Simplifier et comparer · Fractions · Psychométriques

Sur vingt-cinq sessions dépouillées, vingt portent au moins une question de fractions : simplifier, comparer, additionner, prendre une part d'un reste.

La page de formules de l'examen n'en rappelle aucune règle. L'examen ne teste que votre vitesse et votre sûreté.

Cette unité installe cinq gestes : simplifier, reconnaître une fraction irréductible, comparer, encadrer un quotient, placer une fraction sur un axe.

Geste 1 — retirer un facteur commun

Diviser le haut et le bas par un même nombre ne change pas la valeur. Cela change seulement l'écriture.

Inutile de chercher le plus grand diviseur commun de tête. Retirez les petits facteurs que les critères montrent tout de suite :

2

si les deux nombres sont pairs ;

3

si la somme des chiffres de chacun est divisible par $3$ ;

5

si les deux finissent par $0$ ou $5$ .

Écrivez $\frac{45}{75}$ sous forme irréductible.

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{3}{5}$ . Les deux finissent par $5$ : $\frac{45}{75} = \frac{9}{15}$ . Puis les deux sont divisibles par $3$ : $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ . Qui voit directement le facteur $15$ va plus vite, mais le chemin en deux temps arrive au même endroit sans rien risquer.

Geste 2 — reconnaître une fraction irréductible

Une fraction est irréductible quand le haut et le bas n'ont aucun diviseur commun autre que $1$ .

{\frac{a}{b} \text{ irréductible} \iff \operatorname{PGCD}(a,\,b) = 1}

Tester $2$ , $3$ et $5$ ne suffit pas toujours : $\frac{91}{130}$ résiste aux trois, et pourtant elle se simplifie.

La méthode sûre : décomposez le plus petit des deux nombres en facteurs premiers, et essayez seulement ces facteurs-là sur l'autre.

Deux raccourcis valent la peine d'être connus :

\frac{n}{n+1}

Deux entiers consécutifs n'ont jamais de diviseur commun : toujours irréductible.

\frac{7}{30}

Un numérateur premier qui ne divise pas le dénominateur : irréductible.

La fraction $\frac{57}{95}$ est-elle irréductible ?

Voir la réponse et le corrigé

Non. Le plus petit se décompose : $57 = 3 \cdot 19$ . On essaie $3$ sur $95$ : non. On essaie $19$ : $95 = 5 \cdot 19$ , oui. Donc $\frac{57}{95} = \frac{3}{5}$ .

Geste 3 — comparer deux fractions

Trois situations, trois outils, du plus rapide au plus général.

Regardez toujours d'abord si un étage est déjà commun : la comparaison se fait alors de tête.

{\frac{5}{9} < \frac{7}{9}}

Même dénominateur : les parts ont la même taille, on compare leur nombre. Le plus grand numérateur l'emporte.

{\frac{4}{9} < \frac{4}{7}}

Même numérateur : on prend autant de parts, mais les neuvièmes sont plus fins que les septièmes. Le plus petit dénominateur l'emporte.

{\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \iff a \cdot d < b \cdot c}

Aucun étage commun : le produit en croix, valable quand les dénominateurs sont positifs. Chaque numérateur se multiplie par le dénominateur d'en face.

Deux fractions proches de $1$ ? Regardez ce qui leur manque pour faire $1$ .

Il manque $\frac{1}{7}$ à $\frac{6}{7}$ , et $\frac{1}{9}$ à $\frac{8}{9}$ . Le plus petit manque appartient à la plus grande : $\frac{8}{9} > \frac{6}{7}$ .

Laquelle est la plus grande : $\frac{11}{15}$ ou $\frac{3}{4}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{3}{4}$ , de justesse. Produit en croix : $11 \cdot 4 = 44$ et $15 \cdot 3 = 45$ . Le côté de $3$ l'emporte d'une unité. Les « gros » nombres de $\frac{11}{15}$ ne disent rien de sa taille.

