Série 1 — dix questions · Fractions · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen, rangées de la plus rapide à la plus fine. Lancez un chrono : dix minutes pour la série.

Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J — puis corrigez d'un bloc : comptez vos points sur dix et notez votre temps.

Huit ou plus dans le temps imparti : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le geste qui a manqué. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Avant tout produit en croix, regardez les étages : un numérateur commun, un dénominateur commun ou un manque à $1$ décident souvent en deux secondes. Le produit en croix sert quand rien de tout cela ne marche.

Deux questions de plus, hors chrono : elles reprennent les gestes de la série sous une autre forme.

Exercices

Exercice 1

Quelle est la forme irréductible de $\dfrac{24}{32}$ ?

$\dfrac{3}{4}$
$\dfrac{4}{5}$
$\dfrac{8}{9}$
$\dfrac{2}{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\dfrac{3}{4}$

Corrigé :

{\frac{24}{32} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}}

On divise par $2$ , puis par $4$ . $3$ et $4$ sont consécutifs : plus rien ne part.

{\frac{4}{5} = \frac{24}{30} \qquad \frac{2}{3} = \frac{24}{36} \qquad \frac{8}{9} = \frac{24}{27}}

Contrôle : ramenées au numérateur $24$ , les trois autres propositions n'ont pas $32$ pour dénominateur.

$\frac{3}{4}$ . $\frac{4}{5}$ correspond à $\frac{24}{30}$ , $\frac{2}{3}$ à $\frac{24}{36}$ et $\frac{8}{9}$ à $\frac{24}{27}$ : aucune des trois ne vaut $\frac{24}{32}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Laquelle de ces fractions est la plus grande ?

$\dfrac{10}{11}$
$\dfrac{10}{19}$
$\dfrac{10}{17}$
$\dfrac{10}{13}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\dfrac{10}{11}$

Corrigé :

{\frac{10}{19} < \frac{10}{17} < \frac{10}{13} < \frac{10}{11}}

Même numérateur : le plus petit dénominateur fait les parts les plus grosses.

$\frac{10}{11}$ . Les quatre prennent dix parts ; les onzièmes sont les plus gros morceaux. $\frac{10}{19}$ , au plus grand dénominateur, est la plus petite des quatre, et $\frac{10}{13}$ et $\frac{10}{17}$ se rangent entre les deux.

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Exercice 3

Laquelle de ces fractions est la plus grande ?

$\dfrac{7}{8}$
$\dfrac{9}{10}$
$\dfrac{13}{14}$
$\dfrac{15}{16}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\dfrac{15}{16}$

Corrigé :

{1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8} \quad 1 - \frac{13}{14} = \frac{1}{14} \quad 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10} \quad 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}}

Les quatre sont proches de $1$ : on compare ce qui leur manque.

{\frac{1}{16} < \frac{1}{14} < \frac{1}{10} < \frac{1}{8}}

Le plus petit manque appartient à la plus grande fraction.

$\frac{15}{16}$ , à qui il ne manque qu'un seizième. $\frac{13}{14}$ manque d'un quatorzième, $\frac{9}{10}$ d'un dixième, et $\frac{7}{8}$ , à qui manque un huitième, est la plus petite des quatre. Aucun produit en croix n'est nécessaire.

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Exercice 4

Laquelle de ces fractions est irréductible ?

$\dfrac{26}{63}$
$\dfrac{51}{85}$
$\dfrac{38}{57}$
$\dfrac{46}{69}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\dfrac{26}{63}$

Corrigé :

{26 = 2 \cdot 13 \qquad 63 = 3^2 \cdot 7}

On décompose les deux étages : aucun facteur premier n'est commun.

{\frac{51}{85} = \frac{3 \cdot 17}{5 \cdot 17} \qquad \frac{38}{57} = \frac{2 \cdot 19}{3 \cdot 19} \qquad \frac{46}{69} = \frac{2 \cdot 23}{3 \cdot 23}}

Les trois autres cachent un facteur premier plus grand que $7$ .

$\frac{26}{63}$ . $\frac{51}{85}$ se simplifie par $17$ en $\frac{3}{5}$ , $\frac{38}{57}$ par $19$ en $\frac{2}{3}$ , et $\frac{46}{69}$ par $23$ en $\frac{2}{3}$ . Tester seulement $2$ , $3$ et $5$ ne révèle aucun de ces facteurs : il faut décomposer le plus petit des deux nombres.

