se trouve-t-il après avoir parcouru $67$ m ?

Sur $BC$ , à $2$ m de $B$

Sur $BC$ , à $2$ m de $C$

Sur $AB$ , à $2$ m de $A$

Sur $DC$ , à $2$ m de $D$

Que fait-on d'abord des $67$ m ?

On retire les tours complets : un tour fait $20$ m, et $67 = 3 \cdot 20 + 7$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Après trois tours, le point est revenu en $A$ ; seuls les $7$ m restants comptent.

On divise par le côté : $67 = 13 \cdot 5 + 2$ , donc il est à $2$ m de $A$ .

Voir la réponse et le corrigé

Le reste $2$ est juste, mais il ne dit pas sur QUEL côté : treize côtés font trois tours et un côté, le point a dépassé $B$ .

On divise $67$ par $4$ , le nombre de côtés.

Voir la réponse et le corrigé

Ce quotient ne mesure rien : ni un tour ni un côté.

67 = 3 \cdot 20 + 7

Trois tours, puis $7$ m depuis $A$ .

Où mènent les $7$ m restants ?

$5$ m jusqu'à $B$ , puis $2$ m sur $BC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Le point est sur $BC$ , à $2$ m de $B$ — donc à $3$ m de $C$ .

$7$ m le long de $AB$ .

Voir la réponse et le corrigé

$AB$ ne mesure que $5$ m : le point a tourné en $B$ .

$5$ m jusqu'à $D$ , puis $2$ m sur $DC$ .

Voir la réponse et le corrigé

C'est le sens inverse : l'énoncé impose $A \to B$ .

7 = 5 + 2

Sur $BC$ , à $2$ m de $B$ .

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « Sur $BC$ , à $2$ m de $B$ ». « à $2$ m de $C$ » mesure depuis le mauvais bout du côté. « Sur $AB$ , à $2$ m de $A$ » garde le reste de la division par le côté sans compter les côtés parcourus. « Sur $DC$ » fait le tour à l'envers.

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Votre question jumelle : la cinquième de la liste.

6 — La feuille pliée

Activité interactive

Question 6 — La feuille pliée

Une feuille rectangulaire de $14$ sur $10$ est pliée en deux le long de la ligne pointillée, qui joint les milieux de ses deux grands côtés. Quel est le périmètre de la figure pliée ?

$34$

$24$

$48$

$38$

Quelles sont les dimensions de la feuille pliée ?

$7$ sur $10$ : le côté de $14$ est coupé en deux, celui de $10$ ne bouge pas.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Le pli est parallèle aux petits côtés : seuls les grands côtés sont partagés.

$7$ sur $5$ : tout est divisé par deux.

Voir la réponse et le corrigé

Un pli ne réduit qu'une direction, celle qui le traverse.

$14$ sur $5$ .

Voir la réponse et le corrigé

Ce serait un pli parallèle aux grands côtés ; ici la ligne joint les milieux des grands côtés.

14 : 2 = 7

La feuille pliée mesure $7$ sur $10$ .

Quel est son périmètre ?

$2(7 + 10) = 34$

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Et l'aire, elle, est bien divisée par deux : $70$ au lieu de $140$ .

$\dfrac{48}{2} = 24$

Voir la réponse et le corrigé

Le périmètre n'est pas divisé par deux : les deux côtés de $10$ restent entiers.

$48$ , le pli ne change pas le contour.

Voir la réponse et le corrigé

Le contour change : deux demi-côtés de $7$ disparaissent sous le pli.

\begin{aligned}P &= 2(7 + 10) \\ &= 34\end{aligned}

Le périmètre de la feuille pliée.

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $34$ ». « $24$ » divise le périmètre de départ par deux. « $48$ » ne voit pas que le contour a changé. « $38$ » est le pli dans l'autre sens, $14$ sur $5$ .

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Votre question jumelle : la sixième de la liste.

Si vos six jumelles tombent juste, passez aux séries : elles varient l'habillage de ces gestes, et les combinent parfois deux par deux.

Exercices

Exercice 1

$ABCD$ est un carré de côté $12$ . $M$ est le milieu de $BC$ et $N$ le milieu de $CD$ . Quelle est l'aire du triangle grisé $AMN$ ?

