Les identités remarquables

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Les identités remarquables sont imprimées sur la page de formules de l'examen, à chaque session depuis 2009.

Pourtant, les questions qui s'en servent restent parmi les plus ratées : une ou deux par session. La raison : presque aucune ne dit « développez ».

Elles demandent de simplifier une fraction, de résoudre une équation, de dire ce qui est « nécessairement » positif, de trouver des entiers, de relier une somme et un produit.

C'est à vous de voir l'identité cachée. Ce cours vous apprend à la reconnaître sous huit déguisements.

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2ab + b^{2}

le carré d'une somme ou d'une différence

(a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}

la différence de deux carrés

Geste 1 — développer sans perdre le double produit

Le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés. Regardez ce carré de côté a+ba + b, et touchez ses morceaux.

Entre a2a^{2} et b2b^{2}, il y a toujours deux rectangles a×ba \times b. C'est le double produit 2ab2ab, le terme le plus oublié du sujet.

Avec des coefficients, on nomme d'abord les deux termes. Puis on remplit les trois cases, dans l'ordre.

Trois erreurs qui fabriquent à elles seules la plupart des distracteurs :

(a+b)2=a2+b2(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}

Essayez a=b=1a = b = 1 : à gauche 44, à droite 22. Un seul exemple suffit à démasquer la fausse formule.

(3x)2=3x2(3x)^{2} = 3x^{2}
(3x)2=9x2(3x)^{2} = 9x^{2}

Le carré porte sur toute la parenthèse, coefficient compris.

(a−b)2=a2−b2(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}
(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}

Le signe moins ne touche que le double produit ; b2b^{2} reste positif.

Un carré efface le signe : (a−b)2=(b−a)2(a - b)^{2} = (b - a)^{2}, et (−a−b)2=(a+b)2(-a - b)^{2} = (a + b)^{2}.

Le cube, lui, garde le signe : (a−b)3=−(b−a)3(a - b)^{3} = -(b - a)^{3}. L'examen s'en sert comme piège.

Que vaut (x+5)2−(x−5)2(x + 5)^{2} - (x - 5)^{2} ?

Voir la réponse et le corrigé

Les x2x^{2} et les 2525 s'annulent, il ne reste que les deux doubles produits : 10x−(−10x)=20x10x - (-10x) = 20x. C'est la forme générale (a+b)2−(a−b)2=4ab(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4ab, avec a=xa = x et b=5b = 5.

Geste 2 — lire à l'envers : factoriser

À l'examen, on lit les identités de droite à gauche bien plus souvent que l'inverse. Deux formes à repérer d'un coup d'œil :

A2−B2A^{2} - B^{2}

deux carrés séparés par un moins → (A + B)(A − B)

A2±2AB+B2A^{2} \pm 2AB + B^{2}

trois termes dont deux carrés → (A ± B)²

Pour la seconde forme, le test est mécanique. Repérez les deux carrés, et prenez leurs racines AA et BB.

Puis vérifiez que le terme du milieu vaut exactement 2AB2AB. Sinon, ce n'est pas un carré parfait.

Une fraction se simplifie de la même façon. On factorise en haut, puis en bas, puis on barre un facteur commun.

La simplification illégale :

x2−9x−3=x−3\dfrac{x^{2} - 9}{x - 3} = x - 3
x2−9x−3=x+3(x≠3)\dfrac{x^{2} - 9}{x - 3} = x + 3 \quad (x \neq 3)

On ne simplifie pas des morceaux de somme : on factorise d'abord, puis on barre un FACTEUR. Et le facteur barré garde sa condition : la fraction de départ n'existe pas pour x=3x = 3.

Un signe à ne pas perdre : b−a=−(a−b)b - a = -(a - b).

Donc (a−b)2b−a=−(a−b)=b−a\dfrac{(a - b)^{2}}{b - a} = -(a - b) = b - a. L'examen aime cette fraction : la moitié des candidats répondent a−ba - b.

Geste 3 — un carré ne dit pas le signe

Deux carrés égaux ne font pas deux nombres égaux.

