La part d'un tout · Fractions · Psychométriques

Une fraction seule ne dit rien : « deux cinquièmes » n'a de valeur qu'une fois qu'on sait de quoi.

Les énoncés jouent sur ce point : une première fraction porte sur le tout, la suivante sur ce qui reste.

Avant tout calcul, posez une question à chaque fraction : de quoi est-elle la fraction ? Les cinq gestes de cette unité commencent tous par elle.

Geste 1 — une fraction d'une quantité

Prendre $\frac{a}{b}$ d'une quantité, c'est la multiplier par $\frac{a}{b}$ .

De tête : diviser par le dénominateur (la taille d'une part), puis multiplier par le numérateur.

Une quantité de personnes ou d'objets doit tomber juste : un résultat non entier signale une erreur de lecture.

Un lycée compte $132$ élèves en terminale, et les $\frac{5}{6}$ d'entre eux se présentent aux psychométriques cette année. Combien d'élèves se présentent ?

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$110$ . Un sixième des élèves, c'est $132 : 6 = 22$ élèves ; cinq sixièmes, c'est $5 \cdot 22 = 110$ . Contrôle : il en reste $22$ , soit exactement le sixième qui ne se présente pas.

Geste 2 — une fraction d'une fraction

Une fraction d'une part déjà découpée : les deux fractions se multiplient.

Le produit donne la fraction du tout : chaque part du premier découpage est recoupée en morceaux plus petits.

{\frac{a}{b} \text{ de } \frac{c}{d} \text{ du tout} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \text{ du tout}}

Le seul travail neuf est la lecture : la seconde fraction porte sur un groupe, pas sur l'ensemble.

Exemple de lecture : « les $\frac{2}{3}$ des $\frac{3}{5}$ » — la première fraction porte sur un groupe qui représente lui-même $\frac{3}{5}$ du tout. Le groupe final représente $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ du tout.

Dans une ville, $\frac{2}{7}$ des habitants possèdent un vélo, et les $\frac{3}{4}$ de ces propriétaires s'en servent pour aller au travail. Quelle fraction de tous les habitants va au travail à vélo ?

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$\frac{3}{14}$ . La seconde fraction porte sur les propriétaires de vélo, pas sur la ville : $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}$ . Qui répond $\frac{3}{4}$ a lu la seconde fraction comme une fraction de toute la ville.

Geste 3 — la part du reste

C'est le geste que l'examen teste le plus, et celui qu'on manque le plus.

Dès qu'une fraction porte sur le reste, calculez d'abord ce reste : $1 - \frac{a}{b}$ du tout.

La seconde fraction se multiplie par ce reste, jamais par $1$ . On obtient la seconde prise en fraction du tout — et alors seulement on l'additionne à la première.

Pour ce qui reste à la fin, un raccourci : on multiplie les restes successifs.

Un réservoir est plein. On en utilise $\frac{1}{4}$ , puis les $\frac{2}{3}$ de ce qui reste. Quelle fraction du réservoir reste-t-il ?

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$\frac{1}{4}$ . Après la première prise, il reste $\frac{3}{4}$ . La seconde en laisse le tiers : $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$ . Qui retire $\frac{2}{3}$ du réservoir entier trouve $1 - \frac{1}{4} - \frac{2}{3} = \frac{1}{12}$ .

La scène précédente, calculée de deux façons. Une seule des deux lit correctement « un tiers du reste ».

\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}

\begin{aligned}\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4} &= \frac{1}{4}+\frac{1}{4} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

Additionner les deux fractions telles quelles traite le tiers comme un tiers du tout. Or ce tiers porte sur les $\frac{3}{4}$ restants : il vaut $\frac{1}{4}$ du tout, et les deux prises font la moitié. Le distracteur $\frac{7}{12}$ figure presque toujours parmi les propositions.

