Série 1 — développer et factoriser · Identités remarquables · Psychométriques

Dix questions, douze minutes. La famille la plus fréquente du sujet : une expression à développer, à factoriser ou à simplifier.

Devant chaque expression, cherchez d'abord les carrés et le moins qui les sépare. Et méfiez-vous des facteurs cachés : $3x + 6y$ est $3(x + 2y)$ avant d'être autre chose.

Exercices

Exercice 1

$(x + 2y)^{2} - (x - 2y)^{2} = ?$

$4xy$
$0$
$8xy$
$8y^{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $8xy$

Corrigé :

{x^{2} + 4xy + 4y^{2} - (x^{2} - 4xy + 4y^{2})}

Les deux carrés développés.

{= 8xy}

Tout s'annule sauf les deux doubles produits, qui s'ajoutent.

La bonne réponse : « $8xy$ ». C'est $4AB$ avec $A = x$ et $B = 2y$ . « $4xy$ » oublie le coefficient de $2y$ ; « $0$ » croit que les deux carrés s'annulent entièrement ; « $8y^{2}$ » double le mauvais terme.

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Exercice 2

Pour $x \neq 0$ et $x \neq \pm 2$ , $\dfrac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - 4} \cdot \dfrac{x + 2}{x} = ?$

$\dfrac{x + 2}{x}$
$\dfrac{(x - 2)^{2}}{x}$
$\dfrac{1}{x}$
$\dfrac{x - 2}{x}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\dfrac{x - 2}{x}$

Corrigé :

{\dfrac{(x - 2)^{2}}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \dfrac{x + 2}{x}}

Un carré parfait en haut, une différence de carrés en bas.

{= \dfrac{x - 2}{x}}

Un facteur $x - 2$ et le facteur $x + 2$ s'en vont.

La bonne réponse : « $\dfrac{x - 2}{x}$ ». « $\dfrac{(x - 2)^{2}}{x}$ » oublie que le dénominateur contenait un $x - 2$ ; « $\dfrac{1}{x}$ » barre le carré en entier, alors qu'un seul $x - 2$ s'en va ; « $\dfrac{x + 2}{x}$ » traite $x^{2} - 4x + 4$ comme s'il valait $x^{2} - 4$ .

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Exercice 3

Calculez $(2 - 1)(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 255

Corrigé :

{(2 - 1)(2 + 1) = 2^{2} - 1}

Les deux premiers facteurs sont conjugués.

{(2^{2} - 1)(2^{2} + 1) = 2^{4} - 1}

Le résultat est conjugué du facteur suivant.

{(2^{4} - 1)(2^{4} + 1) = 2^{8} - 1 = 255}

Et encore une fois.

$255$ . Chaque différence de carrés fabrique le conjugué du facteur suivant : le produit se replie en cascade. Le même geste donne $(a - b)(a + b)(a^{2} + b^{2})(a^{4} + b^{4}) = a^{8} - b^{8}$ .

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Exercice 4

Pour $x \neq \pm 1$ , $\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1} = ?$

$\dfrac{2}{x^{2} - 1}$
$\dfrac{2x}{x^{2} - 1}$
$0$
$\dfrac{-2}{x^{2} - 1}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\dfrac{2}{x^{2} - 1}$

Corrigé :

{\dfrac{(x + 1) - (x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}}

Le dénominateur commun est le produit des deux conjugués.

{= \dfrac{2}{x^{2} - 1}}

En haut, $x - x$ et $1 + 1$ ; en bas, la différence de carrés.

La bonne réponse : « $\dfrac{2}{x^{2} - 1}$ ». « $\dfrac{2x}{x^{2} - 1}$ » est la somme des deux fractions ; « $\dfrac{-2}{x^{2} - 1}$ » soustrait dans le mauvais ordre ; « $0$ » oublie de distribuer le moins sur $x - 1$ .

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Exercice 5

$(3x + 6y)(x - 2y) = ?$

$3x^{2} - 12xy - 12y^{2}$
$3x^{2} - 12y^{2}$
$3x^{2} - 4y^{2}$
$3x^{2} - 6y^{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $3x^{2} - 12y^{2}$

Corrigé :

{3x + 6y = 3(x + 2y)}

On sort d'abord le facteur caché : le premier binôme est un multiple du conjugué.

{3(x + 2y)(x - 2y) = 3(x^{2} - 4y^{2}) = 3x^{2} - 12y^{2}}

La différence de carrés, puis le facteur 3.

La bonne réponse : « $3x^{2} - 12y^{2}$ ». Les deux binômes n'ont pas l'air conjugués, et c'est le piège : il faut d'abord sortir le 3. « $3x^{2} - 6y^{2}$ » oublie d'élever $2y$ au carré ; la dernière option garde un terme en $xy$ qui s'annule en réalité.

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Exercice 6

Laquelle de ces expressions est égale à $x^{2} + x + \dfrac{1}{4}$ ?

$\left(x + \dfrac{1}{2}\right)\left(x - \dfrac{1}{2}\right)$
$\left(x + \dfrac{1}{4}\right)^{2}$
$\left(\dfrac{x}{2} + 1\right)^{2}$
$\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^{2}$

Corrigé :

{\dfrac{1}{4} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}}

Les deux carrés : $x^{2}$ et $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}$ .

{2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{2} = x}

Le terme du milieu est bien le double produit : c'est un carré parfait.