Deux intuitions fausses, et l'examen place les deux dans ses propositions.

\frac{1}{8} > \frac{1}{3}

\frac{1}{8} < \frac{1}{3}

Le plus grand dénominateur ne fait pas la plus grande fraction. Il fait des parts plus petites : un huitième de gâteau est moins qu'un tiers.

\frac{2}{3} = \frac{2+1}{3+1}

\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}

Ajouter le même nombre non nul en haut et en bas change la valeur, sauf pour une fraction qui vaut $1$ : $\frac{3}{4}$ est plus grand que $\frac{2}{3}$ . Seules la multiplication et la division conservent la fraction.

Geste 4 — encadrer un quotient

L'énoncé ne donne pas $x$ , seulement un intervalle. La question devient : entre quelles bornes tombe $\frac{k}{x}$ ?

Tant que tout est positif, un dénominateur plus grand donne une fraction plus petite. Passer à l'inverse retourne donc l'encadrement.

On sait que $4 < y < 6$ . Entre quels deux entiers consécutifs se trouve $\frac{12}{y}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Entre $2$ et $3$ . On retourne : $\frac{1}{6} < \frac{1}{y} < \frac{1}{4}$ . On multiplie par $12$ : $2 < \frac{12}{y} < 3$ .

Le passage à l'inverse est l'endroit exact où l'encadrement se perd.

1 < x < 2 \;\Rightarrow\; 1 < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}

1 < x < 2 \;\Rightarrow\; \frac{1}{2} < \frac{1}{x} < 1

L'écriture de gauche est impossible : aucun nombre n'est à la fois plus grand que $1$ et plus petit que $\frac{1}{2}$ . Chaque borne est passée à l'inverse, mais les deux ont aussi changé de côté.

Geste 5 — poser une fraction sur un axe

Une fraction plus grande que $1$ se lit en deux morceaux : combien d'entiers, et ce qui dépasse.

On divise le haut par le bas avec reste : le quotient donne l'entier juste en dessous, le reste dit de combien on le dépasse.

Aucune division décimale : c'est elle qui fait perdre le plus de temps.

Entre quels entiers consécutifs se place $\frac{29}{8}$ ? Et est-il plus près du premier ou du second ?

Voir la réponse et le corrigé

Entre $3$ et $4$ , plus près de $4$ . $3 \cdot 8 = 24$ , il reste $5$ : $\frac{29}{8} = 3 + \frac{5}{8}$ . Cinq huitièmes, c'est au-delà du milieu, donc du côté de $4$ .

Le mémo des cinq gestes, en une ligne chacun :

1

Simplifier : les petits facteurs un par un, en haut et en bas.

2

Irréductible : décomposer le plus petit, tester ses facteurs sur l'autre.

3

Comparer : un étage commun, puis le manque à $1$ , puis le produit en croix.

4

Encadrer : passer à l'inverse retourne les bornes.

5

Placer : division avec reste — l'entier, puis ce qui dépasse.

Exercices

Exercice 1

La fraction $\dfrac{108}{144}$ s'écrit sous forme irréductible $\dfrac{a}{b}$ . Combien vaut $a + b$ ?

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Réponse : 7

Corrigé :

{\frac{108}{144} = \frac{27}{36}}

Les deux sont divisibles par $4$ : leurs deux derniers chiffres, $08$ et $44$ , le sont.

{\frac{27}{36} = \frac{3}{4}}

$27$ et $36$ sont dans la table de $9$ . Après, $3$ et $4$ sont consécutifs : plus rien ne part.

{a + b = 3 + 4 = 7}

La question porte sur la somme des deux étages de la forme irréductible.

$7$ . S'arrêter à $\frac{27}{36}$ donnerait $63$ : la fraction est juste en valeur, mais elle n'est pas irréductible, et c'est précisément ce que la question vérifie.