1-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}=\frac{5}{12}

\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{2}

La même erreur, du côté de ce qui reste. Le raccourci juste multiplie les restes : après la première prise il reste $\frac{3}{4}$ , et la seconde en laisse les $\frac{2}{3}$ .

Geste 4 — remonter de la part au tout

Souvent l'énoncé donne la quantité d'une part, et demande le tout.

Si $\frac{a}{b}$ du tout fait $N$ , le tout vaut $N : \frac{a}{b}$ . Diviser, et non multiplier : le tout est plus grand que sa part.

De tête : diviser par le numérateur (une part élémentaire), puis multiplier par le dénominateur.

Multiplier au lieu de diviser se voit tout de suite.

12 \cdot \frac{2}{9} = \frac{8}{3}

\begin{aligned}12 : \frac{2}{9} &= 12 \cdot \frac{9}{2} \\ &= 54\end{aligned}

Multiplier donne un tout plus petit que sa propre part, et un nombre de passagers qui n'est pas entier.

Si la part connue est un reste, calculez d'abord quelle fraction du tout ce reste représente.

Un camion-citerne livre les $\frac{3}{8}$ de sa cargaison de gazole à une première station. Il lui reste alors $1\,500$ litres. Quelle est la capacité de la citerne ?

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$2\,400$ litres. Les $1\,500$ litres sont le reste, soit $1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ de la citerne. Donc un huitième vaut $1\,500 : 5 = 300$ litres, et la citerne en contient $8 \cdot 300 = 2\,400$ . Qui divise $1\,500$ par $\frac{3}{8}$ attribue le reste à la part livrée et trouve $4\,000$ .

Geste 5 — additionner des parts pour trouver ce qui manque

Un autre énoncé fréquent : plusieurs parts rapportées au même tout, puis la quantité de ce qui n'entre dans aucune.

On additionne les fractions connues, on retire la somme de $1$ , puis on remonte au tout par le geste 4.

Vérifiez d'abord que chaque fraction porte bien sur le tout : si l'une porte sur un reste, c'est le geste 3 qui s'applique.

Une association consacre les $\frac{3}{10}$ de son budget aux ateliers et le quart de son budget aux transports. Les $2\,700$ shekels restants vont au matériel. Quel est le budget total ?

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$6\,000$ shekels. Les deux fractions portent sur le budget entier : $\frac{3}{10} + \frac{1}{4} = \frac{6}{20} + \frac{5}{20} = \frac{11}{20}$ . Le matériel représente $\frac{9}{20}$ du budget. Donc un vingtième vaut $2\,700 : 9 = 300$ shekels, et le budget vaut $20 \cdot 300 = 6\,000$ .

Le mémo, en une ligne par geste :

1

Une part : diviser par le dénominateur, multiplier par le numérateur.

2

Une fraction d'un groupe : multiplier par la fraction de ce groupe.

3

« Du reste », « des autres » : le tout a changé — calculer le reste d'abord.

4

De la part au tout : diviser par sa fraction.

5

Seules des fractions du même tout s'additionnent. Un résultat non entier signale une fraction prise du mauvais tout.

Exercices

Exercice 1

Une course à pied réunit $360$ participants. Les $\frac{5}{12}$ des participants sont des femmes, et les $\frac{3}{5}$ de ces femmes courent le $10$ km. Combien de femmes courent le $10$ km ?

$60$
$216$
$90$
$150$

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Réponse : C $90$

Corrigé :

{360 \cdot \frac{5}{12} = 30 \cdot 5 = 150}

Le nombre de femmes : un douzième de $360$ vaut $30$ .

{150 \cdot \frac{3}{5} = 30 \cdot 3 = 90}

Les trois cinquièmes portent sur les femmes, pas sur tous les participants.

{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{12} = \frac{1}{4} \;\Rightarrow\; 360 : 4 = 90}

Contrôle par le geste 2 : ces femmes forment un quart de tous les participants.