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Exercice 5

Laquelle de ces affirmations est vraie ?

$\dfrac{12}{17} = \dfrac{5}{7}$
$\dfrac{12}{17} > \dfrac{5}{7}$
$\dfrac{12}{17} < \dfrac{5}{7}$
$\dfrac{12}{17} > \dfrac{3}{4}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\dfrac{12}{17} < \dfrac{5}{7}$

Corrigé :

{12 \cdot 7 = 84 \qquad 17 \cdot 5 = 85}

Produit en croix : chaque numérateur par le dénominateur d'en face.

{84 < 85 \;\Rightarrow\; \frac{12}{17} < \frac{5}{7}}

Le produit le plus grand est du côté de $5$ .

{12 \cdot 4 = 48 < 51 = 17 \cdot 3 \;\Rightarrow\; \frac{12}{17} < \frac{3}{4}}

Même outil pour la dernière proposition.

$\frac{12}{17} < \frac{5}{7}$ , d'une seule unité au produit en croix. $\frac{12}{17} > \frac{5}{7}$ est l'inverse de ce résultat, et $\frac{12}{17} = \frac{5}{7}$ exigerait deux produits égaux, or $84$ n'est pas $85$ . $\frac{12}{17} > \frac{3}{4}$ est fausse aussi : $48$ est plus petit que $51$ .

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Exercice 6

Laquelle de ces fractions n'est pas égale à $\dfrac{4}{7}$ ?

$\dfrac{28}{49}$
$\dfrac{10}{18}$
$\dfrac{20}{35}$
$\dfrac{12}{21}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\dfrac{10}{18}$

Corrigé :

{\frac{10}{18} = \frac{5}{9}}

En divisant les deux étages par $2$ .

$\frac{10}{18}$ . Les trois autres se réduisent bien à $\frac{4}{7}$ : $\frac{12}{21}$ par $3$ , $\frac{20}{35}$ par $5$ , $\frac{28}{49}$ par $7$ ; $\frac{10}{18}$ donne $\frac{5}{9}$ , qui est plus petit.

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Exercice 7

Sur un axe gradué, lequel de ces nombres est le plus proche de $3$ ?

$\dfrac{29}{10}$
$\dfrac{25}{8}$
$\dfrac{17}{6}$
$\dfrac{22}{7}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\dfrac{29}{10}$

Corrigé :

{\frac{17}{6} = 3 - \frac{1}{6} \qquad \frac{22}{7} = 3 + \frac{1}{7}}

Division avec reste : $17 = 2 \cdot 6 + 5$ , il manque un sixième pour atteindre $3$ ; $22 = 3 \cdot 7 + 1$ , on dépasse $3$ d'un septième.

{\frac{25}{8} = 3 + \frac{1}{8} \qquad \frac{29}{10} = 3 - \frac{1}{10}}

Même lecture pour les deux derniers.

{\frac{1}{10} < \frac{1}{8} < \frac{1}{7} < \frac{1}{6}}

On compare les quatre écarts à $3$ , tous de numérateur $1$ .

$\frac{29}{10}$ , à un dixième de $3$ . $\frac{25}{8}$ en est à un huitième, $\frac{22}{7}$ à un septième, $\frac{17}{6}$ à un sixième. Le côté de $3$ où tombe chaque nombre n'importe pas : seule la distance compte.

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Exercice 8

On sait que $16 < x < 24$ . Quel encadrement de $\dfrac{240}{x}$ est juste ?

$15 < \dfrac{240}{x} < 10$
$10 < \dfrac{240}{x} < 15$
$3\,840 < \dfrac{240}{x} < 5\,760$
$\dfrac{1}{15} < \dfrac{240}{x} < \dfrac{1}{10}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $10 < \dfrac{240}{x} < 15$

Corrigé :

{\frac{1}{24} < \frac{1}{x} < \frac{1}{16}}

On passe à l'inverse : les bornes changent de côté.

{\frac{240}{24} < \frac{240}{x} < \frac{240}{16} \;\Rightarrow\; 10 < \frac{240}{x} < 15}

On multiplie par $240$ , qui est positif.

