Fractions avec des lettres · Fractions · Psychométriques

Les mêmes gestes, sur des lettres. Une règle les gouverne tous : on ne barre que des facteurs, jamais des termes d'une somme.

Dans $\frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7}$ , le $7$ multiplie tout le haut et tout le bas : il part. Dans $\frac{3 + 7}{5 + 7}$ , il ne multiplie rien, et $\frac{10}{12}$ n'est pas $\frac{3}{5}$ .

Seconde règle : un dénominateur ne vaut jamais $0$ . Ses valeurs interdites le restent après simplification.

Geste 1 — factoriser, puis simplifier

Avant de barrer, écrivez le haut et le bas comme des produits. Trois outils suffisent presque toujours :

x^2 + 4x = x(x + 4)

mettre en facteur ce qui est commun ;

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

la différence de deux carrés ;

a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2

le carré d'une somme ou d'une différence.

Notez les valeurs interdites sur le dénominateur de départ. Alors seulement, un facteur commun se barre.

Simplifiez $\frac{x^2 + 5x}{x^2 - 25}$ , avec $x \neq 5$ et $x \neq -5$ .

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{x}{x - 5}$ . En haut, $x$ est commun : $x^2 + 5x = x(x + 5)$ . En bas, une différence de carrés : $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$ . Le facteur $(x + 5)$ se barre. La valeur $x = -5$ reste interdite, bien que le facteur qui l'annulait ait disparu de l'écriture : l'expression de départ n'existe pas en $-5$ .

Trois façons de simplifier trop vite. La première reprend la fraction de la scène.

\begin{aligned}\frac{x^2-9}{x^2-3x} &= \frac{-9}{-3x} \\ &= \frac{3}{x}\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{x^2-9}{x^2-3x} &= \frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)} \\ &= \frac{x+3}{x}\end{aligned}

$x^2$ est un terme de la somme, pas un facteur : il ne se barre pas. En $x = 1$ , la fraction vaut $4$ , et $\frac{3}{x}$ vaut $3$ .

\frac{x+6}{x} = 6

\begin{aligned}\frac{x+6}{x} &= \frac{x}{x} + \frac{6}{x} \\ &= 1 + \frac{6}{x}\end{aligned}

Le $x$ du haut n'est qu'un terme. Une fraction dont le numérateur est une somme peut se couper en deux fractions de même dénominateur, ou se factoriser pour faire apparaître un facteur commun — mais un terme seul ne se barre jamais.

\frac{x^2-2x}{x-2} = x \text{ pour tout } x

\frac{x^2-2x}{x-2} = x \text{ pour } x \neq 2

La simplification est juste, la conclusion ne l'est pas : en $x = 2$ , l'expression de départ divise par $0$ . La valeur interdite se lit avant de barrer.

Geste 2 — les nombres inverses

Deux nombres sont inverses quand leur produit vaut $1$ . L'inverse de $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$ : on retourne la fraction.

{a \cdot \frac{1}{a} = 1 \qquad (a \neq 0)}

$0$ n'a pas d'inverse : $0$ fois n'importe quoi fait $0$ .

Un nombre et son inverse ont toujours le même signe, puisque leur produit est positif.

L'inverse d'une somme n'est pas la somme des inverses.

\frac{1}{a + b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}

\begin{aligned}\frac{1}{1 + 1} &= \frac{1}{2} \neq \frac{1}{1} + \frac{1}{1} \\ &= 2\end{aligned}

Avec $a = b = 1$ , la gauche vaut $\frac{1}{2}$ et la droite $2$ .

Quels nombres sont égaux à leur propre inverse ?

Voir la réponse et le corrigé

$1$ et $-1$ . On traduit : $x = \frac{1}{x}$ , avec $x \neq 0$ . On multiplie par $x$ : $x^2 = 1$ , donc $x = 1$ ou $x = -1$ . La négative est celle qu'on oublie ; tout autre nombre est plus grand ou plus petit que son inverse.

$a$ et $b$ sont deux nombres non nuls, avec $a + b \neq 0$ . Quel est l'inverse de $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{ab}{a + b}$ . On réduit d'abord au même dénominateur : $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab}$ . Puis on retourne la fraction. Répondre $a + b$ revient à inverser chaque terme séparément, et c'est faux : avec $a = b = 1$ , la somme vaut $2$ , son inverse $\frac{1}{2}$ , et $a + b$ vaut $2$ .

