Série 2 — dix questions · Fractions · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen, rangées de la plus rapide à la plus longue. Lancez un chrono : douze minutes pour la série.

Cochez ou tapez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J — puis corrigez d'un bloc : comptez vos points sur dix et notez votre temps.

Huit ou plus dans le temps imparti : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le geste qui a manqué. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Estimez avant de calculer. Un nombre positif divisé par une fraction entre $0$ et $1$ grandit ; une somme de nombres positifs dépasse chacun de ses termes. Sur cette famille de questions, une bonne moitié des mauvaises propositions se rejette par ce seul contrôle.

Deux questions de plus, hors chrono : elles reprennent les gestes de la série sous une autre forme.

Exercices

Exercice 1

Combien vaut $\dfrac{5}{18} + \dfrac{7}{15}$ ?

$\dfrac{67}{90}$
$\dfrac{4}{11}$
$\dfrac{2}{15}$
$\dfrac{7}{54}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\dfrac{67}{90}$

Corrigé :

{\text{multiples de } 18 : 18,\ 36,\ 54,\ 72,\ 90 \;\Rightarrow\; 90}

$90$ est le premier multiple de $18$ que $15$ divise.

{\frac{5}{18} = \frac{25}{90} \qquad \frac{7}{15} = \frac{42}{90}}

La première se multiplie par $5$ en haut et en bas, la seconde par $6$ .

{\frac{25}{90} + \frac{42}{90} = \frac{67}{90}}

$67$ est premier et ne divise pas $90$ : la somme est irréductible.

$\frac{67}{90}$ . $\frac{7}{54}$ est le produit des deux fractions, $\frac{35}{270}$ simplifié. $\frac{2}{15}$ trouve le bon dénominateur $90$ mais additionne $5$ et $7$ sans les convertir : $\frac{12}{90}$ . $\frac{4}{11}$ additionne les étages entre eux, $\frac{12}{33}$ : c'est moins que $\frac{7}{15}$ à lui seul, alors qu'on lui ajoute un nombre positif.

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Exercice 2

La différence $\dfrac{7}{9} - \dfrac{1}{6}$ s'écrit sous forme irréductible $\dfrac{a}{b}$ . Combien vaut $a + b$ ?

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Réponse : 29

Corrigé :

{\frac{7}{9} = \frac{14}{18} \qquad \frac{1}{6} = \frac{3}{18}}

$18$ est le premier multiple de $9$ que $6$ divise.

{\frac{14}{18} - \frac{3}{18} = \frac{11}{18}}

$11$ est premier et ne divise pas $18$ : la fraction est irréductible.

{a + b = 11 + 18 = 29}

La question porte sur la somme des deux étages.

$29$ . Soustraire les étages entre eux donnerait $\frac{7 - 1}{9 - 6} = 2$ , plus que $\frac{7}{9}$ lui-même, alors qu'on lui retire un nombre positif : l'erreur se voit sans calcul.

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Exercice 3

Combien vaut $\dfrac{15}{28} \cdot \dfrac{14}{45} \cdot 18$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

{\frac{15}{28} \cdot \frac{14}{45} = \frac{15}{45} \cdot \frac{14}{28} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}

On barre en croix : $15$ avec $45$ , $14$ avec $28$ .

{\frac{1}{6} \cdot 18 = 3}

Un sixième de $18$ .

$3$ . Multiplier d'abord les étages donnerait $\frac{210}{1\,260}$ avant même d'arriver au $18$ : juste, mais long, et chaque grand produit est une occasion de se tromper.

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Exercice 4

Combien vaut $\dfrac{6}{17} : \dfrac{9}{34}$ ?

$\dfrac{3}{4}$
$\dfrac{289}{27}$
$\dfrac{27}{289}$
$\dfrac{4}{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\dfrac{4}{3}$

Corrigé :

{\frac{6}{17} : \frac{9}{34} = \frac{6}{17} \cdot \frac{34}{9}}

On garde la première et on retourne le diviseur.

{= \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}}

En croix : $6$ et $9$ laissent $2$ et $3$ ; $34$ et $17$ laissent $2$ et $1$ .

