Série 5 — dix questions · Fractions · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen, au niveau des dernières questions d'une section, et rangées de la plus rapide à la plus longue. Lancez un chrono : quinze minutes pour la série.

Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J — puis corrigez d'un bloc : comptez vos points sur dix et notez votre temps.

Huit ou plus dans le temps imparti : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le geste qui a manqué. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Cinq questions sont des comparaisons quantitatives : une quantité en colonne A, une en colonne B, et toujours les quatre mêmes réponses. Quand une lettre ou une quantité inconnue est en jeu, essayez plusieurs valeurs permises — une positive, une négative, une fraction si le domaine le permet. Si deux d'entre elles donnent deux ordres différents, il est impossible de conclure avec ces seules valeurs ; sinon, montrez que l'ordre tient sur tout le domaine.

Deux questions de plus, hors chrono : elles reprennent les gestes de la série sous une autre forme.

Exercices

Exercice 1

Colonne A : $\dfrac{41}{43}$ — Colonne B : $\dfrac{43}{45}$ . Comparez la quantité de la colonne A à celle de la colonne B.

La quantité A est plus grande.
Les deux quantités sont égales.
La quantité B est plus grande.
Impossible de conclure avec ces seules valeurs.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C La quantité B est plus grande.

Corrigé :

{1 - \frac{41}{43} = \frac{2}{43} \qquad 1 - \frac{43}{45} = \frac{2}{45}}

Les deux fractions sont proches de $1$ : on compare ce qui leur manque.

{\frac{2}{45} < \frac{2}{43} \;\Rightarrow\; \frac{43}{45} > \frac{41}{43}}

Même numérateur : le manque le plus petit est celui du plus grand dénominateur, et il appartient à la plus grande fraction.

{43 \cdot 43 = 1\,849 > 1\,845 = 41 \cdot 45}

Contrôle par le produit en croix.

La quantité B est plus grande. Dans les deux fractions, le dénominateur dépasse le numérateur de $2$ : ce qui les départage est la taille des parts, et les quarante-cinquièmes sont plus petits que les quarante-troisièmes. Répondre « égales » parce que l'écart est le même confond la différence des deux étages avec la valeur de la fraction.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Combien vaut $\left(\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4}\right) : \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5}\right)$ ?

$\dfrac{6}{13}$
$\dfrac{39}{200}$
$\dfrac{13}{6}$
$\dfrac{10}{9}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\dfrac{13}{6}$

Corrigé :

{\frac{2}{5} + \frac{1}{4} = \frac{8}{20} + \frac{5}{20} = \frac{13}{20}}

La première parenthèse, au dénominateur commun $20$ .

{\frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{5}{10} - \frac{2}{10} = \frac{3}{10}}

La seconde, au dénominateur commun $10$ .

{\frac{13}{20} : \frac{3}{10} = \frac{13}{20} \cdot \frac{10}{3} = \frac{13}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{13}{6}}

On garde la première, on retourne la seconde ; $10$ et $20$ se simplifient en croix.

$\frac{13}{6}$ . Estimation : on divise plus de $\frac{1}{2}$ par moins de $\frac{1}{3}$ , donc le résultat dépasse $\frac{3}{2}$ , et une seule option le fait. $\frac{6}{13}$ retourne la première fraction au lieu de la seconde. $\frac{39}{200}$ multiplie les deux parenthèses au lieu de les diviser. $\frac{10}{9}$ additionne les étages de la première parenthèse, $\frac{2 + 1}{5 + 4} = \frac{1}{3}$ , puis divise $\frac{1}{3}$ par $\frac{3}{10}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

On sait que $x > 0$ . Colonne A : $\dfrac{x}{4} + \dfrac{x}{6}$ — Colonne B : $\dfrac{2x}{10}$ . Comparez la quantité de la colonne A à celle de la colonne B.

La quantité B est plus grande.
Impossible de conclure avec ces seules valeurs.
La quantité A est plus grande.
Les deux quantités sont égales.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C La quantité A est plus grande.

Corrigé :

{\frac{x}{4} + \frac{x}{6} = \frac{3x}{12} + \frac{2x}{12} = \frac{5x}{12}}

Au plus petit dénominateur commun, $12$ .

