Série 4 — dix questions · Fractions · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen, rangées de la plus rapide à la plus fine. Lancez un chrono : douze minutes pour la série.

Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J — puis corrigez d'un bloc : comptez vos points sur dix et notez votre temps.

Huit ou plus dans le temps imparti : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le geste qui a manqué. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Devant une expression à lettres, testez une valeur permise avant de trancher : elle écarte en quelques secondes une simplification fausse. Et pour une question « nécessairement vraie », cherchez un contre-exemple à chaque option — une valeur négative, une fraction entre $0$ et $1$ — tant que le domaine le permet.

Deux questions de plus, hors chrono : elles reprennent les gestes de la série sous une autre forme.

Exercices

Exercice 1

On sait que $x \neq 0$ . À quoi est égale l'expression $\dfrac{6x^2 - 3x}{3x}$ ?

$2x$
$2x - 1$
$6x^2 - 1$
$2x^2 - 1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $2x - 1$

Corrigé :

{6x^2 - 3x = 3x(2x - 1)}

En haut, $3x$ est commun aux deux termes : on le met en facteur.

{\frac{3x(2x - 1)}{3x} = 2x - 1}

Le facteur $3x$ figure en haut et en bas : il se barre.

{x = 2 \;\Rightarrow\; \frac{24 - 6}{6} = 3 = 2 \cdot 2 - 1}

Contrôle en une valeur permise.

$2x - 1$ . $2x$ fait disparaître le terme $-3x$ contre le dénominateur, alors que $\frac{-3x}{3x}$ vaut $-1$ et non $0$ : en $x = 2$ , elle donne $4$ au lieu de $3$ . $2x^2 - 1$ ne divise le premier terme que par $3$ , en oubliant le $x$ du dénominateur. $6x^2 - 1$ ne divise que le second terme, alors qu'un dénominateur divise tout le numérateur.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

On sait que $x \neq \frac{5}{3}$ . Quel est l'inverse de $\dfrac{x}{5} - \dfrac{1}{3}$ ?

$\dfrac{15}{x - 1}$
$\dfrac{15}{3x - 5}$
$\dfrac{5 - 3x}{15}$
$\dfrac{5}{x} - 3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\dfrac{15}{3x - 5}$

Corrigé :

{\frac{x}{5} - \frac{1}{3} = \frac{3x}{15} - \frac{5}{15} = \frac{3x - 5}{15}}

On réduit d'abord au dénominateur commun $15$ , pour n'avoir qu'une seule fraction.

{\frac{3x - 5}{15} \cdot \frac{15}{3x - 5} = 1}

Puis on la retourne. La condition $x \neq \frac{5}{3}$ garantit que $3x - 5$ n'est pas nul.

{x = 5 \;\Rightarrow\; \frac{5}{5} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \quad \text{et} \quad \frac{15}{15 - 5} = \frac{3}{2}}

Contrôle en une valeur permise : $\frac{2}{3}$ et $\frac{3}{2}$ sont bien inverses.

$\frac{15}{3x - 5}$ . $\frac{5}{x} - 3$ retourne chaque terme séparément : en $x = 5$ , elle vaut $-2$ au lieu de $\frac{3}{2}$ . $\frac{5 - 3x}{15}$ est l'opposé de l'expression, pas son inverse : en $x = 5$ , elle vaut $-\frac{2}{3}$ . $\frac{15}{x - 1}$ soustrait les numérateurs sans les avoir mis au même dénominateur, comme si $\frac{x}{5} - \frac{1}{3}$ valait $\frac{x - 1}{15}$ .

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Exercice 3

On sait que $x < y < 0$ . Laquelle de ces expressions est nécessairement négative ?

$\dfrac{y}{x - y}$
$\dfrac{x - y}{xy}$
$\dfrac{x + 1}{y}$
$\dfrac{x + y}{x}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\dfrac{x - y}{xy}$

Corrigé :

{x - y < 0 \qquad xy > 0 \qquad x + y < 0}

Le signe de chaque morceau : $x$ est plus petit que $y$ , deux négatifs donnent un produit positif, et deux négatifs une somme négative.

{\frac{x - y}{xy} = \frac{-}{+} < 0 \qquad \frac{x + y}{x} = \frac{-}{-} > 0 \qquad \frac{y}{x - y} = \frac{-}{-} > 0}

Trois quotients dont les deux étages ont un signe connu.

