Série 4 — signes et « nécessairement »

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Dix questions, quinze minutes. Les questions les plus difficiles du sujet à l'examen : aucune ne contient de calcul, toutes demandent de voir un carré.

Pour « nécessairement vraie », deux outils : faire apparaître un carré pour prouver, et essayer deux valeurs pour réfuter. Une affirmation qui tombe pour une seule valeur n'est pas nécessaire.

Exercices

Exercice 1

On sait que 0<x<10 < x < 1 et y=(1−x)(1+x)(1+x2)y = (1 - x)(1 + x)(1 + x^{2}). Laquelle de ces affirmations est vraie ?

  1. 0<y<10 < y < 1
  2. y=1y = 1
  3. y>1y > 1
  4. −1<y<0-1 < y < 0
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Réponse : A 0<y<10 < y < 1

Corrigé :

(1−x)(1+x)=1−x2{(1 - x)(1 + x) = 1 - x^{2}}

Première différence de carrés.

(1−x2)(1+x2)=1−x4{(1 - x^{2})(1 + x^{2}) = 1 - x^{4}}

Et une seconde : le produit se replie.

0<x4<1⇒0<1−x4<1{0 < x^{4} < 1 \Rightarrow 0 < 1 - x^{4} < 1}

Une puissance d'un nombre entre 0 et 1 reste entre 0 et 1.

La bonne réponse : « 0<y<10 < y < 1 ». Sans la double factorisation, il faut discuter le signe de trois facteurs et la taille de leur produit. Avec elle, y=1−x4y = 1 - x^{4} se lit d'un coup d'œil.

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Exercice 2

aa et bb sont deux nombres différents. Laquelle de ces affirmations est nécessairement vraie ?

  1. a2+b2<2aba^{2} + b^{2} < 2ab
  2. a2+b2>2aba^{2} + b^{2} > 2ab seulement si aa et bb sont positifs
  3. On ne peut rien dire sans connaître les signes
  4. a2+b2>2aba^{2} + b^{2} > 2ab
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Réponse : D a2+b2>2aba^{2} + b^{2} > 2ab

Corrigé :

a2+b2−2ab=(a−b)2{a^{2} + b^{2} - 2ab = (a - b)^{2}}

La différence des deux côtés est un carré.

a≠b⇒(a−b)2>0{a \neq b \Rightarrow (a - b)^{2} > 0}

Un carré est strictement positif dès que ce qu'il élève n'est pas nul.

La bonne réponse : « a2+b2>2aba^{2} + b^{2} > 2ab ». Les signes de aa et bb n'interviennent pas : si ab<0ab < 0, c'est encore plus évident. La condition « différents » rend l'inégalité stricte ; sans elle, il faudrait écrire ≥\geq.

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Exercice 3

xx est un nombre positif différent de 11. Laquelle de ces affirmations est vraie ?

  1. x+1x<2x + \dfrac{1}{x} < 2
  2. Cela dépend de la valeur de xx
  3. x+1x=2x + \dfrac{1}{x} = 2
  4. x+1x>2x + \dfrac{1}{x} > 2
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Réponse : D x+1x>2x + \dfrac{1}{x} > 2

Corrigé :

x+1x−2=x2−2x+1x=(x−1)2x{x + \dfrac{1}{x} - 2 = \dfrac{x^{2} - 2x + 1}{x} = \dfrac{(x - 1)^{2}}{x}}

Même dénominateur, et un carré parfait apparaît.

x>0, x≠1⇒(x−1)2x>0{x > 0, \ x \neq 1 \Rightarrow \dfrac{(x - 1)^{2}}{x} > 0}

Un carré non nul sur un nombre positif.

La bonne réponse : « x+1x>2x + \dfrac{1}{x} > 2 ». Essayer x=2x = 2 puis x=12x = \tfrac{1}{2} donne 2,52{,}5 les deux fois — et suggère la réponse — mais seul le carré la prouve pour tous les xx. Pour xx négatif, la somme serait au contraire inférieure ou égale à −2-2.

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Exercice 4

nn est un entier impair supérieur à 11. Laquelle de ces expressions est paire et négative ?

  1. (1−n)2(1 - n)^{2}
  2. (1−n)(1+n)(1 - n)(1 + n)
  3. (n−1)(n+1)(n - 1)(n + 1)
  4. (2−n)(2+n)(2 - n)(2 + n)
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Réponse : B (1−n)(1+n)(1 - n)(1 + n)

Corrigé :

(1−n)(1+n)=1−n2{(1 - n)(1 + n) = 1 - n^{2}}

La différence de carrés, dans cet ordre.

n impair⇒n2 impair⇒1−n2 pair{n \ \text{impair} \Rightarrow n^{2} \ \text{impair} \Rightarrow 1 - n^{2} \ \text{pair}}

Impair moins impair donne pair.

n>1⇒n2>1⇒1−n2<0{n > 1 \Rightarrow n^{2} > 1 \Rightarrow 1 - n^{2} < 0}

Et négatif.