$\frac{4}{3}$ . $\frac{3}{4}$ retourne la première fraction au lieu de la seconde : c'est l'inverse exact de la bonne réponse. $\frac{27}{289}$ multiplie sans rien retourner, et $\frac{289}{27}$ retourne les deux. Contrôle : $\frac{6}{17} = \frac{12}{34}$ est plus grand que $\frac{9}{34}$ , donc le quotient dépasse $1$ .

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Exercice 5

Un rouleau de tissu mesure $4\tfrac{1}{2}$ mètres. On le coupe en morceaux de $\frac{3}{16}$ de mètre chacun. Combien de morceaux obtient-on ?

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Réponse : 24

Corrigé :

{4\tfrac{1}{2} = \frac{9}{2}}

On convertit le nombre mixte avant de diviser.

{\frac{9}{2} : \frac{3}{16} = \frac{9}{2} \cdot \frac{16}{3} = 3 \cdot 8 = 24}

On retourne le diviseur ; en croix, $9$ et $3$ laissent $3$ et $1$ , $16$ et $2$ laissent $8$ et $1$ .

{24 \cdot \frac{3}{16} = \frac{72}{16} = \frac{9}{2}}

Contrôle : vingt-quatre morceaux font bien quatre mètres et demi.

$24$ morceaux. Un morceau mesure moins d'un mètre, donc il y en a plus que de mètres. Multiplier $\frac{9}{2}$ par $\frac{3}{16}$ donnerait $\frac{27}{32}$ , moins d'un morceau entier : le réflexe « diviser rend plus petit » ne vaut pas ici.

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Exercice 6

Combien vaut $6\tfrac{2}{9} - 2\tfrac{3}{4}$ ?

$3\tfrac{19}{36}$
$4\tfrac{19}{36}$
$3\tfrac{17}{36}$
$8\tfrac{35}{36}$

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Réponse : C $3\tfrac{17}{36}$

Corrigé :

{6\tfrac{2}{9} = \frac{56}{9} \qquad 2\tfrac{3}{4} = \frac{11}{4}}

On convertit les deux nombres mixtes.

{\frac{56}{9} - \frac{11}{4} = \frac{224}{36} - \frac{99}{36} = \frac{125}{36}}

Dénominateur commun $36$ .

{\frac{125}{36} = 3 + \frac{17}{36} = 3\tfrac{17}{36}}

Division avec reste : $36$ tient trois fois dans $125$ , il reste $17$ .

$3\tfrac{17}{36}$ . $4\tfrac{19}{36}$ soustrait les entiers, $6 - 2 = 4$ , puis ajoute l'écart des fractions, alors que $\frac{3}{4}$ est plus grand que $\frac{2}{9}$ : il fallait emprunter une unité. $3\tfrac{19}{36}$ emprunte bien l'unité, mais garde l'écart $\frac{3}{4} - \frac{2}{9} = \frac{19}{36}$ au lieu de $\frac{11}{9} - \frac{3}{4} = \frac{17}{36}$ . $8\tfrac{35}{36}$ est la somme des deux nombres.

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Exercice 7

Combien vaut $2\tfrac{2}{3} \cdot 1\tfrac{7}{8}$ ?

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Réponse : 5

Corrigé :

{2\tfrac{2}{3} = \frac{8}{3} \qquad 1\tfrac{7}{8} = \frac{15}{8}}

Chaque nombre mixte devient une fraction simple.

{\frac{8}{3} \cdot \frac{15}{8} = \frac{15}{3} = 5}

Les $8$ se barrent en croix.

{2 \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{8} = 2\tfrac{7}{12} \;\Rightarrow\; \text{faux}}

Multiplier les entiers entre eux et les fractions entre elles oublie les produits croisés.

$5$ . Le calcul morceau par morceau donne $2\tfrac{7}{12}$ , moins que le premier facteur $2\tfrac{2}{3}$ , alors qu'on le multiplie par presque $2$ : l'estimation suffit à le rejeter.

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Exercice 8

Combien vaut $\cfrac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}$ ?

$\dfrac{5}{36}$
$5$
$\dfrac{1}{5}$
$1$

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Réponse : B $5$

Corrigé :

{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \qquad \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}}

Chaque étage se réduit d'abord à une seule fraction.