$90$ . $216$ prend les trois cinquièmes de tous les participants, hommes compris. $150$ est le nombre de femmes : le calcul s'arrête une étape trop tôt. $60$ compte les femmes qui ne courent pas le $10$ km, soit les deux cinquièmes restants.

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Exercice 2

Daniel reçoit une prime de $4\,800$ shekels. Il en place les $\frac{5}{12}$ sur un compte d'épargne. Il dépense ensuite les $\frac{3}{7}$ de la somme qui lui reste après ce placement pour un séjour à Eilat. Combien de shekels de la prime lui reste-t-il, en dehors de son épargne ?

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Réponse : 1600

Corrigé :

{4\,800 \cdot \frac{5}{12} = 400 \cdot 5 = 2\,000}

Le placement.

{4\,800 - 2\,000 = 2\,800}

Le reste après le placement : c'est sur lui que portent les trois septièmes.

{2\,800 \cdot \frac{3}{7} = 400 \cdot 3 = 1\,200 \;\Rightarrow\; 2\,800 - 1\,200 = 1\,600}

Le séjour coûte $1\,200$ shekels, et il en reste $1\,600$ .

{4\,800 \cdot \frac{7}{12} \cdot \frac{4}{7} = 4\,800 \cdot \frac{1}{3} = 1\,600}

Contrôle par les restes successifs : il reste les quatre septièmes des sept douzièmes, soit un tiers de la prime.

$1\,600$ shekels. Appliquer les trois septièmes à la prime entière donne $4\,800 \cdot \frac{3}{7}$ , qui ne tombe pas juste : c'est le signe qu'on a pris la fraction du mauvais tout.

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Exercice 3

Une citerne est pleine. Le premier jour, on utilise $\frac{1}{6}$ de son contenu. Le deuxième jour, on utilise les $\frac{3}{5}$ de l'eau qui restait à la fin du premier jour. Quelle fraction du contenu initial reste-t-il dans la citerne ?

$\dfrac{2}{3}$
$\dfrac{1}{3}$
$\dfrac{7}{30}$
$\dfrac{2}{5}$

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Réponse : B $\dfrac{1}{3}$

Corrigé :

{1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}}

Ce qui reste après le premier jour.

{1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}}

Le deuxième jour laisse les deux cinquièmes de ce reste.

{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}}

On multiplie les restes successifs.

$\frac{1}{3}$ . $\frac{7}{30}$ retire les deux fractions du contenu initial, $1 - \frac{1}{6} - \frac{3}{5}$ , comme si les trois cinquièmes portaient sur la citerne pleine. $\frac{2}{3}$ est la quantité utilisée en deux jours ( $\frac{1}{6} + \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{6} + \frac{1}{2}$ ), pas ce qui reste. $\frac{2}{5}$ est le reste du deuxième jour rapporté à l'eau du matin, pas au contenu initial.

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Exercice 4

Yaël lit un roman. Le premier soir, elle en lit les $\frac{2}{9}$ des pages. Le deuxième soir, elle lit les $\frac{3}{7}$ des pages qu'il lui restait à lire. Il lui reste alors $120$ pages. Combien de pages compte le roman ?

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Réponse : 270

Corrigé :

{1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}}

Ce qui reste après le premier soir, en fraction du roman.

{\frac{4}{7} \cdot \frac{7}{9} = \frac{4}{9}}

Le deuxième soir laisse les quatre septièmes de ce reste : les $120$ pages représentent donc les $\frac{4}{9}$ du roman.

{120 : \frac{4}{9} = 120 \cdot \frac{9}{4} = 270}

Quatre neuvièmes font $120$ pages, donc un neuvième en fait $30$ .

{270 - 60 = 210 \;\Rightarrow\; 210 - 90 = 120}

Contrôle : $60$ pages le premier soir, puis les trois septièmes de $210$ , soit $90$ pages, et il en reste bien $120$ .