{\frac{5x}{12} - \frac{2x}{10} = \frac{25x}{60} - \frac{12x}{60} = \frac{13x}{60} > 0}

La différence des deux colonnes est positive pour tout $x$ positif.

{x = 60 \;\Rightarrow\; 15 + 10 = 25 > 12}

Contrôle en une valeur permise.

La quantité A est plus grande, sur tout le domaine. $\frac{2x}{10}$ est ce que donne l'addition des étages, $\frac{x + x}{4 + 6}$ : elle ressemble à la somme, et c'est pour cela qu'elle est en colonne B. La condition $x > 0$ compte : pour $x$ négatif, l'écart $\frac{13x}{60}$ changerait de signe, et la colonne B l'emporterait.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Yossi dispose d'une somme d'argent. Il en dépense les $\frac{2}{5}$ pour acheter un vélo, puis le tiers de la somme qui lui reste après cet achat pour acheter un casque. Colonne A : le prix du casque — Colonne B : la moitié du prix du vélo. Comparez la quantité de la colonne A à celle de la colonne B.

Les deux quantités sont égales.
La quantité B est plus grande.
Impossible de conclure avec ces seules valeurs.
La quantité A est plus grande.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A Les deux quantités sont égales.

Corrigé :

{1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}}

Après le vélo, il reste les trois cinquièmes de la somme.

{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5}}

Le casque : le tiers de ce reste, soit un cinquième de la somme de départ.

{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5}}

La moitié du vélo : un cinquième de la somme aussi.

{90 \cdot \frac{2}{5} = 36 \qquad 54 \cdot \frac{1}{3} = 18 = \frac{36}{2}}

Contrôle avec une somme de $90$ : le vélo coûte $36$ , il reste $54$ , et le casque et la moitié du vélo valent tous deux $18$ .

Les deux quantités sont égales, quelle que soit la somme de départ : chacune en vaut un cinquième. Le tiers a l'air plus gros que la moitié des deux cinquièmes ; mais il porte sur le reste, qui ne vaut que les trois cinquièmes de la somme. Rien n'est indéterminé ici : la somme est inconnue, mais les deux colonnes en sont la même fraction.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

Un réservoir est rempli aux $\frac{2}{3}$ de sa capacité. On utilise les $\frac{2}{9}$ de l'eau qu'il contient. Il reste alors $196$ litres dans le réservoir. Quelle est la capacité du réservoir, en litres ?

$294$
$378$
$441$
$252$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $378$

Corrigé :

{1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \qquad \frac{7}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{14}{27}}

Les $\frac{2}{9}$ portent sur l'eau, pas sur la capacité : il reste les $\frac{7}{9}$ de l'eau, qui occupait les $\frac{2}{3}$ du réservoir.

{196 : 14 = 14 \;\Rightarrow\; 27 \cdot 14 = 378}

Quatorze vingt-septièmes de la capacité font $196$ litres.

{378 \cdot \frac{2}{3} = 252 \;\Rightarrow\; 252 \cdot \frac{7}{9} = 196}

Contrôle.

$378$ litres. $252$ est l'eau que contenait le réservoir avant l'utilisation : le calcul s'arrête une étape trop tôt. $294$ divise $196$ par $\frac{2}{3}$ et oublie l'eau utilisée. $441$ lit les $\frac{2}{9}$ comme une fraction de la capacité : $196 : \left(\frac{2}{3} - \frac{2}{9}\right) = 196 : \frac{4}{9}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

On sait que $0 < a < b$ . Laquelle de ces expressions est nécessairement la plus grande des quatre ?

$\dfrac{a + 1}{b + 1}$
$\dfrac{a}{b + 1}$
$\dfrac{a + 1}{b + 2}$
$\dfrac{a}{b}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\dfrac{a + 1}{b + 1}$

Corrigé :

{1 - \frac{a}{b} = \frac{b - a}{b} \qquad 1 - \frac{a + 1}{b + 1} = \frac{b - a}{b + 1}}

Les deux fractions sont plus petites que $1$ : on compare ce qui leur manque, et le numérateur $b - a$ est le même, positif.

{\frac{b - a}{b + 1} < \frac{b - a}{b} \;\Rightarrow\; \frac{a + 1}{b + 1} > \frac{a}{b}}

Le plus grand dénominateur donne le plus petit manque.

