Les quatre opérations · Fractions · Psychométriques

Des quatre opérations, l'addition est la seule qui demande un travail avant de calculer — la soustraction avec elle.

On n'additionne que des parts de même taille. Deux dénominateurs différents décrivent deux tailles différentes, et c'est là que l'examen place ses pièges.

Cinq gestes : le dénominateur commun, la multiplication, la division, les nombres mixtes et la fraction étagée.

Geste 1 — le dénominateur commun

Pour additionner, on réécrit chaque fraction avec le même dénominateur, puis on additionne les numérateurs seuls.

Le produit des deux dénominateurs marche toujours, mais donne de gros nombres. Plus rapide : le plus petit multiple commun.

La méthode : parcourez les multiples du plus grand dénominateur, jusqu'au premier que l'autre divise.

Calculez $\frac{7}{10} + \frac{4}{15}$ .

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{29}{30}$ . Les multiples de $15$ : $15$ , $30$ … et $10$ divise $30$ . Donc $\frac{7}{10} = \frac{21}{30}$ et $\frac{4}{15} = \frac{8}{30}$ . Le produit $150$ aurait marché aussi, avec cinq fois plus de calcul.

L'erreur la plus fréquente de toutes, et elle se repère sans calculer.

\frac{3}{4}+\frac{5}{6}=\frac{8}{10}

\begin{aligned}\frac{3}{4}+\frac{5}{6} &= \frac{9}{12}+\frac{10}{12} \\ &= \frac{19}{12}\end{aligned}

Additionner les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ne donne pas la somme. Le contrôle est immédiat : $\frac{8}{10}$ est plus petit que $\frac{5}{6}$ , alors qu'on lui a ajouté trois quarts.

Geste 2 — multiplier

Multiplier ne demande aucune préparation : haut fois haut, bas fois bas.

{\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}}

Le réflexe : simplifier avant de multiplier. Un facteur d'un numérateur se barre avec un facteur de n'importe quel dénominateur.

Le mot « de » dans un énoncé se traduit par cette multiplication : les deux cinquièmes de $\frac{3}{7}$ valent $\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{6}{35}$ .

Calculez $\frac{9}{16} \cdot \frac{8}{27}$ .

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{1}{6}$ . En croix : $9$ en haut et $27$ en bas se simplifient par $9$ , ce qui laisse $1$ et $3$ . Puis $8$ en haut et $16$ en bas se simplifient par $8$ , ce qui laisse $1$ et $2$ . Il reste $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ , sans jamais avoir écrit $432$ .

Geste 3 — diviser, c'est multiplier par l'inverse

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse : on garde la première, on retourne seulement la seconde.

{\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}}

Le sens aide : $a : b$ demande « combien de fois $b$ tient-il dans $a$ ? ». Un tiers tient trois fois dans une unité : diviser par $\frac{1}{3}$ , c'est multiplier par $3$ .

Calculez $\frac{4}{5} : \frac{8}{15}$ .

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{3}{2}$ . On retourne la seconde : $\frac{4}{5} \cdot \frac{15}{8}$ . En croix, $4$ et $8$ laissent $1$ et $2$ ; $15$ et $5$ laissent $3$ et $1$ . Il reste $\frac{3}{2}$ . C'est cohérent : $\frac{4}{5}$ est plus grand que $\frac{8}{15}$ , donc le second tient plus d'une fois dans le premier.

Deux erreurs sur la division, et l'examen propose presque toujours leurs résultats.

20 : \frac{1}{4} = 5

\begin{aligned}20 : \frac{1}{4} &= 20 \cdot 4 \\ &= 80\end{aligned}

Diviser un nombre positif par une fraction comprise entre $0$ et $1$ l'agrandit. Un quart de litre tient quatre fois dans chaque litre, donc quatre-vingts fois dans vingt litres. Le réflexe « diviser rend plus petit » ne vaut, pour un nombre positif, que si le diviseur est plus grand que $1$ .