$270$ pages. Multiplier $120$ par $\frac{4}{9}$ au lieu de diviser donne un roman plus court que les pages qui restent, et un nombre non entier. Retirer les deux fractions du roman entier, $1 - \frac{2}{9} - \frac{3}{7}$ , donne $\frac{22}{63}$ et un nombre de pages qui ne tombe pas juste non plus.

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Exercice 5

Dans un oulpan, $\frac{2}{7}$ de l'ensemble des élèves viennent de France, et $\frac{1}{3}$ de l'ensemble des élèves viennent d'Amérique du Nord. Les $24$ autres élèves viennent d'autres pays. Combien d'élèves compte l'oulpan ?

$36$
$63$
$34\tfrac{2}{7}$
$50{,}4$

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Réponse : B $63$

Corrigé :

{\frac{2}{7} + \frac{1}{3} = \frac{6}{21} + \frac{7}{21} = \frac{13}{21}}

Les deux fractions portent sur tous les élèves de l'oulpan : elles s'additionnent.

{1 - \frac{13}{21} = \frac{8}{21}}

Les élèves d'autres pays représentent huit vingt-et-unièmes de l'oulpan.

{24 : \frac{8}{21} = 24 \cdot \frac{21}{8} = 3 \cdot 21 = 63}

Huit vingt-et-unièmes font $24$ élèves, donc un vingt-et-unième en fait $3$ .

{18 + 21 + 24 = 63}

Contrôle : $18$ de France, $21$ d'Amérique du Nord, $24$ d'ailleurs.

$63$ . $36$ oublie le groupe de France : $24$ serait alors les deux tiers de l'oulpan. $50{,}4$ applique le tiers au reste après la France, alors que l'énoncé le rapporte à l'ensemble des élèves : il resterait $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{10}{21}$ de l'oulpan, et $24 : \frac{10}{21} = 50{,}4$ . Ce résultat est de toute façon impossible : un nombre d'élèves est entier. $34\tfrac{2}{7}$ additionne les étages entre eux, $\frac{2}{7} + \frac{1}{3} = \frac{3}{10}$ , et ne tombe pas juste non plus.

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Exercice 6

Au marché Mahané Yehouda, un marchand vend le matin les $\frac{3}{10}$ de son stock de fraises. L'après-midi, il vend les $\frac{4}{7}$ des fraises qui lui restaient après le matin. Le soir, il vend les $\frac{5}{6}$ des fraises qui lui restaient après l'après-midi. Il lui reste alors $9$ kg de fraises. Combien de kilogrammes de fraises avait-il au départ ?

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Réponse : 180

Corrigé :

{\frac{7}{10} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{6}}

Chaque vente porte sur le reste de la précédente : on multiplie les trois restes successifs.

{= \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{20}}

Les $7$ se barrent, puis $3$ et $6$ laissent $1$ et $2$ . Les $9$ kg représentent un vingtième du stock.

{9 : \frac{1}{20} = 9 \cdot 20 = 180}

On remonte de la part au tout.

{180 \to 126 \to 54 \to 9}

Contrôle : $54$ kg vendus le matin, $72$ l'après-midi, $45$ le soir.

$180$ kg. Retirer les trois fractions du stock initial n'a pas de sens ici : $\frac{3}{10} + \frac{4}{7} + \frac{5}{6}$ dépasse déjà $1$ , le marchand aurait vendu plus qu'il n'avait. Multiplier les restes est le chemin le plus court, et il n'écrit aucun grand nombre.

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Exercice 7

Un village compte $2\,700$ habitants, et les $\frac{4}{9}$ d'entre eux ont plus de quarante ans. Combien d'habitants ont plus de quarante ans ?

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Réponse : 1200

Corrigé :

2\,700 : 9 = 300

un neuvième des habitants

4 \cdot 300 = 1\,200

quatre neuvièmes

$1\,200$ . Diviser d'abord garde les nombres petits : $2\,700 \cdot 4 = 10\,800$ , puis $: 9$ , arrive au même endroit plus lentement.