Geste 3 — encadrer $\frac{1}{x}$

Entre nombres de même signe, passer à l'inverse retourne l'inégalité, et garde le signe.

Le nombre $1$ sert de frontière : entre $0$ et $1$ , l'inverse dépasse $1$ ; au-delà de $1$ , il est plus petit.

{x > 1 \;\Rightarrow\; 0 < \frac{1}{x} < 1}

Plus grand que $1$ : l'inverse est positif, mais plus petit que $1$ . $\frac{1}{4}$ pour $4$ .

{0 < x < 1 \;\Rightarrow\; \frac{1}{x} > 1}

Entre $0$ et $1$ : l'inverse dépasse $1$ , et d'autant plus que $x$ est proche de $0$ . $4$ pour $\frac{1}{4}$ .

{-1 < x < 0 \;\Rightarrow\; \frac{1}{x} < -1}

Entre $-1$ et $0$ : l'inverse est négatif et plus loin de $0$ que $-1$ . $-4$ pour $-\frac{1}{4}$ .

{x < -1 \;\Rightarrow\; -1 < \frac{1}{x} < 0}

En dessous de $-1$ : l'inverse est négatif, mais plus proche de $0$ . $-\frac{1}{4}$ pour $-4$ .

Mais si l'intervalle contient $0$ , on ne passe pas à l'inverse d'un seul coup : on le coupe en une partie négative et une partie positive.

On sait que $-5 < x < -2$ . Encadrez $\frac{1}{x}$ .

Voir la réponse et le corrigé

$-\frac{1}{2} < \frac{1}{x} < -\frac{1}{5}$ . Les deux bornes sont négatives : on retourne, et le signe reste. Contrôle avec deux valeurs : $x = -4$ donne $-0{,}25$ , $x = -2{,}5$ donne $-0{,}4$ , toutes deux entre $-0{,}5$ et $-0{,}2$ .

Geste 4 — le signe d'un quotient

Un quotient suit la règle des signes du produit : mêmes signes, positif ; signes contraires, négatif.

Le signe du haut et celui du bas suffisent : aucune valeur à calculer.

{a > 0,\; b > 0 \;\Rightarrow\; \frac{a}{b} > 0}

Deux étages positifs : quotient positif.

{a < 0,\; b < 0 \;\Rightarrow\; \frac{a}{b} > 0}

Deux étages négatifs : les signes s'annulent, quotient positif.

{a > 0,\; b < 0 \;\Rightarrow\; \frac{a}{b} < 0}

Numérateur positif, dénominateur négatif : quotient négatif.

{a < 0,\; b > 0 \;\Rightarrow\; \frac{a}{b} < 0}

Numérateur négatif, dénominateur positif : quotient négatif.

Changer le signe d'un seul étage change le signe du quotient ; changer les deux ne change rien. Ainsi $\frac{a - b}{b - a} = -1$ dès que $a \neq b$ .

On sait que $a < 0 < b$ . Le quotient $\frac{b - a}{a^3}$ est-il positif ou négatif ?

Voir la réponse et le corrigé

Négatif. Le haut $b - a$ est positif : un positif moins un négatif. Le bas $a^3$ est négatif : trois facteurs négatifs. Signes contraires : quotient négatif. Contrôle : $a = -1$ , $b = 1$ donnent $\frac{2}{-1} = -2$ .

Geste 5 — un coefficient fractionnaire dans une équation

Une équation qui porte des fractions se résout plus sûrement sans fractions.

On multiplie les deux membres par le plus petit multiple commun des dénominateurs, chaque terme compris.

Un numérateur qui est une somme se met entre parenthèses : c'est le moins devant elle qui coûte le plus de points.

Résolvez $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$ .

Voir la réponse et le corrigé

$x = 12$ . On multiplie par $6$ : $3x + 2x = 60$ , donc $5x = 60$ . Contrôle : $6 + 4 = 10$ . Qui oublie de multiplier le membre de droite écrit $5x = 10$ et trouve $2$ .

Le mémo des cinq gestes, en une ligne chacun :

1

Simplifier : factoriser, noter les valeurs interdites sur le dénominateur de départ, barrer des facteurs seulement.

2

Inverse : on retourne ; $0$ n'en a pas, et seuls $1$ et $-1$ sont égaux au leur.

