Série 3 — équations et nombres entiers · Identités remarquables · Psychométriques

Dix questions, quinze minutes. Des équations où l'identité se cache, et des questions sur des entiers où elle fait tout le travail.

Deux carrés égaux : factorisez, ne prenez pas la racine. Des entiers : écrivez $(x - y)(x + y)$ et listez les produits — sans oublier que les deux facteurs ont la même parité.

Exercices

Exercice 1

Résolvez $(x - 4)^{2} = x^{2} - 8$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

{x^{2} - 8x + 16 = x^{2} - 8}

On développe ; les $x^{2}$ vont s'annuler.

{-8x = -24 \Rightarrow x = 3}

Il reste une équation du premier degré.

$3$ . Oublier le double produit donne $16 = -8$ , une équation « sans solution » — et c'est précisément l'option que l'examen place pour cet oubli.

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Exercice 2

$x$ est négatif et $(2x - 1)^{2} = (x + 4)^{2}$ . Combien vaut $x$ ?

$-1$
$5$
Aucun nombre négatif ne vérifie l'égalité
$-5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $-1$

Corrigé :

{(2x - 1 - x - 4)(2x - 1 + x + 4) = 0}

Deux carrés égaux : on factorise la différence.

{(x - 5)(3x + 3) = 0}

Deux facteurs.

{x = 5 \ \text{ou} \ x = -1 \Rightarrow x = -1}

La condition « négatif » choisit.

La bonne réponse : « $-1$ ». Prendre la racine des deux côtés donne $2x - 1 = x + 4$ , donc seulement $x = 5$ — positif — et fait croire qu'il n'y a pas de solution négative. L'option « aucun » est taillée pour cette erreur.

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Exercice 3

$(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Laquelle de ces affirmations est nécessairement vraie ?

$a = -b$
$a = 0$ et $b = 0$
$a = b$
$a = 0$ ou $b = 0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $a = 0$ ou $b = 0$

Corrigé :

{a^{2} + 2ab + b^{2} = a^{2} + b^{2}}

On développe le côté gauche.

{2ab = 0 \Rightarrow ab = 0}

Un produit nul : au moins un des facteurs est nul.

La bonne réponse : « $a = 0$ ou $b = 0$ ». « et » est trop fort : $a = 3$ , $b = 0$ vérifie l'égalité. « $a = -b$ » viendrait d'une confusion avec $(a + b)^{2} = 0$ .

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Exercice 4

Résolvez $(x + 3)^{2} - (x - 3)^{2} = 60$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

{(x + 3)^{2} - (x - 3)^{2} = 4 \cdot x \cdot 3 = 12x}

Deux carrés qui ne diffèrent que par le signe de 3 : quatre fois le produit.

{12x = 60 \Rightarrow x = 5}

On divise.

$5$ . Sans l'identité, il faut développer deux carrés et soustraire ; avec elle, une seule ligne. Vérification : $64 - 4 = 60$ .

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Exercice 5

Combien de couples d'entiers positifs $(x, y)$ vérifient $x^{2} - y^{2} = 45$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

{(x - y)(x + y) = 45, \quad 0 < x - y < x + y}

Deux entiers positifs dont le produit vaut 45, le premier plus petit.

{45 = 1 \times 45 = 3 \times 15 = 5 \times 9}

Trois écritures ; toutes ont deux facteurs de même parité, comme il se doit.

{(23, 22), \ (9, 6), \ (7, 2)}

Chaque écriture donne un couple : $x$ est la demi-somme des facteurs, $y$ leur demi-différence.

$3$ . Le réflexe est de chercher des carrés qui tombent juste ; la factorisation les liste tous d'un coup, sans en oublier.

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Exercice 6

Combien de couples d'entiers positifs $(x, y)$ vérifient $x^{2} - y^{2} = 30$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $0$

Corrigé :

{(x - y)(x + y) = 30}

Deux facteurs entiers.

{(x + y) + (x - y) = 2x \Rightarrow \text{même parité}}

Les deux facteurs sont tous deux pairs ou tous deux impairs.

{30 = 1 \times 30 = 2 \times 15 = 3 \times 10 = 5 \times 6}

Chaque écriture mélange un pair et un impair : aucune ne convient.

La bonne réponse : « $0$ ». Deux facteurs impairs donnent un produit impair ; deux facteurs pairs, un multiple de 4. Or $30$ n'est ni l'un ni l'autre. Un nombre pair qui n'est pas multiple de 4 n'est jamais une différence de deux carrés d'entiers.

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Exercice 7

$x$ et $y$ sont non nuls, $x \neq 2y$ et $\dfrac{x}{y} = \dfrac{4y}{x}$ . Laquelle de ces affirmations est vraie ?

$x - 2y = 0$
$x = 4y$
$xy = 4$
$x + 2y = 0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $x + 2y = 0$

Corrigé :

{x^{2} = 4y^{2}}

Les produits en croix.

{(x - 2y)(x + 2y) = 0}

Une différence de carrés nulle.