$72$
$90$
$36$
$54$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $54$

Corrigé :

12 \cdot 12 = 144

le carré entier

\begin{aligned}2 \cdot \dfrac{12 \cdot 6}{2} + \dfrac{6 \cdot 6}{2} &= 72 + 18 \\ &= 90\end{aligned}

les deux grands triangles blancs et le coin MCN

144 - 90 = 54

le triangle grisé

La bonne réponse : « $54$ ». Même scène que la question 1. « $72$ » oublie le coin $MCN$ . « $90$ » ne retire qu'un grand triangle. « $36$ » compte le coin pour $6 \cdot 6 = 36$ , sans la division par deux.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

$ABCD$ est un rectangle de $14$ sur $8$ , et $P$ un point intérieur dont on ne donne pas la position. Quelle est l'aire totale des deux triangles grisés $PAD$ et $PBC$ ?

$28$
$112$
Les données ne suffisent pas
$56$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $56$

Corrigé :

\begin{aligned}AD &= BC \\ &= 8\end{aligned}

les deux bases

\begin{aligned}h_1 + h_2 &= AB \\ &= 14\end{aligned}

les hauteurs issues de P sont horizontales, et traversent le rectangle

\begin{aligned}S &= \dfrac{8 \cdot 14}{2} \\ &= 56\end{aligned}

la moitié du rectangle

La bonne réponse : « $56$ ». Cette fois les bases sont les petits côtés, et les hauteurs se lisent sur la longueur. « $112$ » est le rectangle entier. « $28$ » divise deux fois. « Les données ne suffisent pas » : la position de $P$ ne change pas la somme.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Sur chacun des cinq côtés d'un pentagone régulier de côté $5$ , on colle vers l'extérieur un carré de côté $5$ . Quel est le périmètre de la figure obtenue ?

$75$
$100$
$50$
$125$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $75$

Corrigé :

360^\circ - 108^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 72^\circ

entre deux carrés voisins s'ouvre un creux : aucun côté latéral n'est collé

5 \cdot 3 = 15 \text{ côtés}

trois côtés par carré sont sur le contour

15 \cdot 5 = 75

le périmètre

La bonne réponse : « $75$ ». « $125$ » additionne les six périmètres, $25 + 5 \cdot 20$ . « $100$ » retire les côtés collés une seule fois. « $50$ » ne compte que deux côtés par carré, comme si les côtés latéraux de deux carrés voisins se recouvraient.

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Exercice 4

Le grand rectangle est fait de quatre rectangles identiques : trois debout côte à côte, un couché au-dessus, comme sur la figure. Le périmètre du grand rectangle vaut $84$ . Quelle est l'aire d'un petit rectangle ?

$21$
$432$
$48$
$108$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $108$

Corrigé :

a = 3b

le côté du haut : une longueur a, ou trois largeurs b

\begin{aligned}2(3b + 4b) &= 14b \\ &= 84 \ \Rightarrow\ b \\ &= 6\end{aligned}

la largeur du grand vaut 3b, sa hauteur 4b

\begin{aligned}a &= 18 \\ \ S &= 18 \cdot 6 \\ &= 108\end{aligned}

l'aire d'une pièce

La bonne réponse : « $108$ ». « $432$ » est l'aire du grand rectangle. « $48$ » est le périmètre d'une pièce. « $21$ » partage le périmètre du grand en quatre.

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Exercice 5

$ABCD$ est un carré de côté $6$ m. Un point part de $A$ et parcourt le bord dans le sens $A \to B \to C \to D \to A$ . Où se trouve-t-il après avoir parcouru $110$ m ?

Sur $CD$ , à $2$ m de $C$
Sur $AB$ , à $2$ m de $A$
Sur $CD$ , à $2$ m de $D$
Sur $BC$ , à $2$ m de $C$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A Sur $CD$ , à $2$ m de $C$

Corrigé :

4 \cdot 6 = 24

un tour complet

110 = 4 \cdot 24 + 14

quatre tours le ramènent en A

14 = 6 + 6 + 2

AB, puis BC, puis 2 m sur CD

La bonne réponse : « Sur $CD$ , à $2$ m de $C$ ». « à $2$ m de $D$ » mesure depuis le mauvais bout de $CD$ . « Sur $AB$ , à $2$ m de $A$ » vient de $110 = 18 \cdot 6 + 2$ sans compter les côtés parcourus. « Sur $BC$ , à $2$ m de $C$ » fait le tour dans le sens $A \to D \to C$ .

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Exercice 6

Une feuille rectangulaire de $10$ sur $6$ est pliée en deux le long de la ligne pointillée, qui joint les milieux de ses deux grands côtés. Quel est le périmètre de la figure pliée ?