{x = -3,\; y = -2 \;\Rightarrow\; \frac{x + 1}{y} = 1 \qquad x = -\frac{1}{2},\; y = -\frac{1}{4} \;\Rightarrow\; \frac{x + 1}{y} = -2}

Le signe de $x + 1$ dépend de la taille de $x$ , et l'énoncé ne la donne pas.

$\frac{x - y}{xy}$ : un numérateur négatif sur un dénominateur positif. $\frac{x + y}{x}$ et $\frac{y}{x - y}$ sont toujours positives, chacune avec deux étages négatifs. $\frac{x + 1}{y}$ peut être négative, mais pas nécessairement : $x = -3$ et $y = -2$ la rendent positive.

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Exercice 4

On sait que $\dfrac{1}{4} < x < \dfrac{2}{3}$ . Quel encadrement de $\dfrac{1}{x}$ est juste ?

$-\dfrac{2}{3} < \dfrac{1}{x} < -\dfrac{1}{4}$
$\dfrac{3}{2} < \dfrac{1}{x} < 4$
$\dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{x} < \dfrac{3}{4}$
$4 < \dfrac{1}{x} < \dfrac{3}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\dfrac{3}{2} < \dfrac{1}{x} < 4$

Corrigé :

{\frac{1}{4} < x < \frac{2}{3} \;\Rightarrow\; \frac{3}{2} < \frac{1}{x} < 4}

Les deux bornes sont positives : on retourne chaque borne, et l'inégalité change de sens. La plus petite borne de $x$ donne la plus grande borne de $\frac{1}{x}$ .

{x = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; \frac{1}{x} = 2}

Contrôle : $\frac{1}{2}$ est dans l'intervalle, et $2$ est bien entre $\frac{3}{2}$ et $4$ .

$\frac{3}{2} < \frac{1}{x} < 4$ . $4 < \frac{1}{x} < \frac{3}{2}$ retourne les bornes sans changer le sens de l'inégalité : aucun nombre n'est à la fois plus grand que $4$ et plus petit que $\frac{3}{2}$ . $\frac{1}{3} < \frac{1}{x} < \frac{3}{4}$ encadre $1 - x$ , ce qui manque à $x$ pour faire $1$ , et non l'inverse. $-\frac{2}{3} < \frac{1}{x} < -\frac{1}{4}$ encadre $-x$ , l'opposé : un nombre positif a un inverse positif.

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Exercice 5

On sait que $x \neq 0$ et $x \neq 2$ . À quoi est égale l'expression $\dfrac{4 - x^2}{x^2 - 2x}$ ?

$-\dfrac{2}{x}$
$\dfrac{2 - x}{x}$
$-\dfrac{x + 2}{x}$
$\dfrac{x + 2}{x}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $-\dfrac{x + 2}{x}$

Corrigé :

{4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) \qquad x^2 - 2x = x(x - 2)}

En haut, une différence de deux carrés ; en bas, $x$ en facteur commun.

{2 - x = -(x - 2)}

Les facteurs $2 - x$ et $x - 2$ ne sont pas égaux : ils sont opposés.

{\frac{-(x - 2)(x + 2)}{x(x - 2)} = -\frac{x + 2}{x}}

Le facteur $(x - 2)$ se barre, et le signe moins reste.

{x = 1 \;\Rightarrow\; \frac{4 - 1}{1 - 2} = -3 = -\frac{1 + 2}{1}}

Contrôle en une valeur permise.

$-\frac{x + 2}{x}$ . $\frac{x + 2}{x}$ barre $2 - x$ contre $x - 2$ comme s'ils étaient égaux : en $x = 1$ , elle donne $3$ au lieu de $-3$ . $\frac{2 - x}{x}$ vient d'une erreur de signe dans le dénominateur, écrit $x(x + 2)$ , qui fait barrer $(x + 2)$ à la place de $(x - 2)$ . $-\frac{2}{x}$ barre les termes $x^2$ en haut et en bas, ce qui laisse $\frac{4}{-2x}$ : en $x = 1$ , elle vaut $-2$ .

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Exercice 6

On sait que $-1 < x < 0$ . Laquelle de ces affirmations est nécessairement vraie ?

$-\dfrac{1}{x} < 1$
$\dfrac{1}{x} < -2$
$\dfrac{1}{x^2} < 1$
$\dfrac{1}{x} < x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\dfrac{1}{x} < x$

Corrigé :

{-1 < x < 0 \;\Rightarrow\; \frac{1}{x} < -1}

Entre $-1$ et $0$ , l'inverse est négatif et plus loin de $0$ que $-1$ .

{\frac{1}{x} < -1 < x}

Donc $\frac{1}{x}$ est toujours plus petit que $x$ lui-même.