C'est le piège le plus rentable de l'examen. Il se cache dans des équations d'apparence banale.

A2=B2  ⟺  (A−B)(A+B)=0  ⟺  A=B ou A=−B\begin{aligned}A^{2} &= B^{2} \iff (A - B)(A + B) \\ &= 0 \iff A \\ &= B \ \text{ou} \ A \\ &= -B\end{aligned}

on factorise au lieu de « prendre la racine »

Même réflexe devant (a+b)2=a2+b2(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} : il ne reste que 2ab=02ab = 0, donc a=0a = 0 ou b=0b = 0.

Et devant xy=yx\dfrac{x}{y} = \dfrac{y}{x} : x2=y2x^{2} = y^{2}, donc x=yx = y ou x=−yx = -y. Si l'énoncé exclut x=yx = y, c'est que x+y=0x + y = 0.

Geste 4 — somme, différence, produit : connaître deux, trouver le reste

L'énoncé donne deux quantités parmi a+ba + b, a−ba - b, abab, a2+b2a^{2} + b^{2}, a2−b2a^{2} - b^{2}. Il en demande une troisième.

On ne cherche jamais aa et bb : ils sont souvent irrationnels, et le calcul exploserait.

a2+b2=(a+b)2−2aba^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab

la somme des carrés

(a−b)2=(a+b)2−4ab(a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4ab

entre les deux carrés, quatre rectangles

a2−b2=(a+b)(a−b)a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)

et la différence des carrés relie tout

Deux données, une troisième quantité

On sait que a−b=3a - b = 3 et a2+b2=29a^{2} + b^{2} = 29. Combien vaut abab ?

(a−b)2=a2+b2−2ab(a - b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab

L'identité qui contient les trois quantités à la fois.

9=29−2ab9 = 29 - 2ab

On remplace ce qu'on connaît.

ab=10ab = 10

Et on isole. Aucune racine n'a été calculée.

Le carré ne donne pas le signe. Si (a−b)2=25(a - b)^{2} = 25, alors a−b=5a - b = 5 ou a−b=−5a - b = -5.

Cherchez la phrase qui tranche : « a>ba > b », « bb est le plus petit des deux ». S'il n'y en a pas, la bonne option est souvent « impossible à déterminer ».

Geste 5 — un carré est positif : les questions de signe

Presque toutes les questions « laquelle est nécessairement vraie » reposent sur une seule phrase :

Un carré n'est jamais négatif, et il n'est nul que si ce qu'il élève est nul. L'identité sert à faire apparaître ce carré.

a2+b2−2ab=(a−b)2≥0a^{2} + b^{2} - 2ab = (a - b)^{2} \geq 0

donc a² + b² ≥ 2ab, avec égalité seulement si a = b

(a+b)2−4ab=(a−b)2(a + b)^{2} - 4ab = (a - b)^{2}

strictement positif dès que a ≠ b

x+1x−2=(x−1)2xx + \dfrac{1}{x} - 2 = \dfrac{(x - 1)^{2}}{x}

pour x > 0 : x + 1/x ≥ 2

Pour le signe d'une différence de carrés, on factorise : a2−b2=(a−b)(a+b)a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b), et on lit le signe de chaque facteur.

Ainsi (1−n)(1+n)(1 - n)(1 + n) est négatif pour tout entier n>1n > 1, mais (n−1)(n+1)(n - 1)(n + 1) est positif : l'ordre des termes change le signe.

Deux lectures trop rapides :

a2+b2>2ab toujoursa^{2} + b^{2} > 2ab \ \text{toujours}
a2+b2≥2aba^{2} + b^{2} \geq 2ab

L'inégalité est stricte seulement si a≠ba \neq b : l'examen place les deux versions en option.

b2<1  ⟺  b<1b^{2} < 1 \iff b < 1
b2<1  ⟺  −1<b<1b^{2} < 1 \iff -1 < b < 1

Une inégalité de carrés garde deux bornes — la négative s'oublie : b=−5b = -5 vérifie b<1b < 1, et pourtant b2=25b^{2} = 25.