\frac{2}{5} : \frac{4}{7} = \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{7}

\begin{aligned}\frac{2}{5} : \frac{4}{7} &= \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{4} \\ &= \frac{7}{10}\end{aligned}

On retourne le diviseur, c'est-à-dire la fraction qui suit le signe de division — jamais la première. Retourner la mauvaise donne l'inverse exact du bon résultat, et c'est ce nombre-là qui attend parmi les propositions.

Geste 4 — les nombres mixtes

Un nombre mixte comme $2\tfrac{3}{7}$ se lit deux plus trois septièmes : une addition cachée, pas une multiplication.

Avant de multiplier ou de diviser, convertissez-le en fraction simple.

{2\tfrac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{17}{7}}

Du mixte vers la fraction : l'entier fois le dénominateur, plus le numérateur. Deux unités font quatorze septièmes, plus les trois qui dépassent.

{\frac{29}{4} = 7 + \frac{1}{4} = 7\tfrac{1}{4}}

De la fraction vers le mixte : division avec reste. $4$ tient $7$ fois dans $29$ , et il reste $1$ quart.

Pour additionner ou soustraire, on peut traiter les entiers d'un côté et les fractions de l'autre, en gérant une retenue.

Pour un produit, jamais morceau par morceau.

\begin{aligned}1\tfrac{1}{5} \cdot 2\tfrac{1}{2} &= 1 \cdot 2 + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} \\ &= 2\tfrac{1}{10}\end{aligned}

\begin{aligned}1\tfrac{1}{5} \cdot 2\tfrac{1}{2} &= \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{2} \\ &= 3\end{aligned}

Le calcul morceau par morceau oublie les produits croisés — $1$ fois $\frac{1}{2}$ et $2$ fois $\frac{1}{5}$ — et donne un résultat trop petit.

Calculez $3\tfrac{1}{2} : 1\tfrac{3}{4}$ .

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$2$ . On convertit : $3\tfrac{1}{2} = \frac{7}{2}$ et $1\tfrac{3}{4} = \frac{7}{4}$ . On retourne le diviseur : $\frac{7}{2} \cdot \frac{4}{7} = \frac{4}{2} = 2$ . Contrôle de bon sens : $1\tfrac{3}{4}$ doublé fait bien $3\tfrac{1}{2}$ .

Geste 5 — la fraction étagée

Une fraction étagée se calcule de l'étage le plus enfoui vers l'extérieur.

À chaque pas, un petit bloc devient une seule fraction, et on remonte d'un étage. Le trait principal vient en dernier : on retourne et on multiplie.

Calculez $\cfrac{3}{1 + \cfrac{1}{4}}$ .

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{12}{5}$ . En bas : $1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ . Puis $3 : \frac{5}{4} = 3 \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{5}$ , soit $2\tfrac{2}{5}$ . Qui calcule d'abord $\frac{3}{1}$ en ignorant le reste du dénominateur trouve $3$ , un nombre trop grand : on divise par plus que $1$ .

Le mémo des cinq gestes, en une ligne chacun :

1

Additionner : le plus petit multiple commun, puis les numérateurs seuls — jamais les étages entre eux.

2

Multiplier : haut fois haut, bas fois bas, en barrant en croix avant.

3

Diviser : garder la première, retourner la seconde ; par une fraction sous $1$ , le résultat grandit.

4

Nombre mixte : le convertir avant tout produit ou quotient.

5

Fraction étagée : de l'étage le plus enfoui vers l'extérieur.

Exercices

Exercice 1

Combien vaut $\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{12}$ ?

$\dfrac{5}{54}$
$\dfrac{23}{36}$
$\dfrac{7}{36}$
$\dfrac{7}{21}$

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Réponse : B $\dfrac{23}{36}$

Corrigé :

{\text{multiples de } 12 : 12,\ 24,\ 36 \;\Rightarrow\; 36}

$36$ est le premier multiple de $12$ que $9$ divise.