{x = -\frac{3}{4} \;\Rightarrow\; \frac{1}{x} = -\frac{4}{3} \qquad x = -\frac{1}{4} \;\Rightarrow\; \frac{1}{x} = -4}

Deux valeurs permises : la première donne un inverse plus grand que $-2$ , la seconde un inverse plus petit.

$\frac{1}{x} < x$ . $\frac{1}{x} < -2$ est possible, mais pas nécessaire : $x = -\frac{3}{4}$ donne $-\frac{4}{3}$ , plus grand que $-2$ . $\frac{1}{x^2} < 1$ est toujours fausse : $x^2$ est entre $0$ et $1$ , donc son inverse dépasse $1$ . $-\frac{1}{x} < 1$ est toujours fausse aussi : $-\frac{1}{x}$ est l'opposé d'un nombre plus petit que $-1$ , donc un nombre plus grand que $1$ .

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Exercice 7

$a$ , $b$ et $c$ sont trois nombres non nuls. On sait que $\dfrac{a}{b} < 0$ et que $\dfrac{b}{c} > 0$ . Laquelle de ces affirmations est nécessairement vraie ?

$abc > 0$
$a < 0$
$\dfrac{a}{c} < 0$
$\dfrac{b}{a} > 0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\dfrac{a}{c} < 0$

Corrigé :

{\frac{a}{b} < 0 \;\Rightarrow\; a \text{ et } b \text{ de signes contraires}}

Un quotient négatif a deux étages de signes contraires.

{\frac{b}{c} > 0 \;\Rightarrow\; b \text{ et } c \text{ de même signe}}

Un quotient positif a deux étages de même signe.

{a \text{ et } c \text{ de signes contraires} \;\Rightarrow\; \frac{a}{c} < 0}

$c$ a le signe de $b$ , donc le signe contraire de $a$ .

{a = -1,\; b = 1,\; c = 1 \;\Rightarrow\; abc = -1 \qquad a = 1,\; b = -1,\; c = -1 \;\Rightarrow\; abc = 1}

Deux triplets permis : le signe de $a$ et celui de $abc$ s'inversent d'un triplet à l'autre.

$\frac{a}{c} < 0$ . $a < 0$ est possible, mais pas nécessaire : le second triplet a $a = 1$ . $abc > 0$ non plus : le premier triplet donne $-1$ . $\frac{b}{a} > 0$ est toujours fausse : $\frac{b}{a}$ est l'inverse de $\frac{a}{b}$ , et un nombre et son inverse ont le même signe.

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Exercice 8

On sait que $x \neq 7$ . À quoi est égale l'expression $\dfrac{x^2 - 49}{14 - 2x}$ ?

$\dfrac{7 - x}{2}$
$\dfrac{x + 7}{2}$
$-\dfrac{x + 7}{2}$
$-x - 7$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $-\dfrac{x + 7}{2}$

Corrigé :

{x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7) \qquad 14 - 2x = -2(x - 7)}

En haut, une différence de deux carrés. En bas, on met $-2$ en facteur, pour faire apparaître le même facteur $(x - 7)$ qu'en haut.

{\frac{(x - 7)(x + 7)}{-2(x - 7)} = -\frac{x + 7}{2}}

Le facteur $(x - 7)$ se barre ; le $-2$ reste au dénominateur.

{x = 5 \;\Rightarrow\; \frac{25 - 49}{14 - 10} = \frac{-24}{4} = -6 = -\frac{5 + 7}{2}}

Contrôle en une valeur permise.

$-\frac{x + 7}{2}$ . $\frac{x + 7}{2}$ perd le signe : elle écrit $14 - 2x = 2(7 - x)$ , puis barre $7 - x$ contre $x - 7$ comme s'ils étaient égaux ; en $x = 5$ , elle donne $6$ au lieu de $-6$ . $\frac{7 - x}{2}$ vient d'une erreur de signe dans le dénominateur, écrit $-2(x + 7)$ , qui fait barrer $(x + 7)$ . $-x - 7$ oublie le facteur $2$ : $14 - 2x$ n'est pas $-(x - 7)$ .

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Exercice 9

On sait que $x > 1$ . Laquelle de ces affirmations est nécessairement vraie ?

$\dfrac{x + 1}{x} > \dfrac{x}{x - 1}$
$\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{x}{x + 1} > 1$
$\dfrac{x - 1}{x} < \dfrac{x}{x + 1}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\dfrac{x - 1}{x} < \dfrac{x}{x + 1}$

Corrigé :

{1 - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{x} \qquad 1 - \frac{x}{x + 1} = \frac{1}{x + 1}}

Les deux fractions sont plus petites que $1$ : on compare ce qui leur manque pour faire $1$ .