{x \neq 2y \Rightarrow x + 2y = 0}

L'énoncé a exclu l'un des deux facteurs.

La bonne réponse : « $x + 2y = 0$ ». « $x - 2y = 0$ » est exactement le cas que l'énoncé interdit. Quand une question précise « $x \neq \ldots$ », c'est presque toujours pour écarter une des deux racines d'une différence de carrés.

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Exercice 8

$n$ est un entier supérieur à $1$ . Laquelle de ces expressions n'est jamais un carré parfait ?

$n^{2} - 2n + 1$
$n^{2} + 2n$
$n^{2} + 2n + 1$
$4n^{2}$

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Réponse : B $n^{2} + 2n$

Corrigé :

{n^{2} < n^{2} + 2n < n^{2} + 2n + 1 = (n + 1)^{2}}

L'expression est coincée entre deux carrés consécutifs.

{\text{aucun carré entre } n^{2} \text{ et } (n + 1)^{2}}

Il n'y a pas d'entier entre $n$ et $n + 1$ .

La bonne réponse : « $n^{2} + 2n$ ». Les trois autres sont des carrés : $(n + 1)^{2}$ , $(n - 1)^{2}$ et $(2n)^{2}$ . Il faut reconnaître les carrés parfaits et voir que l'expression restante leur manque exactement d'une unité.

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Exercice 9

$x$ et $y$ sont des entiers positifs et $x^{2} - y^{2} = 31$ . Combien vaut $x$ ?

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Réponse : 16

Corrigé :

{(x - y)(x + y) = 31}

Une différence de carrés.

{31 \ \text{premier} \Rightarrow x - y = 1, \ x + y = 31}

Un nombre premier n'a qu'une écriture en produit de deux entiers positifs.

{x = \dfrac{1 + 31}{2} = 16}

La demi-somme. Et $y = 15$ .

$16$ . Vérification : $256 - 225 = 31$ . Pour tout premier impair $p$ , les deux carrés sont consécutifs : $\left(\tfrac{p + 1}{2}\right)^{2} - \left(\tfrac{p - 1}{2}\right)^{2} = p$ .

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Exercice 10

$m$ et $n$ sont des entiers positifs et $m^{2} - n^{2} = 2n + 1$ . Laquelle de ces affirmations est vraie ?

$m = 2n + 1$
$m^{2} = 2n + 1$
$m = n + 1$
$m = n + 2$

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Réponse : C $m = n + 1$

Corrigé :

{m^{2} = n^{2} + 2n + 1}

On fait passer $n^{2}$ de l'autre côté.

{m^{2} = (n + 1)^{2}}

On reconnaît un carré parfait.

{m = n + 1}

Deux entiers positifs de même carré sont égaux.

La bonne réponse : « $m = n + 1$ ». Le « $2n + 1$ » de l'énoncé est la trace du double produit. « $m = 2n + 1$ » confond l'écart entre deux carrés consécutifs avec le nombre lui-même.

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Exercice 11

Si $x^{2} = (x - 2)^{2}$ , alors $x = 1$ .

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Réponse : Vrai

Corrigé :

(x - x + 2)(x + x - 2) = 0

La différence de deux carrés.

\begin{aligned}2(2x - 2) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

Le facteur $2$ ne s'annule jamais.

Vrai. Le cas « côtés égaux » ( $x = x - 2$ ) est impossible : il ne reste que les côtés opposés.

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Exercice 12

$x$ et $y$ sont des entiers positifs, et $x^{2} - y^{2} = 17$ . Complétez.

$x =$ ____ et $y =$ ____.

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Réponse : $x =$ 9 et $y =$ 8.

Corrigé :

\begin{aligned}(x - y)(x + y) &= 17 \\ &= 1 \times 17\end{aligned}

$17$ est premier : une seule écriture.

\begin{aligned}x - y &= 1 \\ \ x + y &= 17 \Rightarrow x \\ &= 9 \\ \ y &= 8\end{aligned}

On additionne, on soustrait.

9 et 8. Un premier $p$ s'écrit toujours $\left(\tfrac{p + 1}{2}\right)^{2} - \left(\tfrac{p - 1}{2}\right)^{2}$ .

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Exercice 13

Le nombre peut-il s'écrire $x^{2} - y^{2}$ , avec $x$ et $y$ entiers positifs ?

$10$
$15$
$16$
$2$
$21$
$6$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $15$ — oui · $6$ — non · $21$ — oui · $10$ — non · $16$ — oui · $2$ — non

Corrigé :

\begin{aligned}15 &= 4^{2} - 1^{2} \\ \quad 21 &= 5^{2} - 2^{2} \\ \quad 16 &= 5^{2} - 3^{2}\end{aligned}

Une écriture de même parité suffit.

\begin{aligned}6 &= 1 \times 6 \\ &= 2 \times 3\end{aligned}

Toujours un pair et un impair : aucun couple.

$6$ , $10$ et $2$ sont pairs sans être multiples de $4$ : chaque écriture mêle un pair et un impair, donc aucune ne marche.

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Exercices

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