Le réflexe figures composées · Figures composées · Psychométriques

Une figure composée se reconnaît en une seconde : un carré privé de ses coins, des carrés collés contre un hexagone, une feuille qu'on plie.

L'examen en pose régulièrement, presque toujours avec la même demande : une aire grisée, un périmètre, ou un nombre (de points, de carrés, de tours).

Aucune formule nouvelle : l'aire du rectangle et du triangle, Pythagore et les triangles du formulaire suffisent. Ce qui compte, c'est l'ordre dans lequel on regarde la figure.

Le chapitre tient en huit gestes : quatre pour les aires, deux pour les périmètres, un pour les pavages, un pour les questions sans formule.

À l'examen, la figure n'est pas à l'échelle : ne mesurez jamais à l'œil. Et les questions difficiles, en fin de bloc, donnent souvent une lettre ( $x$ , $a$ ) au lieu d'un nombre, ou mêlent la figure à un cercle. Le geste ne change pas : on écrit chaque longueur avec la lettre. La série 6 vous y entraîne.

Geste 1 — L'aire grisée : le tout moins le blanc

La zone grisée n'a presque jamais de formule : c'est un rectangle auquel on a arraché des morceaux.

On calcule donc la grande figure simple qui l'entoure, puis on retire ce qui est blanc.

S_{\text{grisé}} = S_{\text{tout}} - S_{\text{blanc}}

Les deux erreurs qui coûtent la question.

\begin{aligned}S &= 4 \cdot 3 \\ &= 12\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \dfrac{4 \cdot 3}{2} \\ &= 6\end{aligned}

un triangle est la moitié du rectangle qui l'entoure : on oublie la division par deux une fois sur trois

S = \dfrac{5 \cdot 4}{2}

S = \dfrac{4 \cdot 3}{2}

l'hypoténuse n'est pas une hauteur : la base et la hauteur d'un triangle rectangle sont les deux côtés de l'angle droit

Le triangle 3-4-5 est un habitué. Dès que deux côtés d'un triangle rectangle valent $3$ et $4$ (ou $6$ et $8$ , ou $9$ et $12$ ), le troisième vaut $5$ (ou $10$ , ou $15$ ) sans calcul. Les autres triplets entiers que l'examen aime : $5$ - $12$ - $13$ et $8$ - $15$ - $17$ .

Un carré de côté $10$ perd, à chacun de ses quatre coins, un triangle rectangle de côtés $3$ et $4$ . Quelle est l'aire de ce qui reste ?

Voir la réponse et le corrigé

$76$ . Le tout : $10 \cdot 10 = 100$ . Chaque coin blanc : $\dfrac{3 \cdot 4}{2} = 6$ , donc $4 \cdot 6 = 24$ en tout. Il reste $100 - 24 = 76$ .

Geste 2 — Soustraire ou additionner : choisir le découpage

Une figure en L, en T ou en marche se calcule de deux façons, et les deux donnent le même nombre.

On additionne en la coupant en rectangles qui ne se chevauchent pas. On soustrait en la complétant en un grand rectangle, dont on retire le morceau ajouté.

Choisissez le découpage qui demande le moins de longueurs inconnues. Les deux chemins se vérifient l'un l'autre.

Le morceau compté deux fois.

10 \cdot 4 + 6 \cdot 7 = 82

10 \cdot 4 + 6 \cdot 3 = 58

les deux rectangles se chevauchent sur $6 \times 4 = 24$ : une addition n'est juste que si les morceaux ne se recouvrent pas

Le même geste vaut pour un triangle qui n'est pas rectangle. La hauteur d'un triangle équilatéral de côté $a$ vaut $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ : c'est le triangle $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ du formulaire.

S_{\text{équilatéral}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}

Un carré de côté $6$ privé d'un triangle équilatéral bâti sur un de ses côtés garde donc $36 - 9\sqrt{3}$ .

Un rectangle $12 \times 9$ porte, au milieu de son grand côté du haut, une encoche rectangulaire blanche large de $4$ et profonde de $5$ . Quelle est l'aire grisée ?

Voir la réponse et le corrigé

$88$ . Par soustraction : $12 \cdot 9 - 4 \cdot 5 = 108 - 20 = 88$ . Par addition, c'est plus long : la bande du bas $12 \times 4 = 48$ , plus les deux montants $4 \times 5 = 20$ chacun, soit $48 + 40 = 88$ . Les deux chemins se vérifient l'un l'autre.

Geste 3 — Le triangle inscrit dans un rectangle : la moitié

Voici la figure que l'examen reprend le plus souvent : un triangle dont la base est un côté du rectangle et dont le sommet est sur le côté opposé.

