On résout ensemble

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Cinq questions du style de l'examen, une par déguisement d'identité : la somme et le produit, la différence de deux carrés, le nombre et son inverse, les racines conjuguées, la fraction qui se factorise. Chacune est d'abord déroulée avec vous, une étape par clic, puis vous attend en bas de page sous une forme jumelle.

Avant chaque clic, dites ce que vous feriez. C'est l'écart entre votre réflexe et l'étape qui apparaît qui vous apprend quelque chose.

Aucune des cinq scènes ne commence par chercher les inconnues : quand l'une d'elles en a besoin, elle passe d'abord par l'identité. C'est le point commun de toute la famille : si vous commencez par chercher aa et bb séparément, vous avez manqué l'identité.

1 — Somme et produit : les quatre rectangles

À vous, avec d'autres nombres : retirez les quatre rectangles.

Votre question jumelle : la première de la liste, en bas de page.

2 — La différence de deux carrés est un rectangle

Quand xx et yy sont entiers, la même image devient une liste : toutes les façons d'écrire le nombre comme un produit.

Votre question jumelle : la deuxième de la liste.

3 — Un nombre et son inverse

Votre question jumelle : la troisième de la liste.

4 — Deux conjugués dont le produit vaut 1

Avec un plus au dénominateur, le conjugué porte un moins. Essayez.

Votre question jumelle : la quatrième de la liste.

5 — Factoriser avant de remplacer

La même factorisation, à faire vous-même sur une autre fraction.

Votre question jumelle : la cinquième de la liste.

À vous, sans aide

Cinq questions de plus, une par déguisement, sans scène pour vous guider.

Si vos cinq jumelles tombent juste, le chapitre est acquis : les cinq séries qui suivent varient l'habillage de ces gestes, et les mélangent.

Exercices

Exercice 1

On sait que a+b=13a + b = 13, que ab=30ab = 30 et que a>ba > b. Combien vaut a−ba - b ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

(a−b)2=(a+b)2−4ab{(a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4ab}

Le grand carré moins les quatre rectangles.

=132−4⋅30=169−120=49{= 13^{2} - 4 \cdot 30 = 169 - 120 = 49}

On remplace.

a−b=7{a - b = 7}

Positif, puisque a>ba > b.

77. Si l'énoncé n'avait pas précisé a>ba > b, on ne pourrait pas choisir entre 77 et −7-7.

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Exercice 2

xx et yy sont positifs, x2−y2=77x^{2} - y^{2} = 77 et x+y=11x + y = 11. Combien vaut yy ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

(x+y)(x−y)=77{(x + y)(x - y) = 77}

La différence de carrés.

x−y=7711=7{x - y = \dfrac{77}{11} = 7}

Un facteur connu livre l'autre.

y=11−72=2{y = \dfrac{11 - 7}{2} = 2}

La demi-différence de la somme et de la différence.

22. Et x=9x = 9 : vérification, 81−4=7781 - 4 = 77.

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Exercice 3

On sait que x+1x=4x + \dfrac{1}{x} = 4. Combien vaut x2+1x2x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14

Corrigé :

(x+1x)2=x2+2+1x2=16{\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} + 2 + \dfrac{1}{x^{2}} = 16}

Au carré ; le terme croisé vaut +2+2.

x2+1x2=14{x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = 14}

On retranche 2.

1414. Avec un plus dans la donnée, on retranche 2 ; avec un moins, comme dans la scène, on l'ajoute.

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Exercice 4

Combien vaut 110−3−110+3\dfrac{1}{\sqrt{10} - 3} - \dfrac{1}{\sqrt{10} + 3} ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

(10−3)(10+3)=10−9=1{(\sqrt{10} - 3)(\sqrt{10} + 3) = 10 - 9 = 1}

Le produit des conjugués : 3=93 = \sqrt{9}.

(10+3)−(10−3)=6{(\sqrt{10} + 3) - (\sqrt{10} - 3) = 6}

Chaque fraction vaut le conjugué de son dénominateur.