3

Encadrer $\frac{1}{x}$ : entre nombres de même signe, on retourne ; si l'intervalle contient $0$ , on le coupe en deux.

4

Signe d'un quotient : celui du produit des deux étages.

5

Équation : multiplier chaque terme par le dénominateur commun, parenthèses comprises.

Exercices

Exercice 1

On sait que $x \neq 4$ et $x \neq -4$ . À quoi est égale l'expression $\dfrac{x^2 - 4x}{x^2 - 16}$ ?

$\dfrac{x}{x - 4}$
$\dfrac{x - 4}{x + 4}$
$\dfrac{x}{4}$
$\dfrac{x}{x + 4}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\dfrac{x}{x + 4}$

Corrigé :

{x^2 - 4x = x(x - 4) \qquad x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)}

En haut, $x$ en facteur commun ; en bas, une différence de deux carrés.

{\frac{x(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{x}{x + 4}}

Le facteur $(x - 4)$ figure en haut et en bas : il se barre.

{x = 1 \;\Rightarrow\; \frac{1 - 4}{1 - 16} = \frac{-3}{-15} = \frac{1}{5} = \frac{1}{1 + 4}}

Contrôle en une valeur permise.

$\frac{x}{x + 4}$ . $\frac{x}{4}$ vient de barrer les termes $x^2$ en haut et en bas : il reste $\frac{-4x}{-16}$ , et en $x = 1$ cela donne $\frac{1}{4}$ au lieu de $\frac{1}{5}$ . $\frac{x}{x - 4}$ vient d'une erreur de signe dans la factorisation du numérateur, écrit $x(x + 4)$ , qui fait barrer $(x + 4)$ à la place de $(x - 4)$ . $\frac{x - 4}{x + 4}$ perd le facteur $x$ du numérateur, alors qu'il n'a aucun partenaire en bas et doit rester.

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Exercice 2

On sait que $a \neq b$ . À quoi est égale l'expression $\dfrac{a^2 - b^2}{b - a}$ ?

$a - b$
$-a - b$
$a + b$
$b - a$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $-a - b$

Corrigé :

{a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \qquad b - a = -(a - b)}

Le numérateur se factorise ; le dénominateur est l'opposé du facteur $(a - b)$ .

{\frac{(a - b)(a + b)}{-(a - b)} = -(a + b) = -a - b}

Le facteur $(a - b)$ se barre, et le signe moins du dénominateur reste.

{a = 3,\; b = 1 \;\Rightarrow\; \frac{9 - 1}{1 - 3} = \frac{8}{-2} = -4 = -3 - 1}

Contrôle en une paire permise.

$-a - b$ . $a + b$ est la simplification qui oublie que $b - a$ et $a - b$ sont opposés : en $a = 3$ , $b = 1$ , elle donne $4$ au lieu de $-4$ . $a - b$ et $b - a$ barrent le facteur $(a + b)$ , qui ne figure pas au dénominateur.

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Exercice 3

Un nombre $x$ plus grand que $1$ vérifie $x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{10}{3}$ . Combien vaut $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

{3x^2 + 3 = 10x \;\Rightarrow\; 3x^2 - 10x + 3 = 0}

On multiplie les deux membres par $3x$ , qui n'est pas nul.

{(3x - 1)(x - 3) = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \quad \text{ou} \quad x = \frac{1}{3}}

Deux solutions, et elles sont inverses l'une de l'autre : échanger un nombre et son inverse ne change pas leur somme.

{x > 1 \;\Rightarrow\; x = 3}

L'énoncé écarte $\frac{1}{3}$ , qui est plus petit que $1$ . Contrôle : $3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ .

$3$ . Le raccourci d'examen : $\frac{10}{3} = 3 + \frac{1}{3}$ se lit directement comme un nombre plus son inverse. Sans la condition $x > 1$ , la réponse ne serait pas unique.

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Exercice 4

On sait que $-2 < x < 4$ et $x \neq 0$ . Laquelle de ces affirmations est nécessairement vraie ?

$\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{4}$
$\dfrac{1}{x} < -\dfrac{1}{2}$ ou $\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{4}$
$\dfrac{1}{x} > -\dfrac{1}{2}$
$-\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{4}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\dfrac{1}{x} < -\dfrac{1}{2}$ ou $\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{4}$

Corrigé :

{0 < x < 4 \;\Rightarrow\; \frac{1}{x} > \frac{1}{4}}

L'intervalle contient $0$ : on le coupe. Sur la partie positive, on retourne.