$22$
$26$
$32$
$16$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $22$

Corrigé :

10 : 2 = 5

le pli coupe les grands côtés en deux

\begin{aligned}P &= 2(5 + 6) \\ &= 22\end{aligned}

la feuille pliée mesure 5 sur 6

La bonne réponse : « $22$ ». « $16$ » divise le périmètre de départ, $32$ , par deux. « $32$ » ne voit pas que le contour a changé. « $26$ » plie dans l'autre sens, $10$ sur $3$ .

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Exercice 7

$ABCD$ est un carré de côté $10$ . $M$ est le milieu de $BC$ et $N$ le milieu de $CD$ . Quelle est l'aire du triangle grisé $AMN$ ?

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Réponse : 37.5

Corrigé :

10 \cdot 10 = 100

le carré entier

25 + 25 + 12{,}5 = 62{,}5

les triangles blancs $ABM$ , $ADN$ et le coin $MCN$

100 - 62{,}5 = 37{,}5

l'aire de $AMN$

$37{,}5$ . Le piège : oublier le petit coin $MCN$ , et trouver $50$ .

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Exercice 8

$ABCD$ est un rectangle de $12$ sur $5$ , et $P$ un point intérieur. La somme des aires des triangles grisés $PAB$ et $PCD$ dépend de la position de $P$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

S = \dfrac{12 \cdot (h_1 + h_2)}{2}

les deux bases valent $12$

\begin{aligned}h_1 + h_2 &= 5 \ \Rightarrow\ S \\ &= 30\end{aligned}

toujours la moitié du rectangle

Faux. La somme vaut toujours $30$ . Le piège : voir les deux triangles changer de forme et en conclure que leur somme change.

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Exercice 9

Sur chacun des six côtés d'un hexagone régulier de côté $2$ , on colle vers l'extérieur un carré de côté $2$ . Quel est le périmètre de la figure obtenue ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

3 \text{ côtés par carré}

le côté collé est intérieur ; les deux côtés latéraux bordent un creux de $60^\circ$

6 \cdot 3 \cdot 2 = 36

dix-huit côtés de $2$ sur le contour

$36$ . Le piège : $60$ , la somme des sept périmètres, où chaque côté de l'hexagone est encore compté.

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Exercice 10

Le grand rectangle est fait de quatre rectangles identiques : trois debout côte à côte, un couché au-dessus. Le périmètre du grand rectangle vaut $42$ . Quelle est l'aire d'un petit rectangle ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 27

Corrigé :

a = 3b

le côté du haut : la longueur de la pièce couchée, et trois largeurs

\begin{aligned}P &= 2(3b + 4b) \\ &= 14b \\ &= 42\end{aligned}

largeur $a = 3b$ , hauteur $a + b = 4b$

\begin{aligned}b &= 3 \\ \ a &= 9 \\ \ S &= 27\end{aligned}

l'aire d'une pièce

$27$ . Le piège : $\dfrac{42}{4}$ , comme si le périmètre se partageait entre les pièces.

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Exercice 11

$ABCD$ est un carré de côté $6$ m. Un point part de $A$ et parcourt le bord dans le sens $A \to B \to C \to D \to A$ , sur $100$ m. Il s'arrête sur le côté $BC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

100 = 4 \cdot 24 + 4

quatre tours complets de $24$ m le ramènent en $A$

4 < 6

les $4$ m restants tiennent sur $AB$

Faux. Il s'arrête sur $AB$ , à $4$ m de $A$ . Le piège : diviser par le côté, $100 = 16 \cdot 6 + 4$ , et compter mal les côtés parcourus.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

Une feuille de $20$ sur $12$ est pliée en deux le long de la ligne pointillée, qui joint les milieux de ses deux grands côtés. Quel est le périmètre de la feuille pliée ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 44

Corrigé :

20 : 2 = 10

seuls les grands côtés sont coupés

\begin{aligned}P &= 2 \cdot (10 + 12) \\ &= 44\end{aligned}

la feuille pliée mesure $10$ sur $12$

$44$ . Le piège : $32$ , la moitié du périmètre de départ.

Vérifier la réponse sur elev

1 — Le tout moins le blanc

2 — La moitié du rectangle

3 — Le côté commun disparaît

4 — Quatre pièces identiques

5 — Le point qui fait le tour

6 — La feuille pliée

Exercices

La suite se pratique sur elev