Série 3 — dix questions · Fractions · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen, rangées de la plus rapide à la plus longue. Lancez un chrono : quinze minutes pour la série.

Cochez ou tapez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J — puis corrigez d'un bloc : comptez vos points sur dix et notez votre temps.

Huit ou plus dans le temps imparti : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le geste qui a manqué. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Avant tout calcul, soulignez de quoi chaque fraction est la fraction : « de l'ensemble », « du reste », « de ceux qui… ». Et une quantité de personnes ou d'objets tombe juste : un résultat non entier signale une fraction appliquée au mauvais tout.

Deux questions de plus, hors chrono : elles reprennent les gestes de la série sous une autre forme.

Exercices

Exercice 1

Un club de randonnée compte $156$ membres, et les $\frac{7}{13}$ des membres sont des femmes. Combien de femmes compte le club ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 84

Corrigé :

{156 : 13 = 12}

Un treizième des membres.

{7 \cdot 12 = 84}

Sept treizièmes en font sept fois plus.

$84$ femmes. Contrôle : il reste $72$ hommes, soit six treizièmes, et $84 + 72 = 156$ .

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Exercice 2

Dans un kibboutz, les $\frac{5}{9}$ des membres travaillent dans l'agriculture, et les $\frac{3}{10}$ des membres qui travaillent dans l'agriculture s'occupent des vergers. Quelle fraction de l'ensemble des membres s'occupe des vergers ?

$\dfrac{1}{6}$
$\dfrac{77}{90}$
$\dfrac{7}{18}$
$\dfrac{3}{10}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\dfrac{1}{6}$

Corrigé :

{\frac{3}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}}

La seconde fraction porte sur le groupe de l'agriculture : on multiplie. En croix, $3$ et $9$ laissent $1$ et $3$ , $5$ et $10$ laissent $1$ et $2$ .

$\frac{1}{6}$ . $\frac{3}{10}$ lit la seconde fraction comme une fraction de tout le kibboutz. $\frac{77}{90}$ additionne les deux fractions, qui ne portent pas sur le même tout. $\frac{7}{18}$ compte les membres de l'agriculture qui ne s'occupent pas des vergers : $\frac{7}{10} \cdot \frac{5}{9}$ .

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Exercice 3

Une librairie a $567$ livres en stock. Le lundi, elle vend les $\frac{4}{9}$ de son stock. Le mardi, elle vend les $\frac{5}{7}$ des livres qui lui restaient après le lundi. Combien de livres lui reste-t-il à la fin du mardi ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 90

Corrigé :

{567 \cdot \frac{5}{9} = 63 \cdot 5 = 315}

Après le lundi, il reste les cinq neuvièmes du stock.

{315 \cdot \frac{2}{7} = 45 \cdot 2 = 90}

Le mardi laisse les deux septièmes de ce reste.

{567 \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{2}{7} = 567 \cdot \frac{10}{63} = 90}

Contrôle par les restes successifs.

$90$ livres. Retirer les deux fractions du stock entier n'a pas de sens : $\frac{4}{9} + \frac{5}{7}$ dépasse $1$ , la librairie aurait vendu plus qu'elle n'avait.

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Exercice 4

On utilise les $\frac{4}{13}$ de l'eau d'un réservoir plein. Il reste alors $720$ litres dans le réservoir. Quelle est la capacité du réservoir, en litres ?

$2\,340$
$1\,040$
$221\tfrac{7}{13}$
$941\tfrac{7}{13}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $1\,040$

Corrigé :

{1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}}

Les $720$ litres sont le reste : neuf treizièmes du réservoir.

{720 : 9 = 80 \;\Rightarrow\; 13 \cdot 80 = 1\,040}

Un treizième vaut $80$ litres.

{1\,040 \cdot \frac{4}{13} = 320 \;\Rightarrow\; 1\,040 - 320 = 720}

Contrôle.

$1\,040$ litres. $2\,340$ attribue les $720$ litres à la part utilisée : $720 : \frac{4}{13}$ . $221\tfrac{7}{13}$ multiplie $720$ par $\frac{4}{13}$ au lieu de remonter au tout, et donne un réservoir plus petit que ce qu'il contient encore. $941\tfrac{7}{13}$ ajoute à $720$ les quatre treizièmes de $720$ , alors que les quatre treizièmes portent sur le réservoir plein.