Sa hauteur est la hauteur du rectangle. Son aire est donc la moitié du rectangle, où que soit le sommet.

Les deux triangles blancs, ensemble, font l'autre moitié.

S_{ABE} = \dfrac{AB \cdot AD}{2}

base $AB$ , hauteur $AD$ : la moitié du rectangle, quelle que soit la position de $E$ sur $DC$

S_{PAB} + S_{PCD} = \dfrac{S_{ABCD}}{2}

un point $P$ n'importe où dans le rectangle : les deux hauteurs $h_1 + h_2$ font toujours $AD$

S_{PBC} + S_{PDA} = \dfrac{S_{ABCD}}{2}

et les deux autres triangles font donc l'autre moitié

\text{parallélogramme} : \text{même règle}

un triangle de base un côté et de sommet sur le côté opposé vaut la moitié du parallélogramme

« Les données ne suffisent pas » est presque toujours un piège ici. Quand l'énoncé ne dit pas où est le sommet, c'est justement parce que la réponse n'en dépend pas. Avant de choisir cette option, vérifiez si la figure n'est pas une moitié de rectangle.

On trace les deux diagonales d'un rectangle $10 \times 6$ . Elles le découpent en quatre triangles. Les deux triangles appuyés sur les petits côtés ont-ils une aire plus petite que les deux autres ?

Voir la réponse et le corrigé

Non, les quatre triangles ont la même aire, $15$ . Chaque diagonale coupe le rectangle en deux moitiés, et le centre partage chaque moitié en deux triangles de même aire (même hauteur depuis un sommet, bases égales sur la diagonale). Un triangle plus « pointu » n'est pas plus petit.

Geste 4 — Sur une grille : encadrer, puis retirer

Sur un quadrillage, quand les sommets tombent sur les nœuds, on n'a besoin d'aucune longueur oblique.

On encadre la figure dans le plus petit rectangle de la grille, puis on retire les triangles rectangles des coins. Leurs côtés se comptent en carreaux.

Si la figure ne coupe les carreaux qu'en diagonale, comptez simplement : un carreau entier vaut $1$ , un demi-carreau coupé par sa diagonale vaut $\dfrac{1}{2}$ . Au-delà, encadrez : compter des morceaux de formes différentes est la première source d'erreur.

Sur une grille de carreaux $1 \times 1$ , un carré penché a ses sommets en $(1, 0)$ , $(3, 1)$ , $(2, 3)$ et $(0, 2)$ . Quelle est son aire ?

Voir la réponse et le corrigé

$5$ . Le carré $3 \times 3$ qui l'encadre vaut $9$ ; les quatre triangles des coins ont chacun des côtés $1$ et $2$ , soit $1$ chacun. $9 - 4 = 5$ — et c'est bien le carré de son côté, $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ .

Geste 5 — Le périmètre de figures accolées : le côté commun disparaît

Quand on colle deux figures le long d'un côté, ce côté passe à l'intérieur : on ne peut plus en faire le tour.

Il disparaît donc deux fois, une fois du périmètre de chaque figure. C'est la seule règle du périmètre composé, et la plus oubliée.

P = P_1 + P_2 - 2 \cdot (\text{côté commun})

Sur la figure : $18 + 12 - 2 \cdot 3 = 24$ . Le contour, compté un côté à la fois : cinq côtés de l'hexagone, trois du carré, huit côtés de $3$ .

Compter le contour est toujours permis, et souvent plus sûr que la formule.

Retirer le côté commun une seule fois.

P = P_1 + P_2 - c

P = P_1 + P_2 - 2c

le côté commun appartenait aux DEUX figures : il faut le retirer de chacune

P = P_1 + P_2

P < P_1 + P_2

coller fait toujours perdre du périmètre ; seule l'aire s'additionne telle quelle

Sept triangles équilatéraux de côté $2$ forment une bande, comme sur la figure. Quel est son périmètre ?

Voir la réponse et le corrigé

$18$ . Une bande de $n$ triangles a $n + 2$ côtés sur son contour : le bas et le haut en portent $n$ à eux deux, et les deux bouts un chacun. Ici $7 + 2 = 9$ côtés de $2$ , soit $18$ .

Geste 6 — Retirer un carré, redresser un escalier

Sur une figure faite de carrés unités, retirer un carré peut laisser le périmètre intact, l'augmenter ou le diminuer.

Tout dépend du nombre $k$ de côtés du carré qui étaient sur le contour : il en retire $k$ , et en découvre $4 - k$ .