66. Le nombre 33 joue le rôle de 9\sqrt{9} : un nombre positif est toujours la racine de son carré.

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Exercice 5

Combien vaut x2−16x2+8x+16\dfrac{x^{2} - 16}{x^{2} + 8x + 16} pour x=996x = 996 ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.992

Corrigé :

(x−4)(x+4)(x+4)2=x−4x+4{\dfrac{(x - 4)(x + 4)}{(x + 4)^{2}} = \dfrac{x - 4}{x + 4}}

Différence de carrés en haut, carré parfait en bas.

x=996:9921000=0,992{x = 996 : \dfrac{992}{1000} = 0{,}992}

On remplace à la fin.

0,9920{,}992. 996+4=1000996 + 4 = 1000 : c'est la valeur ronde que l'énoncé cachait.

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Exercice 6

On sait que a+b=9a + b = 9, que ab=14ab = 14 et que a<ba < b. Combien vaut a−ba - b ?

  1. 2525
  2. 55
  3. −5-5
  4. 53\sqrt{53}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C −5-5

Corrigé :

(a−b)2=(a+b)2−4ab=81−4⋅14=25\begin{aligned}(a - b)^{2} &= (a + b)^{2} - 4ab \\ &= 81 - 4 \cdot 14 \\ &= 25\end{aligned}

Les quatre rectangles retirés.

a−b=±5a<b⇒a−b=−5\begin{aligned}a - b &= \pm 5 \\ \quad a < b \Rightarrow a - b &= -5\end{aligned}

L'énoncé tranche le signe.

La bonne réponse : « −5-5 ». « 55 » oublie que a<ba < b ; « 2525 » s'arrête au carré ; « 53\sqrt{53} » retire deux rectangles au lieu de quatre (81−28=5381 - 28 = 53).

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Exercice 7

xx et yy sont des entiers positifs, et x2−y2=60x^{2} - y^{2} = 60. Alors nécessairement x+y=30x + y = 30.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

60=2×30=6×10\begin{aligned}60 &= 2 \times 30 \\ &= 6 \times 10\end{aligned}

Les seules écritures de même parité.

(16,14)et(8,2)(16, 14) \quad \text{et} \quad (8, 2)

Deux couples : x+yx + y vaut 3030 ou 1010.

Faux. Le couple (8,2)(8, 2) donne 64−4=6064 - 4 = 60 avec x+y=10x + y = 10. Une seule contre-valeur suffit.

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Exercice 8

Complétez.

Si x−1x=3x - \dfrac{1}{x} = 3, alors x2+1x2=x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Si x−1x=3x - \dfrac{1}{x} = 3, alors x2+1x2=x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = 11.

Corrigé :

(x−1x)2=x2−2+1x2=9\begin{aligned}\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^{2} &= x^{2} - 2 + \dfrac{1}{x^{2}} \\ &= 9\end{aligned}

Avec un moins, le double produit vaut −2-2.

x2+1x2=11x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = 11

On ajoute 22.

1111. Le piège est 77 : retirer 22 comme avec un plus.

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Exercice 9

25−3=?\dfrac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = ?

  1. 2(5+3)2(\sqrt{5} + \sqrt{3})
  2. 5+3\sqrt{5} + \sqrt{3}
  3. 5+32\dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}
  4. 5−3\sqrt{5} - \sqrt{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 5+3\sqrt{5} + \sqrt{3}

Corrigé :

2(5+3)(5−3)(5+3)\dfrac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}

On multiplie par le conjugué.

=2(5+3)5−3=5+3= \dfrac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} = \sqrt{5} + \sqrt{3}

Le bas vaut 22, il se simplifie.

La bonne réponse : « 5+3\sqrt{5} + \sqrt{3} ». « 2(5+3)2(\sqrt{5} + \sqrt{3}) » oublie de diviser par 5−35 - 3 ; « 5−3\sqrt{5} - \sqrt{3} » garde le signe du dénominateur.

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Exercice 10

Combien vaut x2−4x2−4x+4\dfrac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4x + 4} pour x=102x = 102 ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.04

Corrigé :

(x−2)(x+2)(x−2)2=x+2x−2\dfrac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)^{2}} = \dfrac{x + 2}{x - 2}

On factorise, puis on barre x−2x - 2.

x=102:104100=1.04\begin{aligned}x &= 102 : \quad \dfrac{104}{100} \\ &= 1.04\end{aligned}

Les nombres deviennent ronds.

1.041.04. Remplacer avant de factoriser demandait 1022102^{2} deux fois.

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