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Exercice 5

Dans une bibliothèque, $\frac{7}{24}$ de l'ensemble des livres sont des romans et $\frac{1}{4}$ de l'ensemble des livres sont des bandes dessinées. Les $154$ autres livres sont des documentaires. Combien de livres compte la bibliothèque ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 336

Corrigé :

{\frac{7}{24} + \frac{1}{4} = \frac{7}{24} + \frac{6}{24} = \frac{13}{24}}

Les deux fractions portent sur tous les livres : elles s'additionnent.

{1 - \frac{13}{24} = \frac{11}{24}}

Les documentaires représentent onze vingt-quatrièmes de la bibliothèque.

{154 : 11 = 14 \;\Rightarrow\; 24 \cdot 14 = 336}

Un vingt-quatrième vaut $14$ livres.

{98 + 84 + 154 = 336}

Contrôle : $98$ romans, $84$ bandes dessinées, $154$ documentaires.

$336$ livres. Additionner les étages entre eux, $\frac{7+1}{24+4} = \frac{2}{7}$ , ferait des documentaires les cinq septièmes de la bibliothèque, et $154 : \frac{5}{7}$ ne tombe pas juste : un nombre de livres est entier.

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Exercice 6

Dans une classe, les $\frac{3}{5}$ des élèves sont des filles et les autres sont des garçons. Le tiers des filles et la moitié des garçons portent des lunettes. Laquelle de ces affirmations est nécessairement vraie ?

Autant de filles que de garçons portent des lunettes.
Plus de la moitié des élèves de la classe portent des lunettes.
Le nombre d'élèves de la classe est pair.
Plus de filles que de garçons portent des lunettes.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A Autant de filles que de garçons portent des lunettes.

Corrigé :

{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5} \qquad \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5}}

Chaque groupe à lunettes, en fraction de toute la classe : les garçons forment les $\frac{2}{5}$ restants.

{\frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} < \frac{1}{2}}

Les élèves à lunettes, en tout.

{25 \text{ élèves} \;\Rightarrow\; 15 \text{ filles},\ 10 \text{ garçons},\ 5 + 5 \text{ à lunettes}}

Une classe de $25$ élèves respecte l'énoncé, et $25$ est impair.

Autant de filles que de garçons portent des lunettes : un cinquième de la classe de chaque côté, quel que soit l'effectif. « Plus de filles » est l'intuition trompeuse : il y a plus de filles, mais une plus petite part d'entre elles porte des lunettes. « Plus de la moitié des élèves » est toujours fausse, puisque les élèves à lunettes forment les $\frac{2}{5}$ de la classe. « Un nombre pair d'élèves » est possible, mais pas nécessaire : la classe de $25$ élèves la contredit.

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Exercice 7

Les $\frac{5}{13}$ de la surface d'un terrain sont construits. Les $\frac{5}{16}$ de la surface non construite sont plantés en jardin. Quelle fraction de la surface totale du terrain est plantée en jardin ?

$\dfrac{11}{26}$
$\dfrac{5}{16}$
$\dfrac{15}{26}$
$\dfrac{5}{26}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\dfrac{5}{26}$

Corrigé :

{1 - \frac{5}{13} = \frac{8}{13}}

La surface non construite, en fraction du terrain.

{\frac{5}{16} \cdot \frac{8}{13} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{13} = \frac{5}{26}}

Le jardin prend les cinq seizièmes de ce reste ; $8$ et $16$ se simplifient en croix.

$\frac{5}{26}$ . $\frac{5}{16}$ lit la fraction du jardin comme une fraction du terrain entier. $\frac{11}{26}$ est la surface ni construite ni plantée, $\frac{11}{16} \cdot \frac{8}{13}$ . $\frac{15}{26}$ est la surface construite et le jardin réunis, $\frac{10}{26} + \frac{5}{26}$ .

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Exercice 8

Tamar prévoit un budget pour ses vacances. Elle en dépense $\frac{1}{10}$ pour le billet d'avion. Elle dépense ensuite les $\frac{2}{9}$ de ce qui lui reste après le billet pour l'hôtel. Il lui reste alors $1\,190$ shekels. Combien de shekels a coûté l'hôtel ?

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Réponse : 340

Corrigé :

{\frac{9}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{7}{10}}

Après le billet il reste $\frac{9}{10}$ du budget, et l'hôtel en laisse les $\frac{7}{9}$ : les $1\,190$ shekels sont les sept dixièmes du budget.