\text{coin (a)} : 16 = 16

deux côtés sur le contour, deux découverts : le périmètre ne bouge pas

\text{bord (b)} : 18 = 16 + 2

un seul côté sur le contour, trois découverts : il augmente de $2$

\text{carré qui dépasse (c)} : 14 = 16 - 2

trois côtés sur le contour, un seul découvert : il diminue de $2$

Le cas célèbre est l'escalier : un contour qui ne fait que descendre et aller à droite.

On pousse chaque marche vers le coin : les segments horizontaux se rangent en haut, les verticaux à droite. Le périmètre de l'escalier est celui du rectangle qui l'encadre.

\begin{aligned}P_{\text{escalier}} &= 2 \cdot (8 + 6) \\ &= 28\end{aligned}

L'escalier fonctionne seulement si chaque marche va dans le même sens. Une encoche creusée dans un côté (un carré retiré au milieu d'un bord, un U) ajoute deux fois sa profondeur : les deux parois de l'encoche ne se « poussent » sur aucun côté du rectangle.

Un rectangle de $4 \times 3$ carrés unités perd le carré du milieu de son côté du bas (ni un coin, ni un carré intérieur). Le périmètre passe de $14$ à combien ?

Voir la réponse et le corrigé

$16$ . Le carré retiré n'avait qu'un côté sur le contour ; ses trois autres côtés deviennent du contour. $14 - 1 + 3 = 16$ .

Le même geste vaut pour un chemin. Un chemin en escalier, toujours vers la droite et vers le bas, mesure la largeur plus la hauteur entre ses deux bouts.

L'examen le cache volontiers dans un quart de disque de rayon $r$ : l'escalier qui relie les deux bouts de l'arc mesure $2r$ , alors que l'arc mesure $\dfrac{\pi r}{2}$ .

Un quart de disque a un rayon de $10$ . Un chemin en escalier relie les deux bouts de son arc, comme sur la figure. Lequel est le plus long : le chemin ou l'arc ?

Voir la réponse et le corrigé

Le chemin. Ses segments verticaux font ensemble un rayon, ses segments horizontaux un autre : $10 + 10 = 20$ . L'arc mesure $\dfrac{2\pi \cdot 10}{4} = 5\pi$ , environ $15{,}7$ . Le rapport de l'arc au chemin vaut donc $\dfrac{\pi}{4}$ , quel que soit le rayon.

Geste 7 — Un pavage de pièces identiques : parler en a et b

Un grand rectangle est fait de pièces identiques. On donne le périmètre (ou l'aire) du tout, on demande celui d'une pièce — ou l'inverse.

Le geste : appeler $a$ et $b$ les côtés d'une pièce, puis écrire chaque côté du grand en $a$ et $b$ . Le côté qui se lit de deux façons donne la relation.

Le périmètre ne se partage pas.

P_{\text{pièce}} = \dfrac{44}{5}

\begin{aligned}P_{\text{pièce}} &= 2(a + b) \\ &= 20\end{aligned}

les côtés intérieurs n'appartiennent pas au contour du tout : le périmètre du grand n'est pas la somme de ceux des pièces

L'aire, elle, se partage : cinq pièces identiques font cinq fois l'aire d'une pièce. C'est l'égalité qui vérifie le calcul : $12 \cdot 10 = 120 = 5 \cdot 24$ .

La même méthode vaut pour neuf parallélogrammes identiques rangés trois par trois : le grand parallélogramme a des côtés $3a$ et $3b$ , donc un périmètre trois fois celui d'une pièce, et une aire neuf fois celle d'une pièce.

Neuf parallélogrammes identiques forment un grand parallélogramme, trois par trois. Le périmètre d'un petit parallélogramme vaut $14$ . Quel est le périmètre du grand ?

Voir la réponse et le corrigé

$42$ . Chaque côté du grand est fait de trois côtés de pièces : $2(3a + 3b) = 3 \cdot 2(a + b) = 3 \cdot 14 = 42$ . Le piège est $9 \cdot 14 = 126$ : c'est l'aire qui est multipliée par neuf, pas le périmètre.

Geste 8 — Plier, compter, parcourir : le raisonnement spatial

L'examen pose aussi des questions sans formule. Surtout deux sortes : compter (des quadrilatères, des points d'intersection) et dire ce qui ne peut pas arriver.

Plier une feuille ou suivre un point sur un contour relève du même raisonnement : un dessin rapide, une règle simple.

Plier. Plier une feuille en deux divise l'aire par deux, mais pas le périmètre : seul le côté que le pli traverse est coupé.