{\frac{2}{9} = \frac{8}{36} \qquad \frac{5}{12} = \frac{15}{36}}

La première se multiplie par $4$ en haut et en bas, la seconde par $3$ .

{\frac{8}{36} + \frac{15}{36} = \frac{23}{36}}

$23$ est premier et ne divise pas $36$ : le résultat est irréductible.

$\frac{23}{36}$ . $\frac{7}{21}$ additionne les numérateurs et les dénominateurs entre eux ; elle vaut $\frac{1}{3}$ , moins que $\frac{5}{12}$ seul. $\frac{7}{36}$ trouve le bon dénominateur mais additionne $2$ et $5$ sans les avoir convertis. $\frac{5}{54}$ est le produit des deux fractions, pas leur somme.

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Exercice 2

Combien vaut $\dfrac{9}{14} \cdot \dfrac{35}{12} \cdot \dfrac{16}{15}$ ?

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Réponse : 2

Corrigé :

{\frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 7} \cdot \frac{5 \cdot 7}{3 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5}}

Chaque étage en petits facteurs.

{\text{on barre } 7,\ 5,\ 4,\ 3,\ 3 \;\Rightarrow\; \frac{4}{2}}

Le $7$ et le $5$ du haut partent avec ceux du bas, un $4$ du haut avec le $4$ du bas, et les deux $3$ du haut avec les deux $3$ du bas. Il reste $4$ en haut et $2$ en bas.

{\frac{4}{2} = 2}

Aucun produit à trois chiffres n'a été écrit.

$2$ . Multiplier d'abord donnerait $\frac{5040}{2520}$ : juste, mais long, et chaque grand produit est une occasion de se tromper sous le chronomètre.

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Exercice 3

Combien vaut $\dfrac{4}{9} : \dfrac{10}{21}$ ?

$\dfrac{14}{15}$
$\dfrac{40}{189}$
$\dfrac{189}{40}$
$\dfrac{15}{14}$

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Réponse : A $\dfrac{14}{15}$

Corrigé :

{\frac{4}{9} : \frac{10}{21} = \frac{4}{9} \cdot \frac{21}{10}}

On garde la première et on retourne le diviseur.

{= \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{5} = \frac{14}{15}}

En croix : $4$ et $10$ laissent $2$ et $5$ ; $21$ et $9$ laissent $7$ et $3$ .

$\frac{14}{15}$ . $\frac{40}{189}$ multiplie sans retourner. $\frac{15}{14}$ retourne la première fraction au lieu de la seconde : c'est l'inverse exact de la bonne réponse. $\frac{189}{40}$ retourne les deux. Contrôle rapide : $\frac{4}{9}$ est un peu plus petit que $\frac{10}{21}$ , donc le quotient est un peu plus petit que $1$ .

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Exercice 4

On répartit $12$ litres de jus dans des bouteilles de $\frac{2}{5}$ de litre chacune. Combien de bouteilles remplit-on ?

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Réponse : 30

Corrigé :

{12 : \frac{2}{5}}

La question est « combien de fois $\frac{2}{5}$ tient-il dans $12$ » : c'est une division.

{12 \cdot \frac{5}{2} = 6 \cdot 5 = 30}

On retourne le diviseur et on multiplie.

{30 \cdot \frac{2}{5} = 12}

Contrôle : trente bouteilles de deux cinquièmes font bien douze litres.

$30$ bouteilles. Une bouteille contient moins d'un litre, donc il en faut plus que douze. Le réflexe « diviser rend plus petit » conduit à $12 \cdot \frac{2}{5} = 4{,}8$ , qui n'est même pas un nombre entier de bouteilles.

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Exercice 5

Combien vaut $3\tfrac{1}{4} - 1\tfrac{2}{5}$ ?