Geste 6 — les nombres entiers

Quand xx et yy sont entiers, x2−y2=(x−y)(x+y)x^{2} - y^{2} = (x - y)(x + y) est un produit de deux entiers.

On liste alors les façons d'écrire le nombre donné comme un produit.

x−yx - y et x+yx + y ont toujours la même parité : leur somme vaut 2x2x, un nombre pair.

Si x2−y2x^{2} - y^{2} est un nombre premier pp, avec x>y>0x > y > 0, la seule écriture est 1×p1 \times p : x−y=1x - y = 1 et x+y=px + y = p.

Un entier n>1n > 1 peut-il rendre n2+2nn^{2} + 2n carré parfait ?

Voir la réponse et le corrigé

Non : n2<n2+2n<n2+2n+1=(n+1)2n^{2} < n^{2} + 2n < n^{2} + 2n + 1 = (n + 1)^{2}. Le nombre tombe strictement entre deux carrés consécutifs, et il n'y a aucun carré entre les deux.

Geste 7 — un nombre et son inverse

Devant x+1xx + \dfrac{1}{x}, n'essayez pas de trouver xx. Élevez au carré.

Le double produit vaut 2⋅x⋅1x=22 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x} = 2 : une simple constante.

(x+1x)2=x2+1x2+2\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} + 2

et avec un moins, le 2 change de signe

Si x+1x=3x + \dfrac{1}{x} = 3, que vaut x2+1x2x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} ?

Voir la réponse et le corrigé

On élève au carré : 9=x2+1x2+29 = x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} + 2, donc x2+1x2=7x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = 7. Et si on recommence : 49=x4+1x4+249 = x^{4} + \dfrac{1}{x^{4}} + 2, donc x4+1x4=47x^{4} + \dfrac{1}{x^{4}} = 47.

Geste 8 — les racines conjuguées

p+q\sqrt{p} + \sqrt{q} et p−q\sqrt{p} - \sqrt{q} sont conjugués : leur produit est une différence de carrés, et les racines disparaissent.

(p+q)(p−q)=p−q(\sqrt{p} + \sqrt{q})(\sqrt{p} - \sqrt{q}) = p - q

Écrivez 47−3\dfrac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} sans racine au dénominateur. Par quoi multiplier ?

Et le carré d'une somme de racines garde, lui, un double produit : (5+3)2=8+215(\sqrt{5} + \sqrt{3})^{2} = 8 + 2\sqrt{15}, jamais 88.

L'ordre des réflexes, quand la question tombe

A2−B2A^{2} - B^{2}

1. Deux carrés et un moins : factorisez.

A2±2AB+B2A^{2} \pm 2AB + B^{2}

2. Trois termes dont deux carrés : vérifiez le double produit.

A2=B2A^{2} = B^{2}

3. Deux carrés égaux : factorisez, et gardez les deux cas.

a+b, a−b, aba + b, \ a - b, \ ab

4. Des données de ce genre : écrivez l'identité qui les relie, avant tout calcul.

≥0 ?\geq 0 \ ?

5. « Nécessairement » : cherchez le carré caché, et demandez-vous s'il peut être nul.

(x−y)(x+y)(x - y)(x + y)

6. Des entiers : écrivez ce produit.

x+1xx + \dfrac{1}{x}

7. Un nombre et son inverse : élevez au carré.

1p−q\dfrac{1}{\sqrt{p} - \sqrt{q}}

8. Une racine en bas : le conjugué.

Exercices

Exercice 1

(2a−3)2=?(2a - 3)^{2} = ?

  1. 4a2−6a+94a^{2} - 6a + 9
  2. 2a2−12a+92a^{2} - 12a + 9
  3. 4a2−94a^{2} - 9
  4. 4a2−12a+94a^{2} - 12a + 9
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 4a2−12a+94a^{2} - 12a + 9

Corrigé :

(2a)2−2⋅2a⋅3+32{(2a)^{2} - 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^{2}}

L'identité de la différence, avec A=2aA = 2a et B=3B = 3.