$10 < \frac{240}{x} < 15$ . $15 < \frac{240}{x} < 10$ divise $240$ par chaque borne sans retourner l'encadrement : aucun nombre n'est à la fois plus grand que $15$ et plus petit que $10$ . $\frac{1}{15} < \frac{240}{x} < \frac{1}{10}$ encadre $\frac{x}{240}$ , pas $\frac{240}{x}$ . $3\,840 < \frac{240}{x} < 5\,760$ multiplie $240$ par $x$ au lieu de le diviser.

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Exercice 9

Combien de fractions irréductibles de dénominateur $30$ sont strictement comprises entre $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{3}{5}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $3$

Corrigé :

{\frac{1}{3} = \frac{10}{30} \qquad \frac{3}{5} = \frac{18}{30}}

On ramène les deux bornes au dénominateur $30$ .

{10 < k < 18 \;\Rightarrow\; k = 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16,\ 17}

Les numérateurs strictement entre $10$ et $18$ : sept candidates.

{30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \;\Rightarrow\; k = 11,\ 13,\ 17}

On écarte les numérateurs divisibles par $2$ , par $3$ ou par $5$ : il en reste trois.

$3$ : $\frac{11}{30}$ , $\frac{13}{30}$ et $\frac{17}{30}$ . $7$ compte toutes les candidates, y compris celles qui se simplifient, comme $\frac{12}{30} = \frac{2}{5}$ . $4$ n'écarte que les numérateurs pairs et garde $\frac{15}{30}$ , qui vaut $\frac{1}{2}$ . $9$ compte de $10$ à $18$ trentièmes, bornes comprises, alors que la question dit « strictement ».

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Exercice 10

Laquelle de ces fractions est comprise entre $\dfrac{3}{7}$ et $\dfrac{7}{16}$ ?

$\dfrac{8}{19}$
$\dfrac{4}{8}$
$\dfrac{5}{11}$
$\dfrac{10}{23}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\dfrac{10}{23}$

Corrigé :

{3 \cdot 23 = 69 < 70 = 7 \cdot 10 \;\Rightarrow\; \frac{3}{7} < \frac{10}{23}}

Produit en croix contre la borne du bas.

{10 \cdot 16 = 160 < 161 = 23 \cdot 7 \;\Rightarrow\; \frac{10}{23} < \frac{7}{16}}

Puis contre la borne du haut : les deux tiennent, chacune d'une unité.

{\frac{4}{8} = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; 1 \cdot 16 = 16 > 14 = 2 \cdot 7}

$\frac{4}{8}$ dépasse la borne du haut.

$\frac{10}{23}$ . $\frac{4}{8}$ ajoute $1$ en haut et en bas de $\frac{3}{7}$ : ce geste change la valeur, et $\frac{1}{2}$ dépasse $\frac{7}{16}$ . $\frac{5}{11}$ dépasse aussi : $5 \cdot 16 = 80$ contre $11 \cdot 7 = 77$ . $\frac{8}{19}$ reste sous $\frac{3}{7}$ : $8 \cdot 7 = 56$ contre $19 \cdot 3 = 57$ .

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Exercice 11

Combien de fractions $\dfrac{n}{12}$ , avec $n$ entier de $1$ à $11$ , sont irréductibles ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

12 = 2^2 \cdot 3

il faut que $n$ ne soit divisible ni par $2$ ni par $3$

n \in \{1,\ 5,\ 7,\ 11\}

les impairs qui ne sont pas multiples de $3$

$4$ . Les impairs de $1$ à $11$ sont $1, 3, 5, 7, 9, 11$ ; on retire $3$ et $9$ .

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Exercice 12

L'inégalité $\dfrac{13}{17} > \dfrac{12}{16}$ est vraie.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}13 \cdot 16 &= 208 \qquad 17 \cdot 12 \\ &= 204\end{aligned}

le produit en croix

208 > 204

le côté de $13$ l'emporte

Vrai. Autre chemin : il manque $\frac{4}{17}$ à la première et $\frac{4}{16}$ à la seconde ; le plus petit manque est celui de $\frac{13}{17}$ .

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Exercices

La suite se pratique sur elev