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Exercice 2

Laquelle de ces fractions est irréductible ?

$\dfrac{49}{84}$
$\dfrac{39}{65}$
$\dfrac{35}{72}$
$\dfrac{57}{76}$

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Réponse : C $\dfrac{35}{72}$

Corrigé :

{35 = 5 \cdot 7 \qquad 72 = 2^3 \cdot 3^2}

On décompose les deux étages : aucun facteur premier n'est commun.

{\frac{39}{65} = \frac{3 \cdot 13}{5 \cdot 13} \qquad \frac{57}{76} = \frac{3 \cdot 19}{4 \cdot 19} \qquad \frac{49}{84} = \frac{7 \cdot 7}{12 \cdot 7}}

Les trois autres cachent un facteur commun que ni $2$ , ni $3$ , ni $5$ ne révèlent.

$\frac{35}{72}$ . $\frac{39}{65}$ se simplifie par $13$ en $\frac{3}{5}$ , $\frac{57}{76}$ par $19$ en $\frac{3}{4}$ , et $\frac{49}{84}$ par $7$ en $\frac{7}{12}$ . Qui ne teste que $2$ , $3$ et $5$ croit les quatre irréductibles : il faut décomposer le plus petit des deux nombres.

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Exercice 3

Laquelle de ces fractions est la plus grande ?

$\dfrac{7}{9}$
$\dfrac{9}{11}$
$\dfrac{4}{5}$
$\dfrac{5}{6}$

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Réponse : D $\dfrac{5}{6}$

Corrigé :

{1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \quad 1 - \frac{9}{11} = \frac{2}{11} \quad 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \quad 1 - \frac{7}{9} = \frac{2}{9}}

Les quatre sont proches de $1$ : on compare ce qui leur manque.

{\frac{1}{6} = \frac{2}{12} < \frac{2}{11} < \frac{2}{10} = \frac{1}{5} < \frac{2}{9}}

Tous les manques ramenés au numérateur $2$ : le plus petit est celui de $\frac{5}{6}$ .

{5 \cdot 11 = 55 > 54 = 6 \cdot 9}

Contrôle par produit en croix contre sa rivale la plus proche.

$\frac{5}{6}$ . $\frac{9}{11}$ est le piège : ses étages sont les plus grands, et elle ne perd que d'une unité au produit en croix. $\frac{4}{5}$ manque de $\frac{1}{5}$ , plus que $\frac{1}{6}$ ; $\frac{7}{9}$ , à qui manque $\frac{2}{9}$ , est la plus petite des quatre.

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Exercice 4

On sait que $3 < x < 4$ . Laquelle de ces affirmations est nécessairement vraie ?

$\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{3}$
$\dfrac{24}{x} < 7$
$\dfrac{24}{x} > 7$
$\dfrac{24}{x} > 6$

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Réponse : D $\dfrac{24}{x} > 6$

Corrigé :

{\frac{1}{4} < \frac{1}{x} < \frac{1}{3}}

On passe à l'inverse : les bornes changent de côté.

{6 < \frac{24}{x} < 8}

On multiplie par $24$ , qui est positif.

{x = 3{,}1 \;\Rightarrow\; \frac{24}{x} \approx 7{,}7 \qquad x = 3{,}9 \;\Rightarrow\; \frac{24}{x} \approx 6{,}2}

Deux valeurs permises suffisent à écarter les affirmations qui ne tiennent que pour une partie de l'intervalle.

$\frac{24}{x} > 6$ . $\frac{24}{x} < 7$ et $\frac{24}{x} > 7$ sont chacune vraies pour certaines valeurs de $x$ seulement : $x = 3{,}1$ contredit la première, $x = 3{,}9$ la seconde. $\frac{1}{x} > \frac{1}{3}$ est l'erreur de l'encadrement non retourné : $x$ est plus grand que $3$ , donc son inverse est plus petit que $\frac{1}{3}$ .