La bonne réponse : « (1−n)(1+n)(1 - n)(1 + n) ». « (n−1)(n+1)(n - 1)(n + 1) » est pair mais positif : l'ordre des termes décide du signe. « (1−n)2(1 - n)^{2} » est pair et positif. « (2−n)(2+n)=4−n2(2 - n)(2 + n) = 4 - n^{2} » est négatif mais impair.

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Exercice 5

Pour quelles valeurs de bb a-t-on (3b−1)2<(b+1)2(3b - 1)^{2} < (b + 1)^{2} ?

  1. 0<b<10 < b < 1
  2. b>0b > 0
  3. −1<b<1-1 < b < 1
  4. b<1b < 1
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Réponse : A 0<b<10 < b < 1

Corrigé :

(3b−1)2−(b+1)2=(3b−1−b−1)(3b−1+b+1){(3b - 1)^{2} - (b + 1)^{2} = (3b - 1 - b - 1)(3b - 1 + b + 1)}

Une différence de carrés, factorisée.

=(2b−2)⋅4b=8b(b−1)<0{= (2b - 2) \cdot 4b = 8b(b - 1) < 0}

Le produit doit être négatif.

0<b<1{0 < b < 1}

bb et b−1b - 1 de signes contraires : bb positif et plus petit que 1.

La bonne réponse : « 0<b<10 < b < 1 ». « Prendre la racine » donne 3b−1<b+13b - 1 < b + 1, soit « b<1b < 1 », et oublie la borne du bas : pour b=−1b = -1, on compare 1616 et 00. Vérifiez toujours une valeur négative.

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Exercice 6

On sait que x<−1x < -1. On pose A=(x+1)2A = (x + 1)^{2}, B=x2+1B = x^{2} + 1 et C=−2xC = -2x. Laquelle de ces affirmations est nécessairement vraie ?

  1. A=CA = C
  2. A<CA < C
  3. C<BC < B
  4. B<AB < A
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Réponse : C C<BC < B

Corrigé :

B−C=x2+2x+1=(x+1)2{B - C = x^{2} + 2x + 1 = (x + 1)^{2}}

La différence est un carré parfait.

x<−1⇒x+1≠0⇒B−C>0{x < -1 \Rightarrow x + 1 \neq 0 \Rightarrow B - C > 0}

Carré non nul : C<BC < B toujours.

x=−2:A=1,C=4x=−5:A=16,C=10{x = -2 : A = 1, C = 4 \quad x = -5 : A = 16, C = 10}

Deux essais montrent que AA et CC se croisent.

La bonne réponse : « C<BC < B ». « A<CA < C » est vraie pour x=−2x = -2 et fausse pour x=−5x = -5 : elle n'est pas nécessaire. « B<AB < A » est toujours fausse, puisque A=B+2xA = B + 2x avec xx négatif.

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Exercice 7

aa et bb sont non nuls et (a+b)2=4ab(a + b)^{2} = 4ab. Laquelle de ces affirmations est vraie ?

  1. ab=4\dfrac{a}{b} = 4
  2. a+b=0a + b = 0
  3. ab=−1\dfrac{a}{b} = -1
  4. ab=1\dfrac{a}{b} = 1
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Réponse : D ab=1\dfrac{a}{b} = 1

Corrigé :

(a+b)2−4ab=(a−b)2{(a + b)^{2} - 4ab = (a - b)^{2}}

Le grand carré moins les quatre rectangles.

(a−b)2=0⇒a=b{(a - b)^{2} = 0 \Rightarrow a = b}

Un carré nul : ce qu'il élève est nul.

ab=1{\dfrac{a}{b} = 1}

Et b≠0b \neq 0 permet de diviser.

La bonne réponse : « ab=1\dfrac{a}{b} = 1 ». « a+b=0a + b = 0 » rendrait le côté gauche nul, donc 4ab=04ab = 0 : impossible avec aa et bb non nuls. La figure le dit : un grand carré égal à ses quatre rectangles n'a plus de place pour le carré central.

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Exercice 8

Un pavé droit a pour arêtes n−2n - 2, nn et n+2n + 2 (n>2n > 2). Un cube a pour arête nn. Laquelle de ces affirmations est vraie ?

  1. Le volume du pavé dépasse celui du cube de 4n4n
  2. Le volume du cube dépasse celui du pavé de 44
  3. Le volume du cube dépasse celui du pavé de 4n4n
  4. Les deux volumes sont égaux
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Réponse : C Le volume du cube dépasse celui du pavé de 4n4n

Corrigé :

(n−2)(n+2)⋅n=(n2−4)⋅n{(n - 2)(n + 2) \cdot n = (n^{2} - 4) \cdot n}

Les deux arêtes extrêmes sont conjuguées.

