On résout ensemble · Fractions · Psychométriques

Cinq questions, une par geste du chapitre : simplifier, additionner au dénominateur commun, diviser par une fraction, prendre une part du reste, simplifier une expression à lettres. Chacune est d'abord déroulée avec vous, une étape par clic, puis vous attend en bas de page sous une forme jumelle.

Avant chaque clic, dites ce que vous feriez. C'est l'écart entre votre réflexe et l'étape qui apparaît qui vous apprend quelque chose — pas la lecture.

Une question de fractions se joue souvent avant le calcul : sur ce que désigne chaque fraction, ou sur l'ordre de grandeur du résultat. Estimez la réponse à voix haute, puis vérifiez que la dernière ligne lui ressemble.

1 — Simplifier : plusieurs petits facteurs plutôt qu'un gros

Votre question jumelle : la première de la liste, en bas de page.

2 — Additionner : d'abord des parts de même taille

Votre question jumelle : la deuxième. Là encore, aucun des deux dénominateurs ne divise l'autre, et le produit des deux n'est pas le plus petit choix.

3 — Diviser par une fraction : le résultat grandit

Votre question jumelle : la troisième — et décidez avant de calculer si la réponse sera plus grande ou plus petite que la quantité de départ.

4 — La part du reste : le tout change en cours de route

Votre question jumelle : la quatrième. Soulignez dans l'énoncé les mots qui disent sur quoi porte la seconde fraction.

5 — Les lettres : factoriser, noter les interdits, barrer

Votre question jumelle : la cinquième, où le facteur commun et la valeur interdite changent de signe.

Exercices

Exercice 1

La fraction $\dfrac{120}{168}$ s'écrit sous forme irréductible $\dfrac{a}{b}$ . Combien vaut $a + b$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

{\frac{120}{168} = \frac{30}{42}}

$20$ et $68$ sont divisibles par $4$ , donc $120$ et $168$ aussi : on divise en haut et en bas par $4$ .

{\frac{30}{42} = \frac{15}{21}}

Les deux sont encore pairs : on divise par $2$ .

{\frac{15}{21} = \frac{5}{7}}

Il reste $3$ en facteur commun. $5$ et $7$ n'ont plus aucun diviseur commun.

$12$ , car $\frac{120}{168} = \frac{5}{7}$ et $5 + 7 = 12$ . Le PGCD de $120$ et $168$ vaut $24 = 4 \cdot 2 \cdot 3$ : trois petits facteurs y mènent aussi sûrement que lui.

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Exercice 2

Combien vaut $\dfrac{9}{10} + \dfrac{3}{8}$ ?

$\dfrac{51}{80}$
$\dfrac{2}{3}$
$\dfrac{27}{80}$
$\dfrac{51}{40}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\dfrac{51}{40}$

Corrigé :

{10 \to 40, \quad 8 \to 40}

$40$ est le plus petit nombre divisible par $10$ et par $8$ — plus petit que leur produit, $80$ .

{\frac{9}{10} = \frac{36}{40}, \quad \frac{3}{8} = \frac{15}{40}}

On multiplie en haut et en bas : par $4$ à gauche, par $5$ à droite.

{\frac{36}{40} + \frac{15}{40} = \frac{51}{40}}

Les parts ont la même taille : on additionne les numérateurs.

$\frac{51}{40}$ , soit $1\frac{11}{40}$ . $\frac{2}{3}$ vient de $\frac{9+3}{10+8} = \frac{12}{18}$ : il est plus petit que $\frac{9}{10}$ seul, donc impossible. $\frac{51}{80}$ additionne les bons numérateurs $36$ et $15$ , mais les pose sur $80$ au lieu du $40$ de la conversion : il vaut la moitié de la bonne réponse. $\frac{27}{80}$ est le produit des deux fractions, pas leur somme.

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Exercice 3

Une marmite contient $15$ litres de soupe. On la sert dans des bols de $\frac{3}{5}$ de litre chacun. Combien de bols remplit-on ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25

Corrigé :

{15 : \frac{3}{5} = 15 \cdot \frac{5}{3}}

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.

{15 \cdot \frac{5}{3} = \frac{75}{3} = 25}

Vingt-cinq bols.

$25$ bols. Chaque bol contient moins d'un litre, donc on en remplit plus que de litres : $25 > 15$ . Contrôle : $25 \cdot \frac{3}{5} = 15$ . Multiplier $15$ par $\frac{3}{5}$ aurait donné $9$ , un résultat plus petit que $15$ qui ne résiste pas à l'estimation.

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Exercice 4

Noa consacre les $\frac{3}{8}$ de son salaire mensuel au loyer. Elle dépense ensuite les $\frac{2}{5}$ de la somme qui lui reste après le loyer en courses. Quelle fraction de son salaire a-t-elle dépensée en tout pour le loyer et les courses ?

$\dfrac{5}{8}$
$\dfrac{3}{20}$
$\dfrac{3}{8}$
$\dfrac{31}{40}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\dfrac{5}{8}$

Corrigé :

{1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}}

Ce qui reste du salaire après le loyer.

{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}}

Les courses : deux cinquièmes de ce reste, soit un quart du salaire.

{\frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8}}

Les deux dépenses, rapportées toutes deux au salaire entier.

$\frac{5}{8}$ . $\frac{31}{40}$ additionne $\frac{3}{8} + \frac{2}{5}$ comme si les courses portaient sur le salaire entier. $\frac{3}{20}$ est le produit $\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{5}$ , qui ne correspond à aucune dépense. $\frac{3}{8}$ est ce qui reste à Noa ( $1 - \frac{5}{8}$ ), pas ce qu'elle a dépensé.