{1\,190 : 7 = 170 \;\Rightarrow\; 10 \cdot 170 = 1\,700}

Le budget entier.

{1\,700 \cdot \frac{9}{10} = 1\,530 \;\Rightarrow\; 1\,530 \cdot \frac{2}{9} = 340}

L'hôtel porte sur ce qui reste après le billet, soit $1\,530$ shekels.

{170 + 340 + 1\,190 = 1\,700}

Contrôle : le billet, l'hôtel et le reste.

$340$ shekels. La question demande l'hôtel, pas le budget : s'arrêter à $1\,700$ répond à une autre question. Et prendre les deux neuvièmes du budget entier donnerait $1\,700 \cdot \frac{2}{9}$ , qui ne tombe même pas sur un nombre entier de shekels : l'hôtel porte sur le reste après le billet.

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Exercice 9

Dans une entreprise, $\frac{2}{5}$ de l'ensemble des employés sont des femmes et les autres sont des hommes. Le quart des femmes et le tiers des hommes travaillent à distance, soit $57$ employés en tout. Combien d'employés compte l'entreprise ?

$228$
$114$
$285$
$190$

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Réponse : D $190$

Corrigé :

{\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{10} \qquad \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5}}

Chaque groupe à distance, en fraction de toute l'entreprise.

{\frac{1}{10} + \frac{1}{5} = \frac{3}{10}}

Rapportées au même tout, les deux parts s'additionnent.

{57 : 3 = 19 \;\Rightarrow\; 10 \cdot 19 = 190}

Trois dixièmes font $57$ employés.

{76 \cdot \frac{1}{4} + 114 \cdot \frac{1}{3} = 19 + 38 = 57}

Contrôle : $76$ femmes et $114$ hommes.

$190$ . $114$ est le nombre d'hommes : le calcul s'arrête une étape trop tôt. $285$ divise $57$ par $\frac{1}{5}$ , la part des hommes seuls, et oublie les femmes. $228$ divise $57$ par $\frac{1}{4}$ , comme si le quart portait sur toute l'entreprise et qu'aucun homme ne travaillait à distance.

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Exercice 10

Dans une urne, $\frac{1}{5}$ des billes sont rouges. Parmi les billes qui ne sont pas rouges, les $\frac{3}{8}$ sont bleues et les autres sont vertes. L'urne contient $56$ billes vertes de plus que de billes bleues. Combien de billes l'urne contient-elle ?

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Réponse : 280

Corrigé :

{1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}}

Les billes qui ne sont pas rouges, en fraction de l'urne.

{\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{10} \qquad \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{2}}

Les bleues et les vertes, chacune rapportée à toute l'urne.

{\frac{1}{2} - \frac{3}{10} = \frac{5}{10} - \frac{3}{10} = \frac{1}{5}}

L'écart entre vertes et bleues représente un cinquième de l'urne.

{56 : \frac{1}{5} = 280}

On remonte de la part au tout.

{56 + 84 + 140 = 280 \qquad 140 - 84 = 56}

Contrôle : $56$ rouges, $84$ bleues, $140$ vertes.

$280$ billes. Le « parmi les billes qui ne sont pas rouges » change le tout : les bleues sont les trois huitièmes de $224$ billes, pas de $280$ . Rapporter les trois huitièmes à toute l'urne donnerait des vertes à $\frac{4}{5} - \frac{3}{8} = \frac{17}{40}$ et un écart de $\frac{1}{20}$ seulement, soit une urne de $1\,120$ billes : un nombre quatre fois trop grand.

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Exercice 11

On dépense le tiers d'une somme, puis le tiers de ce qui reste. Il reste alors le tiers de la somme.

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Réponse : Faux

Corrigé :

\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

on multiplie les restes

Faux. Il reste $\frac{4}{9}$ , plus qu'un tiers : le second tiers porte sur un reste, plus petit que la somme.

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Exercice 12

Les $\frac{3}{8}$ d'un groupe font $24$ personnes. Complétez.

Le groupe compte ____ personnes, et ses 5/8 en font ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Le groupe compte 64 personnes, et ses 5/8 en font 40.

Corrigé :

24 : 3 = 8

un huitième du groupe

\begin{aligned}8 \cdot 8 &= 64 \qquad 5 \cdot 8 \\ &= 40\end{aligned}

le tout, puis les cinq huitièmes

$64$ , puis $40$ . Contrôle : $24 + 40 = 64$ .

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Exercices

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