{-2 < x < 0 \;\Rightarrow\; \frac{1}{x} < -\frac{1}{2}}

Sur la partie négative, on retourne aussi.

{x = 1 \;\Rightarrow\; \frac{1}{x} = 1 \qquad x = -1 \;\Rightarrow\; \frac{1}{x} = -1}

Une valeur de chaque côté de $0$ suffit à écarter les trois autres affirmations.

$\frac{1}{x} < -\frac{1}{2}$ ou $\frac{1}{x} > \frac{1}{4}$ . $-\frac{1}{2} < \frac{1}{x} < \frac{1}{4}$ passe à l'inverse d'un seul coup à travers $0$ : elle décrit exactement les valeurs que $\frac{1}{x}$ ne prend jamais, et $x = 1$ la contredit. $\frac{1}{x} > \frac{1}{4}$ oublie la partie négative : $x = -1$ la contredit. $\frac{1}{x} > -\frac{1}{2}$ ne retourne pas l'inégalité du côté négatif : $x = -1$ donne $-1$ , plus petit que $-\frac{1}{2}$ .

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Exercice 5

On sait que $a < 0 < b$ . Laquelle de ces expressions est nécessairement positive ?

$\dfrac{b - a}{ab}$
$\dfrac{a + b}{b}$
$\dfrac{a - b}{a}$
$\dfrac{a}{b - a}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\dfrac{a - b}{a}$

Corrigé :

{a - b < 0 \qquad b - a > 0 \qquad ab < 0}

Le signe de chaque morceau : un négatif moins un positif est négatif, son opposé est positif, et un négatif fois un positif est négatif.

{\frac{a - b}{a} = \frac{-}{-} > 0 \qquad \frac{a}{b - a} = \frac{-}{+} < 0 \qquad \frac{b - a}{ab} = \frac{+}{-} < 0}

Trois quotients dont les deux étages ont un signe connu.

{a = -3,\; b = 1 \;\Rightarrow\; \frac{a + b}{b} = -2 \qquad a = -1,\; b = 3 \;\Rightarrow\; \frac{a + b}{b} = \frac{2}{3}}

Le signe de $a + b$ dépend des tailles de $a$ et de $b$ , et l'énoncé ne les donne pas.

$\frac{a - b}{a}$ , dont les deux étages sont négatifs. $\frac{a + b}{b}$ peut être positive, mais pas nécessairement : $a = -3$ et $b = 1$ la rendent négative. $\frac{a}{b - a}$ et $\frac{b - a}{ab}$ sont toujours négatives, chacune avec un seul étage négatif.

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Exercice 6

Résolvez l'équation $\dfrac{x + 2}{3} - \dfrac{x - 4}{5} = 4$ . Combien vaut $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 19

Corrigé :

{5(x + 2) - 3(x - 4) = 60}

On multiplie chaque terme par $15$ , le plus petit multiple commun de $3$ et $5$ , le $4$ de droite compris.

{5x + 10 - 3x + 12 = 60}

Le moins devant $3(x - 4)$ change le signe des deux termes : $-3 \cdot (-4) = +12$ .

{2x + 22 = 60 \;\Rightarrow\; 2x = 38 \;\Rightarrow\; x = 19}

On isole $x$ .

{\frac{21}{3} - \frac{15}{5} = 7 - 3 = 4}

Contrôle dans l'équation de départ.

$19$ . Écrire $-3x - 12$ au lieu de $-3x + 12$ donne $2x - 2 = 60$ et $x = 31$ ; oublier de multiplier le $4$ donne $2x + 22 = 4$ et une solution négative. Dans les deux cas, le contrôle dans l'équation de départ le montre en quelques secondes.

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Exercice 7

Pour tout $x \neq 0$ , l'égalité $\dfrac{x + 5}{x} = 5$ est vraie.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}x &= 1 : \frac{1 + 5}{1} \\ &= 6 \neq 5\end{aligned}

un contre-exemple suffit

\frac{x + 5}{x} = 1 + \frac{5}{x}

la seule écriture juste

Faux. Le $x$ du haut est un terme de la somme : il ne se barre pas avec celui du bas.

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Exercice 8

On sait que $x \neq 3$ et $x \neq -3$ . À quoi est égale l'expression $\dfrac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9}$ ?