=4a2−12a+9{= 4a^{2} - 12a + 9}

Le coefficient 2 s'élève au carré avec la lettre.

La bonne réponse : « 4a2−12a+94a^{2} - 12a + 9 ». « 4a2−94a^{2} - 9 » oublie le double produit ; « 2a2−12a+92a^{2} - 12a + 9 » oublie d'élever le coefficient au carré ; « 4a2−6a+94a^{2} - 6a + 9 » compte le produit une seule fois au lieu de deux.

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Exercice 2

Calculez 872−13274\dfrac{87^{2} - 13^{2}}{74}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 100

Corrigé :

872−132=(87+13)(87−13){87^{2} - 13^{2} = (87 + 13)(87 - 13)}

Deux carrés séparés par un moins.

=100×74{= 100 \times 74}

La somme est ronde, et la différence est exactement le dénominateur.

100×7474=100{\dfrac{100 \times 74}{74} = 100}

Le quotient tombe.

100100. Le dénominateur 74=87−1374 = 87 - 13 était l'indice : l'énoncé vous tendait la factorisation.

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Exercice 3

On sait que a+b=10a + b = 10 et ab=16ab = 16. Combien vaut a2+b2a^{2} + b^{2} ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 68

Corrigé :

a2+b2=(a+b)2−2ab{a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab}

La somme des carrés, sans chercher aa ni bb.

=102−2⋅16=100−32=68{= 10^{2} - 2 \cdot 16 = 100 - 32 = 68}

On remplace.

6868. 100100 serait la réponse en oubliant le double produit : c'est (a+b)2(a + b)^{2}, pas a2+b2a^{2} + b^{2}.

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Exercice 4

Si x−1x=4x - \dfrac{1}{x} = 4, combien vaut x2+1x2x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} ?

  1. 1818
  2. 2020
  3. 1616
  4. 1414
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 1818

Corrigé :

(x−1x)2=x2−2+1x2=16{\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} - 2 + \dfrac{1}{x^{2}} = 16}

On élève au carré ; le double produit vaut −2-2.

x2+1x2=18{x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = 18}

On ajoute 2.

La bonne réponse : « 1818 ». « 1414 » est ce qu'on obtient avec une somme x+1xx + \dfrac{1}{x} : on retranche 2 au lieu de l'ajouter. « 1616 » oublie le double produit.

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Exercice 5

Combien vaut (11+2)(11−2)(\sqrt{11} + \sqrt{2})(\sqrt{11} - \sqrt{2}) ?

  1. 9\sqrt{9}
  2. 99
  3. 11−222+211 - 2\sqrt{22} + 2
  4. 1313
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 99

Corrigé :

(11)2−(2)2{(\sqrt{11})^{2} - (\sqrt{2})^{2}}

Deux conjugués : la différence de carrés.

=11−2=9{= 11 - 2 = 9}

Les racines disparaissent.

La bonne réponse : « 99 ». « 9\sqrt{9} » vaut 33 : c'est la racine de la bonne réponse. « 1313 » additionne les carrés. La dernière option est le développement de (11−2)2(\sqrt{11} - \sqrt{2})^{2}, un carré et non un produit de conjugués.

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Exercice 6

aa et bb sont deux nombres différents. Que vaut a2−2ab+b2b−a\dfrac{a^{2} - 2ab + b^{2}}{b - a} ?

  1. a+ba + b
  2. −(a+b)-(a + b)
  3. a−ba - b
  4. b−ab - a
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D b−ab - a

Corrigé :

a2−2ab+b2=(a−b)2=(b−a)2{a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2} = (b - a)^{2}}

Un carré efface le signe : on peut l'écrire avec b−ab - a.

(b−a)2b−a=b−a{\dfrac{(b - a)^{2}}{b - a} = b - a}

On simplifie par le facteur b−ab - a, non nul puisque a≠ba \neq b.