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Exercice 5

Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $\dfrac{x^2 - 64}{x^2 + 8x}$ existe-t-elle, et à quoi est-elle égale pour ces valeurs ?

$\dfrac{x - 8}{x}$ , pour tout $x$ sauf $0$
$\dfrac{x + 8}{x}$ , pour tout $x$ sauf $0$ et $-8$
$-\dfrac{8}{x}$ , pour tout $x$ sauf $0$
$\dfrac{x - 8}{x}$ , pour tout $x$ sauf $0$ et $-8$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\dfrac{x - 8}{x}$ , pour tout $x$ sauf $0$ et $-8$

Corrigé :

{\frac{x^2 - 64}{x^2 + 8x} = \frac{(x - 8)(x + 8)}{x(x + 8)}}

En haut, une différence de deux carrés ; en bas, $x$ en facteur commun.

{x \neq 0, \quad x \neq -8}

Le dénominateur factorisé s'annule en $x = 0$ et en $x = -8$ : on le note avant de barrer.

{\frac{(x - 8)(x + 8)}{x(x + 8)} = \frac{x - 8}{x}}

Le facteur $(x + 8)$ est commun aux deux étages : il part.

{x = 2 \;\Rightarrow\; \frac{4 - 64}{4 + 16} = \frac{-60}{20} = -3 = \frac{2 - 8}{2}}

Contrôle en une valeur permise.

$\frac{x - 8}{x}$ , pour tout $x$ sauf $0$ et $-8$ . $\frac{x - 8}{x}$ « pour tout $x$ sauf $0$ » oublie que $x = -8$ annule le dénominateur de départ : la valeur interdite disparaît avec le facteur barré, mais elle reste interdite. $\frac{x + 8}{x}$ barre le mauvais facteur. $-\frac{8}{x}$ vient de barrer les termes $x^2$ en haut et en bas, ce qui laisse $\frac{-64}{8x}$ : en $x = 2$ il vaut $-4$ et non $-3$ .

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Exercice 6

La fraction $\dfrac{150}{210}$ est irréductible.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\frac{150}{210} = \frac{15}{21}

les deux finissent par $0$ : on divise par $10$

\frac{15}{21} = \frac{5}{7}

$3$ divise encore les deux

Faux. $\frac{150}{210} = \frac{5}{7}$ : deux zéros finaux annoncent déjà un facteur $10$ .

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Exercice 7

La somme $\dfrac{7}{12} + \dfrac{5}{18}$ s'écrit sous forme irréductible $\dfrac{a}{b}$ . Combien vaut $a + b$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 67

Corrigé :

18,\ 36

les multiples de $18$ : $36$ est le premier que $12$ divise

\frac{21}{36} + \frac{10}{36} = \frac{31}{36}

$31$ est premier : c'est irréductible

$67$ . Le produit $12 \cdot 18 = 216$ marchait aussi, avec six fois plus de calcul.

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Exercice 8

Rangez ces calculs du plus petit résultat au plus grand.

$6 : \dfrac{1}{2}$
$6 : \dfrac{3}{2}$
$6 : \dfrac{3}{4}$
$6 \cdot \dfrac{5}{6}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $6 : \dfrac{3}{2}$ · $6 \cdot \dfrac{5}{6}$ · $6 : \dfrac{3}{4}$ · $6 : \dfrac{1}{2}$

Corrigé :

\begin{aligned}6 : \frac{3}{2} &= 6 \cdot \frac{2}{3} \\ &= 4 \qquad 6 \cdot \frac{5}{6} \\ &= 5\end{aligned}

diviser par plus que $1$ , multiplier par moins que $1$

\begin{aligned}6 : \frac{3}{4} &= 8 \qquad 6 : \frac{1}{2} \\ &= 12\end{aligned}

diviser par moins que $1$ : ça grandit

$4 < 5 < 8 < 12$ . Plus le diviseur est petit, plus le quotient est grand.

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Exercice 9

Une famille dépense $\frac{1}{5}$ de son budget en nourriture, puis le quart de ce qui reste en transport. Quelle fraction du budget a-t-elle dépensée en tout ?

$\dfrac{9}{20}$
$\dfrac{3}{5}$
$\dfrac{2}{5}$
$\dfrac{1}{20}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\dfrac{2}{5}$

Corrigé :

1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}

le reste après la nourriture

\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{5}

le transport, en fraction du tout

\frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}

deux fractions du même tout : elles s'additionnent

$\frac{2}{5}$ . $\frac{9}{20}$ prend le quart du budget entier. $\frac{3}{5}$ est ce qui reste, pas ce qui est dépensé. $\frac{1}{20}$ multiplie les deux fractions de l'énoncé.

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Exercice 10

Simplifiez $\dfrac{x^2 - 36}{x^2 - 6x}$ et complétez. Les valeurs interdites sont $x = 0$ et une autre.

(x² − 36)/(x² − 6x) = (x + ____)/x, et x = ____ reste interdit.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (x² − 36)/(x² − 6x) = (x + 6)/x, et x = 6 reste interdit.

Corrigé :

\frac{(x - 6)(x + 6)}{x(x - 6)}

une différence de carrés en haut, $x$ en facteur en bas

= \frac{x + 6}{x}, \quad x \neq 0,\ x \neq 6

le facteur $(x - 6)$ part ; $6$ reste interdit

La valeur interdite se lit sur le dénominateur de départ : $x^2 - 6x = 0$ pour $x = 0$ et pour $x = 6$ .

Vérifier la réponse sur elev

1 — Simplifier : plusieurs petits facteurs plutôt qu'un gros

2 — Additionner : d'abord des parts de même taille

3 — Diviser par une fraction : le résultat grandit

4 — La part du reste : le tout change en cours de route

5 — Les lettres : factoriser, noter les interdits, barrer

Exercices

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