La bonne réponse : « $\left(x + \tfrac{1}{2}\right)^{2}$ ». « $\left(x + \tfrac{1}{4}\right)^{2}$ » prend le terme constant sans en extraire la racine ; « $\left(\tfrac{x}{2} + 1\right)^{2}$ » vaut $\tfrac{x^{2}}{4} + x + 1$ ; la dernière vaut $x^{2} - \tfrac{1}{4}$ .

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Exercice 7

Pour $x \neq \pm y$ , $\dfrac{(x - y)^{2}}{y^{2} - x^{2}} = ?$

$\dfrac{x + y}{x - y}$
$\dfrac{y - x}{x + y}$
$\dfrac{x - y}{x + y}$
$-1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\dfrac{y - x}{x + y}$

Corrigé :

{y^{2} - x^{2} = (y - x)(y + x) = -(x - y)(x + y)}

L'ordre des termes : $y - x$ est l'opposé de $x - y$ .

{\dfrac{(x - y)^{2}}{-(x - y)(x + y)} = -\dfrac{x - y}{x + y} = \dfrac{y - x}{x + y}}

Un facteur $x - y$ s'en va, le signe moins reste.

La bonne réponse : « $\dfrac{y - x}{x + y}$ ». « $\dfrac{x - y}{x + y}$ » est la réponse de celui qui a lu $x^{2} - y^{2}$ au dénominateur : le signe s'est perdu. Vérifiez avec $x = 3$ , $y = 1$ : la fraction vaut $\dfrac{4}{-8} = -\dfrac{1}{2}$ .

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Exercice 8

Pour tout nombre $x$ , $(x + k)^{2} = x^{2} + 10x + m$ . Combien vaut $k + m$ ?

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Réponse : 30

Corrigé :

{(x + k)^{2} = x^{2} + 2kx + k^{2}}

On développe le côté gauche.

{2k = 10 \Rightarrow k = 5}

Les termes en $x$ doivent coïncider.

{m = k^{2} = 25, \quad k + m = 30}

Et les constantes aussi.

$30$ . Le terme du milieu donne toujours le double de $k$ : lire $k = 10$ est l'erreur qui mène à $110$ .

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Exercice 9

$\left(\dfrac{a}{2} - 2b\right)^{2} = ?$

$\dfrac{a^{2}}{4} - 2ab + 4b^{2}$
$\dfrac{a^{2}}{2} - 2ab + 4b^{2}$
$\dfrac{a^{2}}{4} - 4ab + 4b^{2}$
$\dfrac{a^{2}}{4} - ab + 4b^{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\dfrac{a^{2}}{4} - 2ab + 4b^{2}$

Corrigé :

{\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2} = \dfrac{a^{2}}{4}, \quad (2b)^{2} = 4b^{2}}

Les deux carrés, dénominateur et coefficient compris.

{2 \cdot \dfrac{a}{2} \cdot 2b = 2ab}

Le double produit : le 2 du dénominateur et les deux 2 du numérateur laissent $2ab$ .

La bonne réponse : « $\dfrac{a^{2}}{4} - 2ab + 4b^{2}$ ». « $-ab$ » oublie le 2 du double produit ; « $\dfrac{a^{2}}{2}$ » n'élève pas le dénominateur au carré ; « $-4ab$ » oublie le dénominateur dans le produit.

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Exercice 10

$(a + b + c)^{2} - (a + b - c)^{2} = ?$

$4ab$
$4c(a + b)$
$2c(a + b)$
$4c^{2}$

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Réponse : B $4c(a + b)$

Corrigé :

{A = a + b, \quad (A + c)^{2} - (A - c)^{2}}

On regroupe $a + b$ en un seul bloc : l'expression redevient une forme connue.

{= 4Ac = 4c(a + b)}

Deux carrés dont les termes ne diffèrent que par le signe de $c$ : il reste quatre fois le produit.

La bonne réponse : « $4c(a + b)$ ». Développer les deux carrés à trois termes prend une minute et produit presque toujours une erreur ; le regroupement tient en une ligne. « $2c(a + b)$ » compte le produit deux fois au lieu de quatre.

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Exercice 11

Pour tout nombre $x$ , $(x - 5)^{2} = (5 - x)^{2}$ .

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Réponse : Vrai

Corrigé :

5 - x = -(x - 5)

Deux nombres opposés.

(-u)^{2} = u^{2}

Un carré efface le signe.

Vrai. Le carré efface le signe. Au cube, en revanche, $(x - 5)^{3} = -(5 - x)^{3}$ .

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Exercice 12

Complétez les deux factorisations.

$x^{2} - 14x + 49 = (x -$ ____ $)^{2}$ et $9x^{2} - 16 = (3x -$ ____ $)(3x + 4)$ .

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Réponse : $x^{2} - 14x + 49 = (x -$ 7 $)^{2}$ et $9x^{2} - 16 = (3x -$ 4 $)(3x + 4)$ .

Corrigé :

\begin{aligned}2 \cdot x \cdot 7 &= 14x \\ \quad 7^{2} &= 49\end{aligned}

Le milieu tient : carré parfait.

9x^{2} - 16 = (3x)^{2} - 4^{2}

Deux carrés et un moins.

7 et 4. Pour le premier, on vérifie que $14x$ est bien le double produit.

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Exercice 13

Calculez $101^{2} - 99^{2}$ .

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Réponse : 400

Corrigé :

(101 - 99)(101 + 99)

Deux carrés et un moins.

= 2 \times 200 = 400

Un calcul de tête.

$400$ . Calculer $101^{2}$ et $99^{2}$ séparément marche aussi, mais coûte une minute.

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Exercices

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