Le périmètre plié n'est pas la moitié.

\begin{aligned}P &= \dfrac{40}{2} \\ &= 20\end{aligned}

\begin{aligned}P &= 2(6 + 8) \\ &= 28\end{aligned}

seul le côté perpendiculaire au pli est divisé par deux ; l'autre reste entier

\text{carré plié en diagonale} : P = \dfrac{4a}{2}

P = 2a + a\sqrt{2}

le pli devient un côté, et c'est une diagonale : $a\sqrt{2}$ , le triangle $45^\circ$ - $45^\circ$ - $90^\circ$ du formulaire

Les droites qui se coupent. Trois droites distinctes d'un plan se coupent en $0$ , $1$ , $2$ ou $3$ points — jamais plus.

Le maximum : jamais deux droites parallèles, et jamais trois par un même point. Chaque paire de droites donne alors un point.

\dfrac{n(n-1)}{2}

le nombre maximal de points d'intersection de $n$ droites : une par paire

\dfrac{k(k-1)}{2}

le nombre de segments entre $k$ points d'une droite : un par paire de points

1^2 + 2^2 + \dots + n^2

le nombre de carrés d'une grille $n \times n$ , de toutes tailles

d \bmod P

où est un point qui a parcouru $d$ sur un contour de périmètre $P$ : seuls les restes comptent

Combien de carrés, de toutes tailles, compte une grille de $3 \times 3$ carreaux ?

Voir la réponse et le corrigé

$14$ . Neuf carrés $1 \times 1$ , quatre carrés $2 \times 2$ (leur coin haut-gauche a $2 \times 2$ positions), et un carré $3 \times 3$ : $9 + 4 + 1 = 14$ . Répondre $9$ , c'est oublier que les grands carrés sont aussi des carrés.

Le parcours du contour. Un point part d'un sommet et suit le bord. On retire d'abord les tours complets (des multiples du périmètre), puis on avance le reste côté par côté.

Quatre droites sont tracées dans un plan, deux d'entre elles jamais parallèles et trois d'entre elles jamais concourantes. Combien de points d'intersection y a-t-il ?

Voir la réponse et le corrigé

$6$ . Chaque paire de droites donne exactement un point, et aucun point n'est partagé : $\dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6$ . Répondre $12$ , c'est compter chaque paire deux fois ( $4 \cdot 3$ ).

En résumé, un geste par situation :

S_{\text{grisé}} = S_{\text{tout}} - S_{\text{blanc}}

une aire grisée : le tout moins le blanc, ou des morceaux qui ne se chevauchent pas

S = \dfrac{S_{\text{rectangle}}}{2}

un triangle posé sur un côté du rectangle, sommet en face

\text{grille} : \text{encadrer, retirer les coins}

une figure aux sommets sur les nœuds

P = P_1 + P_2 - 2c

deux figures collées : le côté commun disparaît deux fois

P_{\text{escalier}} = P_{\text{rectangle}}

un escalier ; un chemin en escalier mesure la largeur plus la hauteur

a, \ b

un pavage : chaque côté du grand en $a$ et $b$

\dfrac{n(n-1)}{2}

le nombre maximal de points de $n$ droites ; plier divise l'aire, pas le périmètre

d \bmod P

un point qui parcourt un contour : seul le reste compte

Exercices

Exercice 1

Le rectangle $ABCD$ mesure $10$ sur $6$ . On lui retire, en $A$ et en $C$ , deux triangles rectangles blancs dont les côtés de l'angle droit mesurent $4$ et $3$ . Quelle est l'aire grisée ?

$36$
$40$
$54$
$48$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $48$

Corrigé :

10 \cdot 6 = 60

le rectangle entier

2 \cdot \dfrac{4 \cdot 3}{2} = 12

les deux triangles blancs

60 - 12 = 48

le grisé

La bonne réponse : « $48$ ». « $36$ » oublie de diviser l'aire des triangles par deux. « $54$ » ne retire qu'un triangle. « $40$ » prend l'hypoténuse $5$ pour base : $\dfrac{5 \cdot 4}{2} = 10$ par triangle — mais l'hypoténuse n'est pas perpendiculaire au côté $4$ .

Geste 1 — L'aire grisée : le tout moins le blanc

Geste 2 — Soustraire ou additionner : choisir le découpage

Geste 3 — Le triangle inscrit dans un rectangle : la moitié

Geste 4 — Sur une grille : encadrer, puis retirer

Geste 5 — Le périmètre de figures accolées : le côté commun disparaît

Geste 6 — Retirer un carré, redresser un escalier

Geste 7 — Un pavage de pièces identiques : parler en a et b

Geste 8 — Plier, compter, parcourir : le raisonnement spatial

Exercices

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