La bonne réponse : « b−ab - a ». « a−ba - b » est le piège : c'est ce qu'on obtient en simplifiant (a−b)2(a - b)^{2} par b−ab - a comme si c'était a−ba - b. Or b−a=−(a−b)b - a = -(a - b), et ce signe ne disparaît pas.

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Exercice 7

Pour tout nombre xx, (x+3)2=x2+9(x + 3)^{2} = x^{2} + 9.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

(x+3)2=x2+6x+9(x + 3)^{2} = x^{2} + 6x + 9

Le double produit 2⋅x⋅3=6x2 \cdot x \cdot 3 = 6x manque à droite.

x=1:16≠10x = 1 : \quad 16 \neq 10

Une seule valeur suffit à le voir.

Faux. C'est l'oubli du double produit : les deux côtés ne sont égaux que pour x=0x = 0.

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Exercice 8

Complétez le développement.

(5x−2)2=(5x - 2)^{2} = ____ x2−x^{2} - ____ x+x + ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (5x−2)2=(5x - 2)^{2} = 25 x2−x^{2} - 20 x+x + 4

Corrigé :

(5x)2=25x2(5x)^{2} = 25x^{2}

Le coefficient s'élève au carré.

2⋅5x⋅2=20x2 \cdot 5x \cdot 2 = 20x

Le double produit, avec le signe moins.

22=42^{2} = 4

Le dernier carré, positif.

25, 20 et 4. Les deux pièges : 5x25x^{2} au lieu de 25x225x^{2}, et 10x10x (le produit compté une fois).

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Exercice 9

Rangez chaque trinôme.

  • carré parfait
  • pas un carré
  • 16x2+8x+116x^{2} + 8x + 1
  • 4x2+6x+94x^{2} + 6x + 9
  • 9x2+30x+259x^{2} + 30x + 25
  • x2−8x+16x^{2} - 8x + 16
  • x2+4x−4x^{2} + 4x - 4
  • x2+5x+25x^{2} + 5x + 25
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9x2+30x+259x^{2} + 30x + 25 — carré parfait · x2−8x+16x^{2} - 8x + 16 — carré parfait · 4x2+6x+94x^{2} + 6x + 9 — pas un carré · x2+4x−4x^{2} + 4x - 4 — pas un carré · 16x2+8x+116x^{2} + 8x + 1 — carré parfait · x2+5x+25x^{2} + 5x + 25 — pas un carré

Corrigé :

9x2+30x+25=(3x+5)29x^{2} + 30x + 25 = (3x + 5)^{2}

2⋅3x⋅5=30x2 \cdot 3x \cdot 5 = 30x : le milieu tient.

4x2+6x+9:2⋅2x⋅3=12x≠6x4x^{2} + 6x + 9 : \quad 2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x \neq 6x

Deux carrés aux bouts, mais le milieu ne tient pas.

x2+4x−4x^{2} + 4x - 4

Le dernier terme est négatif : ce n'est pas un carré.

Trois carrés parfaits : (3x+5)2(3x + 5)^{2}, (x−4)2(x - 4)^{2} et (4x+1)2(4x + 1)^{2}. Le piège est 4x2+6x+94x^{2} + 6x + 9 : deux carrés aux bouts ne suffisent pas, il faut 12x12x au milieu.

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Exercice 10

Résolvez (x+1)2=(x−5)2(x + 1)^{2} = (x - 5)^{2}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

(x+1−x+5)(x+1+x−5)=0(x + 1 - x + 5)(x + 1 + x - 5) = 0

La différence de deux carrés, lue à l'envers.

6⋅(2x−4)=06 \cdot (2x - 4) = 0

Le premier facteur vaut 66, jamais nul : un seul cas reste.

x=2x = 2

Vérification : 32=(−3)23^{2} = (-3)^{2}.

22. Ici, le cas « côtés égaux » (x+1=x−5x + 1 = x - 5) est impossible : il ne reste que les côtés opposés.

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Exercice 11

Si a2=9a^{2} = 9, alors a=3a = 3.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

a2−9=(a−3)(a+3)=0\begin{aligned}a^{2} - 9 &= (a - 3)(a + 3) \\ &= 0\end{aligned}

On factorise.

a=3 ou a=−3\begin{aligned}a &= 3 \ \text{ou} \ a \\ &= -3\end{aligned}

Deux nombres opposés ont le même carré.