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Exercice 8

Les $\frac{2}{3}$ des $\frac{3}{4}$ d'une somme valent la moitié de cette somme.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} &= \frac{6}{12} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

une fraction d'une fraction : on multiplie

Vrai. Les $3$ se barrent en croix : il reste $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ du tout.

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Exercice 9

Un jardinier plante des tomates sur $\frac{1}{4}$ de son terrain, puis des courgettes sur les $\frac{2}{3}$ du reste. Quelle fraction du terrain reste libre ?

$\dfrac{1}{12}$
$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{4}$
$\dfrac{1}{6}$

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Réponse : C $\dfrac{1}{4}$

Corrigé :

1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

le reste après les tomates

\begin{aligned}\frac{3}{4} \cdot \left(1 - \frac{2}{3}\right) &= \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

les courgettes en laissent le tiers

$\frac{1}{4}$ . $\frac{1}{12}$ retire $\frac{2}{3}$ du terrain entier. $\frac{1}{2}$ est la part des courgettes, pas ce qui reste. $\frac{1}{6}$ multiplie les deux fractions de l'énoncé.

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Exercice 10

Dans un lycée, $18$ élèves font du théâtre, soit les $\frac{3}{40}$ des élèves. Combien d'élèves compte le lycée ?

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Réponse : 240

Corrigé :

18 : 3 = 6

un quarantième des élèves

40 \cdot 6 = 240

les quarante quarantièmes

$240$ . Le tout est plus grand que sa part : on divise par $\frac{3}{40}$ . Multiplier donnerait $\frac{27}{20}$ élève, absurde.

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Exercice 11

Dans un sondage, $\frac{1}{4}$ des personnes répondent « oui », $\frac{2}{5}$ répondent « non », et les $70$ autres ne savent pas. Complétez.

Le sondage compte ____ personnes, dont ____ « oui ».

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Réponse : Le sondage compte 200 personnes, dont 50 « oui ».

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{1}{4} + \frac{2}{5} &= \frac{5}{20} + \frac{8}{20} \\ &= \frac{13}{20}\end{aligned}

deux fractions du même tout : elles s'additionnent

\begin{aligned}1 - \frac{13}{20} &= \frac{7}{20} \;\Rightarrow\; 70 : 7 \\ &= 10 \text{ par vingtième}\end{aligned}

les « ne sait pas » font sept vingtièmes

\begin{aligned}20 \cdot 10 &= 200 \qquad \frac{1}{4} \cdot 200 \\ &= 50\end{aligned}

le tout, puis les « oui »

$200$ personnes, dont $50$ « oui ». Contrôle : $50 + 80 + 70 = 200$ .

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Exercice 12

Sur quoi porte la fraction : sur le tout, ou sur un reste ?

Sur le tout
Sur un reste

il dépense le tiers de ce qui lui reste
la moitié de la somme de départ
les $\frac{2}{5}$ des autres élèves
les $\frac{3}{4}$ de ceux qui restent
un cinquième de l'ensemble des employés
un quart du budget total va au transport

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : il dépense le tiers de ce qui lui reste — Sur un reste · les $\frac{2}{5}$ des autres élèves — Sur un reste · un quart du budget total va au transport — Sur le tout · la moitié de la somme de départ — Sur le tout · les $\frac{3}{4}$ de ceux qui restent — Sur un reste · un cinquième de l'ensemble des employés — Sur le tout

Corrigé :

\text{reste, autres, ceux qui restent}

le tout a changé

\text{total, de départ, ensemble}

le tout de départ

Les mots « reste », « autres », « ceux qui restent » changent le tout. « Total », « de départ », « ensemble » le gardent.

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Geste 1 — une fraction d'une quantité

Geste 2 — une fraction d'une fraction

Geste 3 — la part du reste

Geste 4 — remonter de la part au tout

Geste 5 — additionner des parts pour trouver ce qui manque

Exercices

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