{\frac{5}{6} : \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \cdot 6 = 5}

Le trait principal est une division : on retourne le dénominateur.

$5$ . $\frac{5}{36}$ multiplie les deux étages au lieu de les diviser. $\frac{1}{5}$ divise le bas par le haut, et donne l'inverse de la bonne réponse. $1$ barre $\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{3}$ en haut et en bas, comme s'ils étaient des facteurs : ce sont des termes d'une somme et d'une différence, ils ne se barrent pas.

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Exercice 9

Le nombre $3 - \cfrac{1}{2 - \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2}}}$ s'écrit sous forme irréductible $\dfrac{a}{b}$ . Combien vaut $a + b$ ?

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Réponse : 13

Corrigé :

{1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \;\Rightarrow\; \cfrac{1}{\;\frac{3}{2}\;} = \frac{2}{3}}

L'étage le plus enfoui, puis son inverse.

{2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \;\Rightarrow\; \cfrac{1}{\;\frac{4}{3}\;} = \frac{3}{4}}

On remonte d'un étage, et on recommence le même geste.

{3 - \frac{3}{4} = \frac{9}{4} \;\Rightarrow\; a + b = 9 + 4 = 13}

$9$ et $4$ n'ont aucun facteur commun.

$13$ . Le signe moins est l'endroit où l'on se trompe : ajouter $\frac{3}{4}$ au lieu de le retirer donne $\frac{15}{4}$ et $19$ . S'arrêter un étage trop tôt, à $\frac{4}{3}$ , donnerait $7$ .

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Exercice 10

Combien vaut $\left(1\tfrac{2}{3} - \dfrac{3}{4}\right) : 1\tfrac{5}{6}$ ?

$\dfrac{11}{10}$
$2$
$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{121}{72}$

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Réponse : C $\dfrac{1}{2}$

Corrigé :

{1\tfrac{2}{3} - \frac{3}{4} = \frac{5}{3} - \frac{3}{4} = \frac{20}{12} - \frac{9}{12} = \frac{11}{12}}

La parenthèse d'abord, au dénominateur commun $12$ .

{1\tfrac{5}{6} = \frac{11}{6}}

Le diviseur est un nombre mixte : on le convertit.

{\frac{11}{12} : \frac{11}{6} = \frac{11}{12} \cdot \frac{6}{11} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}}

On retourne le diviseur ; les $11$ se barrent.

$\frac{1}{2}$ . $2$ retourne la parenthèse au lieu du diviseur : c'est l'inverse exact de la bonne réponse. $\frac{121}{72}$ multiplie par $\frac{11}{6}$ sans le retourner. $\frac{11}{10}$ lit $1\tfrac{5}{6}$ comme $\frac{5}{6}$ et perd l'entier. Contrôle : $\frac{11}{12}$ est bien la moitié de $\frac{11}{6}$ .

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Exercice 11

Rangez ces calculs du plus petit résultat au plus grand.

$\dfrac{1}{2} : \dfrac{3}{5}$
$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$
$\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4}$
$\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{12}$

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Réponse : $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4}$ · $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$ · $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{12}$ · $\dfrac{1}{2} : \dfrac{3}{5}$

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{1}{2} &= \frac{6}{12} \\ \ \frac{7}{12} \\ \ \frac{3}{4} &= \frac{9}{12} \\ \ \frac{5}{6} &= \frac{10}{12}\end{aligned}

les quatre résultats, au dénominateur $12$

$\frac{1}{2} < \frac{7}{12} < \frac{3}{4} < \frac{5}{6}$ . Chaque calcul est court ; c'est l'étage commun qui les range.

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Exercice 12

L'égalité $1\tfrac{1}{2} \cdot 2\tfrac{1}{3} = 2\tfrac{1}{6}$ est vraie.

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Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{3}{2} \cdot \frac{7}{3} &= \frac{7}{2} \\ &= 3\tfrac{1}{2}\end{aligned}

convertir d'abord

1 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = 2\tfrac{1}{6}

le calcul morceau par morceau

Faux. Le produit vaut $3\tfrac{1}{2}$ . $2\tfrac{1}{6}$ multiplie les entiers entre eux et les fractions entre elles.

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Exercices

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