=n3−4n{= n^{3} - 4n}

On distribue.

n3−(n3−4n)=4n{n^{3} - (n^{3} - 4n) = 4n}

L'écart avec le cube.

La bonne réponse : « le cube dépasse le pavé de 4n4n ». L'intuition « on retire 2 d'un côté et on ajoute 2 de l'autre, donc rien ne change » est fausse : la différence de carrés perd toujours b2b^{2}. « de 44 » oublie le troisième facteur nn.

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Exercice 9

On sait que 0<x<10 < x < 1. Laquelle de ces expressions est la plus grande ?

  1. (1−x)2(1 - x)^{2}
  2. Cela dépend de la valeur de xx
  3. 1−x1 - x
  4. (1+x)(1−x)(1 + x)(1 - x)
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Réponse : D (1+x)(1−x)(1 + x)(1 - x)

Corrigé :

(1+x)(1−x)=1−x2,(1−x)2=1−2x+x2{(1 + x)(1 - x) = 1 - x^{2}, \quad (1 - x)^{2} = 1 - 2x + x^{2}}

Les deux identités.

(1−x2)−(1−x)=x(1−x)>0{(1 - x^{2}) - (1 - x) = x(1 - x) > 0}

La première dépasse 1−x1 - x.

(1−x)−(1−x)2=x(1−x)>0{(1 - x) - (1 - x)^{2} = x(1 - x) > 0}

Et 1−x1 - x dépasse le carré.

La bonne réponse : « (1+x)(1−x)(1 + x)(1 - x) ». L'ordre est 1−x2>1−x>(1−x)21 - x^{2} > 1 - x > (1 - x)^{2} pour tout xx entre 0 et 1. Retenez l'image : 1−x1 - x est entre 0 et 1, donc le multiplier par 1+x>11 + x > 1 l'agrandit, et par 1−x<11 - x < 1 le rapetisse.

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Exercice 10

xx et yy sont deux nombres positifs différents, et xy=9xy = 9. MM est la moyenne de xx et yy. Laquelle de ces affirmations est nécessairement vraie ?

  1. M<3M < 3
  2. M=3M = 3
  3. M>92M > \dfrac{9}{2}
  4. M>3M > 3
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Réponse : D M>3M > 3

Corrigé :

(x+y)2=(x−y)2+4xy=(x−y)2+36{(x + y)^{2} = (x - y)^{2} + 4xy = (x - y)^{2} + 36}

La somme au carré, à partir de la différence.

x≠y⇒(x+y)2>36⇒x+y>6{x \neq y \Rightarrow (x + y)^{2} > 36 \Rightarrow x + y > 6}

Carré non nul ; et x+yx + y est positif.

M=x+y2>3{M = \dfrac{x + y}{2} > 3}

On divise par 2.

La bonne réponse : « M>3M > 3 ». « M=3M = 3 » est le cas x=y=3x = y = 3, exclu par l'énoncé. « M>92M > \tfrac{9}{2} » est faux : x=2x = 2, y=4,5y = 4{,}5 donne M=3,25M = 3{,}25. La moyenne de deux nombres positifs dépasse toujours la racine de leur produit — sauf s'ils sont égaux.

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Exercice 11

Pour tous nombres aa et bb, a2+b2≥2aba^{2} + b^{2} \geq 2ab.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

a2+b2−2ab=(a−b)2≥0a^{2} + b^{2} - 2ab = (a - b)^{2} \geq 0

Le carré caché.

Vrai, avec égalité si a=ba = b. C'est la version stricte « >> » qui serait fausse.

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Exercice 12

Quelle est la plus petite valeur que peut prendre x2−6x+10x^{2} - 6x + 10 ?

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Réponse : 1

Corrigé :

x2−6x+10=(x−3)2+1x^{2} - 6x + 10 = (x - 3)^{2} + 1

On fait apparaître un carré : x2−6x+9x^{2} - 6x + 9.

(x−3)2≥0⇒minimum 1(x - 3)^{2} \geq 0 \Rightarrow \text{minimum } 1

Atteint pour x=3x = 3.

11. Le carré vaut au moins 00, et vaut 00 pour x=3x = 3.

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Exercice 13

Complétez, pour tout nombre xx.

x2+4x+7=(x+x^{2} + 4x + 7 = (x + ____)2+)^{2} + ____, donc cette expression est toujours positive.

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Réponse : x2+4x+7=(x+x^{2} + 4x + 7 = (x + 2)2+)^{2} + 3, donc cette expression est toujours positive.

Corrigé :

(x+2)2=x2+4x+4(x + 2)^{2} = x^{2} + 4x + 4

Le carré qui contient x2+4xx^{2} + 4x.

x2+4x+7=(x+2)2+3x^{2} + 4x + 7 = (x + 2)^{2} + 3

Il reste 7−4=37 - 4 = 3.

2 et 3. Un carré plus un nombre positif : jamais négatif, ni même nul.

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