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Exercice 5

Combien de nombres entiers sont strictement compris entre $\dfrac{17}{5}$ et $\dfrac{29}{3}$ ?

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Réponse : 6

Corrigé :

{\frac{17}{5} = 3 + \frac{2}{5}}

$5 \cdot 3 = 15$ , il reste $2$ : on est entre $3$ et $4$ . Le premier entier au-dessus est $4$ .

{\frac{29}{3} = 9 + \frac{2}{3}}

$3 \cdot 9 = 27$ , il reste $2$ : on est entre $9$ et $10$ . Le dernier entier en dessous est $9$ .

{4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9 \;\Rightarrow\; 6}

De $4$ à $9$ inclus, on compte $9 - 4 + 1$ entiers.

$6$ entiers. Arrondir $\frac{29}{3}$ à $10$ ferait compter $10$ , qui est au-delà ; soustraire $9 - 4$ sans ajouter $1$ en oublierait un.

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Exercice 6

Sur un axe gradué, lequel de ces nombres se place entre $2$ et $\dfrac{5}{2}$ ?

$\dfrac{21}{8}$
$\dfrac{17}{8}$
$\dfrac{9}{2}$
$\dfrac{13}{7}$

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Réponse : B $\dfrac{17}{8}$

Corrigé :

{2 = \frac{16}{8} \qquad \frac{5}{2} = \frac{20}{8}}

En huitièmes, la zone visée va de $16$ à $20$ huitièmes.

{\frac{17}{8} = 2 + \frac{1}{8} \qquad \frac{21}{8} = 2 + \frac{5}{8} \qquad \frac{13}{7} = 1 + \frac{6}{7} \qquad \frac{9}{2} = 4 + \frac{1}{2}}

Chaque proposition lue en deux morceaux : l'entier, puis ce qui dépasse.

$\frac{17}{8}$ , qui dépasse $2$ d'un huitième seulement. $\frac{21}{8}$ dépasse $2$ de cinq huitièmes, donc passe au-delà du milieu $\frac{5}{2}$ . $\frac{13}{7}$ reste sous $2$ : il lui manque $\frac{1}{7}$ pour y arriver. $\frac{9}{2}$ est le choix de qui lit $\frac{5}{2}$ comme $5$ : quatre et demi est bien entre $2$ et $5$ , mais pas entre $2$ et deux et demi.

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Exercice 7

Complétez la forme irréductible.

60/84 = ____/____

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Réponse : 60/84 = 5/7

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{60}{84} &= \frac{30}{42} \\ &= \frac{15}{21}\end{aligned}

On divise par $2$ , deux fois : les deux restent pairs.

\frac{15}{21} = \frac{5}{7}

$1+5 = 6$ et $2+1 = 3$ : les deux sont divisibles par $3$ .

$\frac{5}{7}$ . Le PGCD vaut $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ ; trois petites divisions y mènent sans le chercher. $5$ et $7$ sont premiers et différents : c'est fini.

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Exercice 8

La fraction $\dfrac{119}{153}$ est irréductible.

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Réponse : Faux

Corrigé :

119 = 7 \cdot 17

On décompose le plus petit des deux.

153 = 9 \cdot 17

On essaie $7$ sur $153$ : non. On essaie $17$ : oui.

Faux. $\frac{119}{153} = \frac{7}{9}$ . Ni $2$ , ni $3$ , ni $5$ ne divisent $119$ : c'est pour cela qu'il faut décomposer le plus petit nombre, et pas seulement tester les petits facteurs.

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Exercice 9

Rangez ces fractions de la plus petite à la plus grande.