$1$
$\dfrac{x - 3}{x + 3}$
$\dfrac{x + 3}{x - 3}$
$\dfrac{2x}{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\dfrac{x - 3}{x + 3}$

Corrigé :

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2

le carré d'une différence

x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

la différence de deux carrés

\frac{(x - 3)^2}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x - 3}{x + 3}

un facteur $(x - 3)$ part

$\frac{x - 3}{x + 3}$ . Contrôle en $x = 1$ : l'expression vaut $\frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$ , et $\frac{1 - 3}{1 + 3} = -\frac{1}{2}$ . $\frac{2x}{3}$ barre des termes ( $x^2$ et le $-6x$ sur $-9$ ).

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Exercice 9

Associez chaque nombre à son inverse.

l'inverse de $\frac{3}{7}$
l'inverse de $-4$
l'inverse de $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$
l'inverse de $0{,}2$

$-\frac{1}{4}$
$\frac{7}{3}$
$\frac{ab}{a + b}$
$5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : l'inverse de $\frac{3}{7}$ — $\frac{7}{3}$ · l'inverse de $-4$ — $-\frac{1}{4}$ · l'inverse de $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ — $\frac{ab}{a + b}$ · l'inverse de $0{,}2$ — $5$

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} &= 1 \qquad (-4) \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) \\ &= 1\end{aligned}

le produit vaut $1$ , le signe reste

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}

une seule fraction d'abord, puis on la retourne

0{,}2 = \frac{1}{5}

on écrit le décimal en fraction

Un nombre et son inverse ont toujours le même signe. L'inverse d'une somme n'est pas la somme des inverses.

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Exercice 10

On sait que $a < 0 < b$ . Chaque quotient est-il positif ou négatif ?

Positif
Négatif

$\dfrac{-a}{b}$
$\dfrac{a - b}{ab}$
$\dfrac{a}{b^2}$
$\dfrac{a^2}{b}$
$\dfrac{b - a}{a}$
$\dfrac{b}{a}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $\dfrac{a - b}{ab}$ — Positif · $\dfrac{b}{a}$ — Négatif · $\dfrac{a^2}{b}$ — Positif · $\dfrac{b - a}{a}$ — Négatif · $\dfrac{-a}{b}$ — Positif · $\dfrac{a}{b^2}$ — Négatif

Corrigé :

a - b < 0,\ ab < 0 \;\Rightarrow\; \frac{a - b}{ab} > 0

deux étages négatifs

a^2 > 0,\ -a > 0,\ b - a > 0,\ b^2 > 0

les étages positifs

\frac{b}{a},\ \frac{b - a}{a},\ \frac{a}{b^2} < 0

un seul étage négatif

Le signe de chaque étage suffit : mêmes signes, positif ; signes contraires, négatif.

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Exercice 11

Résolvez l'équation $\dfrac{x}{3} - \dfrac{x}{4} = 2$ . Combien vaut $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24

Corrigé :

12 \cdot \frac{x}{3} - 12 \cdot \frac{x}{4} = 12 \cdot 2

on multiplie chaque terme par $12$

\begin{aligned}4x - 3x &= 24 \;\Rightarrow\; x \\ &= 24\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{24}{3} - \frac{24}{4} &= 8 - 6 \\ &= 2\end{aligned}

contrôle

$24$ . Qui oublie de multiplier le membre de droite écrit $x = 2$ : le contrôle donne alors $\frac{2}{3} - \frac{2}{4} = \frac{1}{6}$ , pas $2$ .

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Exercice 12

On sait que $2 < x < 5$ . Complétez l'encadrement de $\dfrac{1}{x}$ .

1/____ < 1/x < 1/____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1/5 < 1/x < 1/2

Corrigé :

2 < x < 5 \;\Rightarrow\; \frac{1}{5} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}

nombres positifs : on retourne, les bornes changent de côté

Le plus grand $x$ donne le plus petit inverse : la borne de gauche vient de $5$ .

Vérifier la réponse sur elev

Geste 1 — factoriser, puis simplifier

Geste 2 — les nombres inverses

Geste 3 — encadrer 1x\frac{1}{x}x1​

Geste 4 — le signe d'un quotient

Geste 5 — un coefficient fractionnaire dans une équation

Exercices

La suite se pratique sur elev

Geste 3 — encadrer $\frac{1}{x}$