Série 2 — somme, différence, produit · Identités remarquables · Psychométriques

Dix questions, quinze minutes. Aucune ne demande de trouver $x$ ou $y$ — et plusieurs deviennent impossibles si on essaie.

Écrivez l'identité qui contient à la fois les données et la question, avant tout calcul. Et relisez l'énoncé pour le signe : un carré ne le donne jamais.

Exercices

Exercice 1

On sait que $x - y = 5$ et $xy = 6$ . Combien vaut $x^{2} + y^{2}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 37

Corrigé :

{x^{2} + y^{2} = (x - y)^{2} + 2xy}

Avec une différence, le double produit se rajoute.

{= 25 + 12 = 37}

On remplace.

$37$ . $13$ est l'erreur de signe : c'est la formule de la somme, $(x + y)^{2} - 2xy$ , appliquée à une différence.

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Exercice 2

On sait que $x + y = -2$ et $xy = -15$ . Combien vaut $(x - y)^{2}$ ?

$4$
$34$
$64$
$-56$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $64$

Corrigé :

{(x - y)^{2} = (x + y)^{2} - 4xy}

Le grand carré moins les quatre rectangles.

{= 4 - 4 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64}

Moins un produit négatif : on ajoute.

La bonne réponse : « $64$ ». « $-56$ » est impossible d'emblée : un carré n'est jamais négatif. « $34$ » est $x^{2} + y^{2}$ , pas $(x - y)^{2}$ . Vérification : $x = 3$ , $y = -5$ .

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Exercice 3

On sait que $a + b = 8$ et $ab = 12$ . Que peut-on dire de $a - b$ ?

$a - b = 4$
$a - b = 16$
$a - b = -4$
$a - b$ vaut $4$ ou $-4$ , sans qu'on puisse trancher

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $a - b$ vaut $4$ ou $-4$ , sans qu'on puisse trancher

Corrigé :

{(a - b)^{2} = 8^{2} - 4 \cdot 12 = 16}

L'identité donne le carré de la différence.

{a - b = \pm 4}

Rien dans l'énoncé ne dit lequel des deux nombres est le plus grand : $(a, b)$ vaut $(6, 2)$ ou $(2, 6)$ .

La bonne réponse : « $4$ ou $-4$ ». Les données sont symétriques en $a$ et $b$ : échanger les deux nombres ne change ni leur somme ni leur produit, mais change le signe de leur différence. Les options « $4$ » et « $-4$ » supposent une information qui n'existe pas.

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Exercice 4

$a$ et $b$ sont positifs, $a^{2} + b^{2} = 34$ et $ab = 15$ . Combien vaut $a + b$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

{(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab = 34 + 30 = 64}

On reconstruit le carré de la somme.

{a + b = 8}

Positif, puisque $a$ et $b$ le sont.

$8$ . Ici, c'est « positifs » qui écarte $-8$ . $\sqrt{49} = 7$ viendrait d'un produit compté une seule fois : $34 + 15$ au lieu de $34 + 30$ .

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Exercice 5

On sait que $x + \dfrac{1}{x} = 6$ . Combien vaut $x^{4} + \dfrac{1}{x^{4}}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1154

Corrigé :

{x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = 6^{2} - 2 = 34}

Premier carré : le terme croisé vaut 2.

{x^{4} + \dfrac{1}{x^{4}} = 34^{2} - 2 = 1156 - 2 = 1154}

Deuxième carré, même geste : $x^{2} \cdot \dfrac{1}{x^{2}} = 1$ encore.

$1154$ . Le geste se répète tel quel à chaque étage. $1296 - 2$ viendrait d'un saut direct $6^{4} - 2$ , qui oublie l'étage intermédiaire.

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Exercice 6

On sait que $x > 1$ et que $x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = 27$ . Combien vaut $x - \dfrac{1}{x}$ ?

$-5$
$\sqrt{27}$
$5$
$25$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $5$

Corrigé :

{\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} - 2 = 27 - 2 = 25}

On descend d'un étage : le carré de la différence.

{x > 1 \Rightarrow \dfrac{1}{x} < 1 < x \Rightarrow x - \dfrac{1}{x} = 5}

La condition $x > 1$ fixe le signe.

La bonne réponse : « $5$ ». « $-5$ » serait la réponse pour $0 < x < 1$ : c'est pour l'exclure que l'énoncé précise $x > 1$ . « $25$ » est le carré, pas la différence.