Faux. aa peut aussi valoir −3-3. Seule une phrase de l'énoncé (« aa est positif ») trancherait.

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Exercice 12

On sait que a−b=4a - b = 4 et ab=5ab = 5. Combien vaut a2+b2a^{2} + b^{2} ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 26

Corrigé :

a2+b2=(a−b)2+2aba^{2} + b^{2} = (a - b)^{2} + 2ab

La somme des carrés, depuis la différence.

=16+10=26= 16 + 10 = 26

On remplace.

2626. Avec la différence, le double produit s'ajoute : 16−10=616 - 10 = 6 est le piège du signe.

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Exercice 13

Pour tout nombre xx, x2+1>2xx^{2} + 1 > 2x.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x2+1−2x=(x−1)2≥0x^{2} + 1 - 2x = (x - 1)^{2} \geq 0

Le carré caché.

x=1:2=2\begin{aligned}x &= 1 : \quad 2 \\ &= 2\end{aligned}

Le carré est nul pour x=1x = 1 : l'inégalité stricte tombe.

Faux. x2+1≥2xx^{2} + 1 \geq 2x est toujours vrai, mais pas strictement : égalité pour x=1x = 1.

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Exercice 14

Combien de couples d'entiers positifs (x,y)(x, y) vérifient x2−y2=15x^{2} - y^{2} = 15 ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

(x−y)(x+y)=15=1×15=3×5\begin{aligned}(x - y)(x + y) &= 15 \\ &= 1 \times 15 \\ &= 3 \times 5\end{aligned}

Les deux écritures, le petit facteur d'abord.

(8,7)et(4,1)(8, 7) \quad \text{et} \quad (4, 1)

Toutes deux de même parité (impaires).

22. 82−72=158^{2} - 7^{2} = 15 et 42−12=154^{2} - 1^{2} = 15. Aucun autre : il n'y a que deux écritures.

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Exercice 15

Complétez.

Si x+1x=5x + \dfrac{1}{x} = 5, alors x2+1x2=x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Si x+1x=5x + \dfrac{1}{x} = 5, alors x2+1x2=x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = 23.

Corrigé :

(x+1x)2=x2+2+1x2=25\begin{aligned}\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{2} &= x^{2} + 2 + \dfrac{1}{x^{2}} \\ &= 25\end{aligned}

On élève au carré ; le double produit vaut 22.

x2+1x2=23x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = 23

On retire 22.

2323. Le piège est 2525 : c'est le carré de la somme, double produit compris.

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Exercice 16

Associez chaque produit à sa valeur.

  • (5+2)(5−2)(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})
  • (6−1)(6+1)(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1)
  • (2+3)(2−3)(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})
  • (5+2)2(\sqrt{5} + \sqrt{2})^{2}
  • 11
  • 33
  • 55
  • 7+2107 + 2\sqrt{10}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (5+2)(5−2)(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) — 33 · (6−1)(6+1)(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1) — 55 · (2+3)(2−3)(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) — 11 · (5+2)2(\sqrt{5} + \sqrt{2})^{2} — 7+2107 + 2\sqrt{10}

Corrigé :

(p+q)(p−q)=p−q(\sqrt{p} + \sqrt{q})(\sqrt{p} - \sqrt{q}) = p - q

Les conjugués : les racines disparaissent.

(5+2)2=5+210+2(\sqrt{5} + \sqrt{2})^{2} = 5 + 2\sqrt{10} + 2

Un carré, lui, garde son double produit.

5−2=35 - 2 = 3, 6−1=56 - 1 = 5, 4−3=14 - 3 = 1. Le carré (5+2)2(\sqrt{5} + \sqrt{2})^{2} n'est pas un produit de conjugués : il garde 2102\sqrt{10}.

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