$2\tfrac{3}{20}$
$1\tfrac{17}{20}$
$\dfrac{7}{20}$
$\dfrac{3}{10}$

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Réponse : B $1\tfrac{17}{20}$

Corrigé :

{3\tfrac{1}{4} = \frac{13}{4} \qquad 1\tfrac{2}{5} = \frac{7}{5}}

On convertit les deux nombres mixtes.

{\frac{13}{4} - \frac{7}{5} = \frac{65}{20} - \frac{28}{20} = \frac{37}{20}}

Dénominateur commun $20$ : la première se multiplie par $5$ , la seconde par $4$ .

{\frac{37}{20} = 1 + \frac{17}{20} = 1\tfrac{17}{20}}

Division avec reste : $20$ tient une fois dans $37$ , il reste $17$ .

$1\tfrac{17}{20}$ . $2\tfrac{3}{20}$ soustrait les entiers ( $3 - 1 = 2$ ) puis ajoute l'écart entre les fractions, alors que $\frac{2}{5}$ est plus grand que $\frac{1}{4}$ : il fallait emprunter une unité. $\frac{7}{20}$ lit $3\tfrac{1}{4}$ comme $3 \cdot \frac{1}{4}$ et $1\tfrac{2}{5}$ comme $\frac{2}{5}$ , en perdant les entiers. $\frac{3}{10}$ pose le dénominateur commun $20$ mais soustrait $13 - 7$ sans avoir converti les numérateurs.

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Exercice 6

Le nombre $1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4}}}$ s'écrit sous forme irréductible $\dfrac{a}{b}$ . Combien vaut $a + b$ ?

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Réponse : 23

Corrigé :

{1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \;\Rightarrow\; \cfrac{1}{\;\frac{5}{4}\;} = \frac{4}{5}}

L'étage le plus enfoui, puis son inverse.

{1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5} \;\Rightarrow\; \cfrac{1}{\;\frac{9}{5}\;} = \frac{5}{9}}

On remonte d'un étage, et on recommence le même geste.

{1 + \frac{5}{9} = \frac{14}{9} \;\Rightarrow\; a + b = 14 + 9 = 23}

$14 = 2 \cdot 7$ et $9 = 3^2$ n'ont aucun facteur commun : la fraction est irréductible.

$23$ . Commencer par le haut, en lisant $1 + \frac{1}{1}$ , donne $2$ et fait perdre tout le reste de l'expression. S'arrêter un étage trop tôt, à $\frac{9}{5}$ , donnerait $14$ .

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Exercice 7

La somme $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{10}$ s'écrit sous forme irréductible $\dfrac{a}{b}$ . Combien vaut $a + b$ ?

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Réponse : 32

Corrigé :

10,\ 20,\ 30

Les multiples de $10$ : $30$ est le premier que $6$ divise.

\begin{aligned}\frac{25}{30} + \frac{9}{30} &= \frac{34}{30} \\ &= \frac{17}{15}\end{aligned}

On additionne les numérateurs, puis on simplifie par $2$ .

$32$ , car la somme vaut $\frac{17}{15}$ . Le produit $6 \cdot 10 = 60$ marchait aussi, avec un $\frac{68}{60}$ à simplifier par $4$ .

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Exercice 8

L'égalité $\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{9}$ est vraie.

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Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{3}{4} + \frac{2}{5} &= \frac{15}{20} + \frac{8}{20} \\ &= \frac{23}{20}\end{aligned}

au dénominateur commun

\frac{5}{9} < \frac{3}{4}

contrôle : la « somme » serait plus petite qu'un de ses termes

Faux. $\frac{5}{9}$ additionne les étages entre eux. La somme vaut $\frac{23}{20}$ , plus que $1$ .

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Exercice 9

Simplifiez en croix, puis complétez.

14/15 · 25/28 = ____/____

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Réponse : 14/15 · 25/28 = 5/6

Corrigé :

\frac{14}{15} \cdot \frac{25}{28} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5} \cdot \frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 7}

chaque étage en petits facteurs

\begin{aligned}\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} &= \frac{10}{12} \\ &= \frac{5}{6}\end{aligned}

le $7$ et un $5$ partent en croix

$\frac{5}{6}$ . Sans simplifier d'abord, on multiplie $350$ par $420$ … puis il faut tout défaire.