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Exercice 7

On sait que $a + b = 7$ et $a^{2} - b^{2} = 21$ . Combien vaut $ab$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

{a - b = \dfrac{a^{2} - b^{2}}{a + b} = \dfrac{21}{7} = 3}

La différence de carrés livre la différence.

{a = \dfrac{7 + 3}{2} = 5, \quad b = 2}

Somme et différence donnent les deux nombres.

{ab = 10}

Ou sans eux : $ab = \dfrac{49 - 9}{4} = 10$ .

$10$ . Deux identités à la suite : la différence de carrés, puis la relation entre somme, différence et produit.

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Exercice 8

On sait que $(x + y)^{2} = 49$ et $(x - y)^{2} = 9$ . Combien vaut $xy$ ?

$10$
$5$
$20$
$40$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $10$

Corrigé :

{(x + y)^{2} - (x - y)^{2} = 4xy}

Entre les deux carrés, quatre rectangles.

{4xy = 49 - 9 = 40 \Rightarrow xy = 10}

On divise par 4.

La bonne réponse : « $10$ ». « $20$ » divise par 2 au lieu de 4 ; « $40$ » oublie de diviser. Et remarquez qu'on n'a pas eu besoin de savoir si $x + y$ vaut $7$ ou $-7$ .

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Exercice 9

On sait que $x + y = 5$ et $xy = 3$ . Combien vaut $\dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{y^{2}}$ ?

$\dfrac{19}{9}$
$\dfrac{19}{3}$
$\dfrac{25}{9}$
$\dfrac{13}{9}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\dfrac{19}{9}$

Corrigé :

{\dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{y^{2}} = \dfrac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}y^{2}}}

Même dénominateur : le carré du produit.

{x^{2} + y^{2} = 25 - 6 = 19, \quad x^{2}y^{2} = 9}

La somme des carrés en haut, $3^{2}$ en bas.

{\dfrac{19}{9}}

Aucune racine n'a été calculée — et $x$ , $y$ valent $\dfrac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$ .

La bonne réponse : « $\dfrac{19}{9}$ ». « $\dfrac{25}{9}$ » oublie le double produit ; « $\dfrac{19}{3}$ » met $xy$ au dénominateur au lieu de son carré.

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Exercice 10

On sait que $a + b = 3$ et $a^{2} + b^{2} = 5$ . Laquelle de ces affirmations est nécessairement vraie ?

$a - b = 1$
$a = 2$
$ab = 2$
$a^{2} - b^{2} = 3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $ab = 2$

Corrigé :

{2ab = (a + b)^{2} - (a^{2} + b^{2}) = 9 - 5 = 4}

Le double produit est ce qui sépare les deux données.

{ab = 2}

Symétrique en $a$ et $b$ : vrai quel que soit l'ordre.

{(a, b) = (2, 1) \ \text{ou} \ (1, 2)}

Les trois autres affirmations dépendent de l'ordre.

La bonne réponse : « $ab = 2$ ». Les trois autres sont vraies pour $(a, b) = (2, 1)$ et fausses pour $(1, 2)$ . Règle utile : quand les données sont symétriques, une affirmation qui change de vérité si l'on échange $a$ et $b$ ne peut pas être nécessairement vraie.

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Exercice 11

On sait que $a + b = 6$ et $a^{2} + b^{2} = 20$ . Combien vaut $ab$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab

L'identité qui contient les trois.

\begin{aligned}36 &= 20 + 2ab \Rightarrow ab \\ &= 8\end{aligned}

On isole.

$8$ . Le piège est $16$ : oublier de diviser par $2$ .

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Exercice 12

Si $(a - b)^{2} = 16$ , alors $a - b = 4$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}a - b &= 4 \ \text{ou} \ a - b \\ &= -4\end{aligned}

Un carré ne dit pas le signe.

Faux. Avec $a = 0$ et $b = 4$ , $(a - b)^{2} = 16$ et $a - b = -4$ .

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Exercice 13

On sait que $x + y = 5$ et $xy = 4$ . Complétez.

$x^{2} + y^{2} =$ ____ et $(x - y)^{2} =$ ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x^{2} + y^{2} =$ 17 et $(x - y)^{2} =$ 9.

Corrigé :

\begin{aligned}x^{2} + y^{2} &= 25 - 2 \cdot 4 \\ &= 17\end{aligned}

Deux rectangles retirés.

\begin{aligned}(x - y)^{2} &= 25 - 4 \cdot 4 \\ &= 9\end{aligned}

Quatre rectangles retirés.

17 et 9. Deux rectangles pour la somme des carrés, quatre pour le carré de la différence.

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Exercices

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