$\dfrac{2}{3}$
$\dfrac{3}{5}$
$\dfrac{5}{8}$
$\dfrac{7}{12}$

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Réponse : $\dfrac{7}{12}$ · $\dfrac{3}{5}$ · $\dfrac{5}{8}$ · $\dfrac{2}{3}$

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{7}{12} &= \frac{70}{120} \\ \ \frac{3}{5} &= \frac{72}{120} \\ \ \frac{5}{8} &= \frac{75}{120} \\ \ \frac{2}{3} &= \frac{80}{120}\end{aligned}

Un dénominateur commun, $120$ , et on compare les numérateurs.

$\frac{7}{12} < \frac{3}{5} < \frac{5}{8} < \frac{2}{3}$ . Les quatre sont proches : seul un étage commun ou le produit en croix les départage.

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Exercice 10

Irréductible, ou elle se simplifie ?

Irréductible
Se simplifie

$\dfrac{17}{51}$
$\dfrac{22}{45}$
$\dfrac{35}{72}$
$\dfrac{39}{65}$
$\dfrac{64}{81}$
$\dfrac{91}{119}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $\dfrac{35}{72}$ — Irréductible · $\dfrac{91}{119}$ — Se simplifie · $\dfrac{22}{45}$ — Irréductible · $\dfrac{39}{65}$ — Se simplifie · $\dfrac{17}{51}$ — Se simplifie · $\dfrac{64}{81}$ — Irréductible

Corrigé :

\begin{aligned}91 &= 7 \cdot 13 \\ \ 119 &= 7 \cdot 17\end{aligned}

facteur commun $7$

\begin{aligned}39 &= 3 \cdot 13 \\ \ 65 &= 5 \cdot 13 \qquad 51 \\ &= 3 \cdot 17\end{aligned}

facteur commun $13$ , puis $17$

\begin{aligned}35 &= 5 \cdot 7 \\ \ 22 &= 2 \cdot 11 \\ \ 64 &= 2^6\end{aligned}

aucun de ces facteurs ne divise l'autre étage

Décomposez le plus petit des deux, puis testez ses facteurs sur l'autre. $\frac{91}{119}$ et $\frac{39}{65}$ échappent à $2$ , $3$ et $5$ .

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Exercice 11

On sait que $5 < x < 8$ . L'encadrement exact de $\dfrac{40}{x}$ s'écrit $a < \dfrac{40}{x} < b$ . Combien vaut $a + b$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 13

Corrigé :

\frac{1}{8} < \frac{1}{x} < \frac{1}{5}

On passe à l'inverse : les bornes changent de côté.

5 < \frac{40}{x} < 8

On multiplie par $40$ , positif.

$13$ : $a = 5$ et $b = 8$ . Qui garde les bornes dans le même ordre écrit $8 < \frac{40}{x} < 5$ , une écriture impossible.

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Exercice 12

Associez chaque fraction aux deux entiers qui l'encadrent.

$\dfrac{23}{4}$
$\dfrac{17}{5}$
$\dfrac{29}{7}$
$\dfrac{13}{6}$

entre $2$ et $3$
entre $3$ et $4$
entre $4$ et $5$
entre $5$ et $6$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $\dfrac{23}{4}$ — entre $5$ et $6$ · $\dfrac{17}{5}$ — entre $3$ et $4$ · $\dfrac{29}{7}$ — entre $4$ et $5$ · $\dfrac{13}{6}$ — entre $2$ et $3$

Corrigé :

\begin{aligned}23 &= 5 \cdot 4 + 3 \qquad 17 \\ &= 3 \cdot 5 + 2\end{aligned}

le quotient donne l'entier du dessous

\begin{aligned}29 &= 4 \cdot 7 + 1 \qquad 13 \\ &= 2 \cdot 6 + 1\end{aligned}

le reste dit de combien on le dépasse

Une division avec reste suffit à chaque fois : aucune virgule à calculer.

Vérifier la réponse sur elev

Geste 1 — retirer un facteur commun

Geste 2 — reconnaître une fraction irréductible

Geste 3 — comparer deux fractions

Geste 4 — encadrer un quotient

Geste 5 — poser une fraction sur un axe

Exercices

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