{\frac{a}{b + 1} < \frac{a}{b} \qquad \frac{a + 1}{b + 2} < \frac{a + 1}{b + 1}}

Même numérateur positif : le plus grand dénominateur donne la plus petite fraction.

{a = 1,\; b = 3 \;\Rightarrow\; \frac{1}{4},\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{5}}

Contrôle en une paire permise, dans l'ordre des options : $\frac{a + 1}{b + 1} = \frac{1}{2}$ est bien la plus grande.

$\frac{a + 1}{b + 1}$ . Ajouter $1$ en haut et en bas d'une fraction positive plus petite que $1$ change sa valeur : la fraction se rapproche de $1$ . $\frac{a}{b + 1}$ est la plus petite des quatre. $\frac{a + 1}{b + 2}$ dépasse parfois $\frac{a}{b}$ , comme avec $a = 1$ et $b = 3$ , mais reste toujours sous $\frac{a + 1}{b + 1}$ . $\frac{a}{b}$ est toujours dépassée par $\frac{a + 1}{b + 1}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

On sait que $-1 < x < 1$ et $x \neq 0$ . Colonne A : $\dfrac{1}{x}$ — Colonne B : $x$ . Comparez la quantité de la colonne A à celle de la colonne B.

La quantité A est plus grande.
La quantité B est plus grande.
Impossible de conclure avec ces seules valeurs.
Les deux quantités sont égales.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C Impossible de conclure avec ces seules valeurs.

Corrigé :

{x = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; \frac{1}{x} = 2 > \frac{1}{2}}

Une valeur positive permise : la colonne A l'emporte.

{x = -\frac{1}{2} \;\Rightarrow\; \frac{1}{x} = -2 < -\frac{1}{2}}

Une valeur négative permise : la colonne B l'emporte.

{0 < x < 1 \;\Rightarrow\; \frac{1}{x} > 1 > x \qquad -1 < x < 0 \;\Rightarrow\; \frac{1}{x} < -1 < x}

Le choix des deux exemples n'est pas arbitraire : l'ordre est fixé sur chaque moitié du domaine, et il s'inverse d'une moitié à l'autre.

Impossible de conclure avec ces seules valeurs. Qui ne teste que des valeurs positives conclut que l'inverse est le plus grand : c'est vrai entre $0$ et $1$ , et faux entre $-1$ et $0$ . Aucune valeur permise ne rend les colonnes égales, car $\frac{1}{x} = x$ n'a lieu qu'en $1$ et en $-1$ , tous deux exclus.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

On sait que $x \neq 0$ et $x \neq 2$ . À quoi est égale l'expression $\cfrac{2}{1 - \cfrac{2}{x}}$ ?

$\dfrac{2x}{2 - x}$
$\dfrac{2x}{x - 2}$
$\dfrac{x - 2}{x}$
$\dfrac{2}{x - 2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\dfrac{2x}{x - 2}$

Corrigé :

{1 - \frac{2}{x} = \frac{x}{x} - \frac{2}{x} = \frac{x - 2}{x}}

L'étage le plus enfoui d'abord : on réduit au dénominateur $x$ .

{\cfrac{2}{\frac{x - 2}{x}} = 2 \cdot \frac{x}{x - 2} = \frac{2x}{x - 2}}

Puis $2$ divisé par une fraction : on multiplie par son inverse.

{x = 4 \;\Rightarrow\; \cfrac{2}{1 - \frac{2}{4}} = \cfrac{2}{\frac{1}{2}} = 4 = \frac{8}{4 - 2}}

Contrôle en une valeur permise.

$\frac{2x}{x - 2}$ . $\frac{x - 2}{x}$ s'arrête avant le dernier geste : c'est la valeur du dénominateur, pas celle de la fraction. $\frac{2x}{2 - x}$ écrit $1 - \frac{2}{x} = \frac{2 - x}{x}$ , une erreur de signe : en $x = 4$ , elle donne $-4$ . $\frac{2}{x - 2}$ réduit $1 - \frac{2}{x}$ à $x - 2$ en perdant son dénominateur : en $x = 4$ , elle donne $1$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

$x$ et $y$ sont deux nombres non nuls, et $\dfrac{x}{y} > 1$ . Laquelle de ces affirmations est nécessairement vraie ?