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Exercice 10

Sans calculer : le résultat est-il plus grand ou plus petit que $12$ ?

Plus grand que 12
Plus petit que 12

$12 : \dfrac{1}{5}$
$12 : \dfrac{3}{2}$
$12 : \dfrac{3}{4}$
$12 : \dfrac{6}{5}$
$12 \cdot \dfrac{3}{4}$
$12 \cdot \dfrac{5}{4}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $12 : \dfrac{3}{4}$ — Plus grand que 12 · $12 : \dfrac{3}{2}$ — Plus petit que 12 · $12 \cdot \dfrac{3}{4}$ — Plus petit que 12 · $12 : \dfrac{1}{5}$ — Plus grand que 12 · $12 \cdot \dfrac{5}{4}$ — Plus grand que 12 · $12 : \dfrac{6}{5}$ — Plus petit que 12

Corrigé :

\begin{aligned}12 : \frac{3}{4} &= 16 \qquad 12 : \frac{1}{5} \\ &= 60 \qquad 12 \cdot \frac{5}{4} \\ &= 15\end{aligned}

diviser par moins que $1$ , ou multiplier par plus que $1$ : ça grandit

\begin{aligned}12 : \frac{3}{2} &= 8 \qquad 12 \cdot \frac{3}{4} \\ &= 9 \qquad 12 : \frac{6}{5} \\ &= 10\end{aligned}

l'inverse : ça rapetisse

Diviser par une fraction sous $1$ agrandit ; multiplier par elle rapetisse. Le réflexe « diviser rend plus petit » ne vaut que pour un diviseur plus grand que $1$ .

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Exercice 11

Combien vaut $2\tfrac{1}{3} \cdot 1\tfrac{2}{7}$ ?

$2\tfrac{2}{21}$
$\dfrac{9}{7}$
$3\tfrac{2}{21}$
$3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $3$

Corrigé :

\begin{aligned}2\tfrac{1}{3} &= \frac{7}{3} \qquad 1\tfrac{2}{7} \\ &= \frac{9}{7}\end{aligned}

chaque nombre mixte devient une fraction simple

\begin{aligned}\frac{7}{3} \cdot \frac{9}{7} &= \frac{9}{3} \\ &= 3\end{aligned}

les $7$ partent en croix

$3$ . $2\tfrac{2}{21}$ multiplie les entiers entre eux et les fractions entre elles. $\frac{9}{7}$ oublie le premier facteur. $3\tfrac{2}{21}$ ajoute un morceau qui n'existe pas.

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Exercice 12

Rangez ces fractions étagées de la plus petite à la plus grande.

$\cfrac{1}{1 - \cfrac{1}{4}}$
$\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2}}$
$\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3}}$
$\cfrac{3}{1 + \cfrac{1}{2}}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3}}$ · $\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2}}$ · $\cfrac{1}{1 - \cfrac{1}{4}}$ · $\cfrac{3}{1 + \cfrac{1}{2}}$

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{1}{\frac{7}{3}} &= \frac{3}{7} \qquad \frac{1}{\frac{3}{2}} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

l'étage du bas d'abord

\begin{aligned}\frac{1}{\frac{3}{4}} &= \frac{4}{3} \qquad \frac{3}{\frac{3}{2}} \\ &= 2\end{aligned}

puis le trait principal : on retourne

$\frac{3}{7} < \frac{2}{3} < \frac{4}{3} < 2$ . Un dénominateur sous $1$ donne un quotient plus grand que le numérateur.

Vérifier la réponse sur elev

Geste 1 — le dénominateur commun

Geste 2 — multiplier

Geste 3 — diviser, c'est multiplier par l'inverse

Geste 4 — les nombres mixtes

Geste 5 — la fraction étagée

Exercices

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