{0 < x < x + 1 \;\Rightarrow\; \frac{1}{x + 1} < \frac{1}{x}}

Même numérateur : le plus grand dénominateur donne le plus petit manque. $\frac{x}{x + 1}$ est donc la plus grande des deux.

{\frac{x + 1}{x} = 1 + \frac{1}{x} \qquad \frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}}

Même lecture pour la troisième affirmation, mais ces deux fractions dépassent $1$ . Comme $0 < x - 1 < x$ , on a $\frac{1}{x - 1} > \frac{1}{x}$ .

{x = \frac{3}{2} \;\Rightarrow\; \frac{1}{x} = \frac{2}{3} \qquad x = 4 \;\Rightarrow\; \frac{1}{x} = \frac{1}{4}}

Deux valeurs permises pour la première affirmation.

$\frac{x - 1}{x} < \frac{x}{x + 1}$ : il manque à la première une part plus grande pour faire $1$ . $\frac{1}{x} > \frac{1}{2}$ est vraie pour $x = \frac{3}{2}$ , mais pas pour $x = 4$ . $\frac{x + 1}{x} > \frac{x}{x - 1}$ est toujours fausse : $\frac{x + 1}{x}$ dépasse $1$ d'une part plus petite que $\frac{x}{x - 1}$ . $\frac{x}{x + 1} > 1$ est toujours fausse : son numérateur est plus petit que son dénominateur positif.

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Exercice 10

On sait que $-3 < x < 2$ et $x \neq 0$ . Laquelle de ces valeurs le quotient $\dfrac{2}{x}$ ne peut-il jamais atteindre, quelle que soit la valeur permise de $x$ ?

$\dfrac{3}{2}$
$-5$
$\dfrac{1}{2}$
$-1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\dfrac{1}{2}$

Corrigé :

{0 < x < 2 \;\Rightarrow\; \frac{1}{x} > \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; \frac{2}{x} > 1}

L'intervalle contient $0$ : on le coupe. Sur la partie positive, on retourne, puis on multiplie par $2$ .

{-3 < x < 0 \;\Rightarrow\; \frac{1}{x} < -\frac{1}{3} \;\Rightarrow\; \frac{2}{x} < -\frac{2}{3}}

Sur la partie négative, on retourne aussi.

{\frac{2}{x} < -\frac{2}{3} \quad \text{ou} \quad \frac{2}{x} > 1}

$\frac{2}{x}$ ne tombe jamais entre $-\frac{2}{3}$ et $1$ , et $\frac{1}{2}$ est dans ce trou.

{x = -\frac{2}{5} \to -5 \qquad x = -2 \to -1 \qquad x = \frac{4}{3} \to \frac{3}{2}}

Les trois autres valeurs sont atteintes par une valeur permise de $x$ .

$\frac{1}{2}$ . Qui passe à l'inverse d'un seul coup à travers $0$ écrit $-\frac{2}{3} < \frac{2}{x} < 1$ : cet encadrement décrit précisément les valeurs que $\frac{2}{x}$ ne prend pas, et fait croire que $\frac{1}{2}$ est la seule des quatre valeurs possibles. $-5$ vient de $x = -\frac{2}{5}$ , $-1$ de $x = -2$ , et $\frac{3}{2}$ de $x = \frac{4}{3}$ : trois valeurs de $x$ permises.

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Exercice 11

Résolvez l'équation $\dfrac{x - 1}{2} + \dfrac{x}{3} = 7$ . Combien vaut $x$ ?

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Réponse : 9

Corrigé :

3(x - 1) + 2x = 42

on multiplie chaque terme par $6$

\begin{aligned}5x - 3 &= 42 \;\Rightarrow\; x \\ &= 9\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{8}{2} + \frac{9}{3} &= 4 + 3 \\ &= 7\end{aligned}

contrôle

$9$ . Le $-1$ de la parenthèse devient $-3$ : le facteur $3$ multiplie les deux termes.

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Exercice 12

Si $0 < a < 1$ , alors $\dfrac{1}{a} > a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

0 < a < 1 \;\Rightarrow\; \frac{1}{a} > 1 > a

entre $0$ et $1$ , l'inverse dépasse $1$

Vrai. Exemple : $a = \frac{1}{4}$ donne $\frac{1}{a} = 4$ .

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Exercices

La suite se pratique sur elev