$x > 0$
$\dfrac{x - y}{y} < 0$
$x > y$
$0 < \dfrac{y}{x} < 1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $0 < \dfrac{y}{x} < 1$

Corrigé :

{\frac{x}{y} > 1 > 0 \;\Rightarrow\; x \text{ et } y \text{ de même signe}}

Un quotient positif a deux étages de même signe.

{\frac{y}{x} = \cfrac{1}{\frac{x}{y}} \qquad \frac{x}{y} > 1 \;\Rightarrow\; 0 < \frac{y}{x} < 1}

$\frac{y}{x}$ est l'inverse de $\frac{x}{y}$ , et l'inverse d'un nombre plus grand que $1$ est positif et plus petit que $1$ .

{x = -6,\; y = -2 \;\Rightarrow\; \frac{x}{y} = 3 \quad \text{mais} \quad x < y \quad \text{et} \quad x < 0}

Une paire négative permise contredit deux affirmations.

{\frac{x - y}{y} = \frac{x}{y} - 1 > 0}

On coupe la fraction en deux : la dernière affirmation est toujours fausse.

$0 < \frac{y}{x} < 1$ . $x > y$ vient du réflexe « on multiplie les deux membres par $y$ », qui ne garde le sens de l'inégalité que si $y$ est positif : $x = -6$ et $y = -2$ la contredisent. $x > 0$ tombe avec la même paire. $\frac{x - y}{y} < 0$ est toujours fausse, puisque $\frac{x - y}{y} = \frac{x}{y} - 1$ est positive.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

Dans un club, les $\frac{3}{5}$ des membres sont des femmes et les autres sont des hommes. Certains membres jouent aux échecs. Parmi les femmes, la fraction de celles qui jouent aux échecs est plus petite que, parmi les hommes, la fraction de ceux qui y jouent. Colonne A : le nombre de femmes du club qui jouent aux échecs — Colonne B : le nombre d'hommes du club qui jouent aux échecs. Comparez la quantité de la colonne A à celle de la colonne B.

La quantité A est plus grande.
Les deux quantités sont égales.
La quantité B est plus grande.
Impossible de conclure avec ces seules valeurs.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D Impossible de conclure avec ces seules valeurs.

Corrigé :

{\frac{3}{5}\,p \quad \text{contre} \quad \frac{2}{5}\,q \qquad (p < q)}

Appelons $p$ la fraction des femmes qui jouent, et $q$ celle des hommes. Rapportées à tout le club, les deux colonnes valent ces deux produits.

{25 \text{ membres} \;\Rightarrow\; 15 \text{ femmes},\ 10 \text{ hommes}}

Un club de $25$ membres respecte l'énoncé.

{9 \text{ femmes sur } 15,\ 8 \text{ hommes sur } 10 \;\Rightarrow\; \frac{3}{5} < \frac{4}{5} \quad \text{et} \quad 9 > 8}

Premier cas : la fraction des femmes est plus petite, et pourtant la colonne A l'emporte.

{3 \text{ femmes sur } 15,\ 8 \text{ hommes sur } 10 \;\Rightarrow\; \frac{1}{5} < \frac{4}{5} \quad \text{et} \quad 3 < 8}

Second cas, dans le même club : la colonne B l'emporte.

Impossible de conclure avec ces seules valeurs. « Une plus petite fraction » ne veut pas dire « un plus petit nombre » : les femmes sont plus nombreuses, et une fraction un peu plus petite d'un groupe plus grand peut encore faire plus de joueuses. Les deux cas du corrigé, dans le même club de $25$ membres, donnent deux ordres différents. La colonne B ne l'emporte que si la fraction des femmes est plus petite que les deux tiers de celle des hommes.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

Le nombre $\cfrac{1}{1 - \cfrac{1}{3}}$ s'écrit sous forme irréductible $\dfrac{a}{b}$ . Combien vaut $a + b$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

l'étage du bas

1 : \frac{2}{3} = \frac{3}{2}

puis on retourne

$5$ , car le nombre vaut $\frac{3}{2}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

Pour tout $x$ , $\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{6} = \dfrac{x}{2}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{2x}{6} + \frac{x}{6} &= \frac{3x}{6} \\ &= \frac{x}{2}\end{aligned}

au dénominateur $6$

Vrai. Le même $x$ , réparti en tiers et en sixièmes, fait une moitié.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev