Série 5 — format examen · Identités remarquables · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen, quinze minutes au chrono. Cette fois, rien ne vous dit quel geste appliquer : c'est la difficulté du jour J, où aucune question ne s'annonce comme une question d'identités remarquables.

Trois questions à se poser devant chacune : où sont les carrés ? — un nombre positif, une racine, un $x^{4}$ en sont aussi ; y a-t-il un conjugué ? ; l'énoncé fixe-t-il un signe ?

Exercices

Exercice 1

$a$ est positif ou nul, et $a \neq 9$ . $\dfrac{9 - a}{3 + \sqrt{a}} = ?$

$\sqrt{a} - 3$
$3 + \sqrt{a}$
$9 - \sqrt{a}$
$3 - \sqrt{a}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $3 - \sqrt{a}$

Corrigé :

{9 - a = 3^{2} - (\sqrt{a})^{2}}

Le numérateur est une différence de carrés — à condition de voir $a$ comme le carré de $\sqrt{a}$ .

{\dfrac{(3 - \sqrt{a})(3 + \sqrt{a})}{3 + \sqrt{a}} = 3 - \sqrt{a}}

Le dénominateur s'en va.

La bonne réponse : « $3 - \sqrt{a}$ ». Tout nombre positif est un carré : c'est ce qui rend l'identité invisible ici. « $\sqrt{a} - 3$ » a le mauvais signe : essayez $a = 4$ , la fraction vaut $\tfrac{5}{5} = 1 = 3 - 2$ .

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Exercice 2

$(\sqrt{7} + \sqrt{3})^{2} - (\sqrt{7} - \sqrt{3})^{2} = ?$

$2\sqrt{21}$
$4\sqrt{21}$
$0$
$20$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $4\sqrt{21}$

Corrigé :

{(A + B)^{2} - (A - B)^{2} = 4AB}

Quatre rectangles entre les deux carrés.

{4 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{21}}

Le produit des racines est la racine du produit.

La bonne réponse : « $4\sqrt{21}$ ». « $20$ » est la somme des deux carrés, $2(7 + 3)$ . « $0$ » oublie les doubles produits ; « $2\sqrt{21}$ » n'en compte qu'un sur deux.

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Exercice 3

Calculez $(\sqrt{5} + 2)^{10} \cdot (\sqrt{5} - 2)^{10}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

{a^{10} \cdot b^{10} = (ab)^{10}}

On regroupe les deux puissances de même exposant.

{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = 5 - 4 = 1}

Deux conjugués.

{1^{10} = 1}

Le reste suit.

$1$ . Personne ne développe une puissance dixième : l'exposant commun est le signal qu'il faut multiplier les bases d'abord.

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Exercice 4

Pour $x \neq \pm y$ , $\dfrac{x + y}{x - y} - \dfrac{x - y}{x + y} = ?$

$0$
$\dfrac{2(x^{2} + y^{2})}{x^{2} - y^{2}}$
$\dfrac{4xy}{x^{2} - y^{2}}$
$\dfrac{4xy}{(x - y)^{2}}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\dfrac{4xy}{x^{2} - y^{2}}$

Corrigé :

{\dfrac{(x + y)^{2} - (x - y)^{2}}{(x - y)(x + y)}}

Le dénominateur commun est une différence de carrés.

{= \dfrac{4xy}{x^{2} - y^{2}}}

Et le numérateur, quatre fois le produit.

La bonne réponse : « $\dfrac{4xy}{x^{2} - y^{2}}$ ». Deux identités dans la même fraction, une en haut et une en bas. « $\dfrac{2(x^{2} + y^{2})}{x^{2} - y^{2}}$ » est la somme des deux fractions.

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Exercice 5

On sait que $x - y = 4$ et $x^{2} + y^{2} = 40$ . Combien vaut $(x + y)^{2}$ ?

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Réponse : 64

Corrigé :

{2xy = (x^{2} + y^{2}) - (x - y)^{2} = 40 - 16 = 24}

D'abord le double produit.

{(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy = 40 + 24 = 64}

Puis on reconstruit l'autre carré.

$64$ . L'énoncé demande $(x + y)^{2}$ et non $x + y$ : sans renseignement sur les signes, $x + y$ vaut $8$ ou $-8$ ( $x = 6, y = 2$ ou $x = -2, y = -6$ ).

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Exercice 6

$x$ est négatif et $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{2} = 16$ . Combien vaut $x + \dfrac{1}{x}$ ?

$-2$
$4$
$4$ ou $-4$
$-4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $-4$

Corrigé :

{x + \dfrac{1}{x} = \pm 4}

Le carré laisse deux signes possibles.

{x < 0 \Rightarrow \dfrac{1}{x} < 0 \Rightarrow x + \dfrac{1}{x} < 0}

Un nombre négatif a un inverse négatif : la somme est négative.

La bonne réponse : « $-4$ ». L'option « $4$ ou $-4$ » serait juste sans la condition ; c'est l'hypothèse « $x$ négatif » qui tranche. Et « $-2$ » confond avec la valeur minimale de $\left|x + \tfrac{1}{x}\right|$ , qui est 2.

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Exercice 7

On sait que $a < b < 0$ . Laquelle de ces expressions est positive ?

$a^{2} - b^{2}$
$a^{2}b - ab^{2}$
$(a - b)(b - a)$
$b^{2} - a^{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $a^{2} - b^{2}$

Corrigé :

{a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)}

On factorise pour lire le signe.

{a - b < 0, \quad a + b < 0}

Les deux facteurs sont négatifs.

{(a - b)(a + b) > 0}

Négatif fois négatif.

La bonne réponse : « $a^{2} - b^{2}$ ». Intuitivement « $a < b$ donc $a^{2} < b^{2}$ » — faux pour des négatifs : $a$ est plus loin de zéro. « $(a - b)(b - a) = -(a - b)^{2}$ » est toujours négatif, et « $a^{2}b - ab^{2} = ab(a - b)$ » aussi, ici.

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Exercice 8

Calculez $\dfrac{(x^{2} - 2x + 1)(x + 1)}{x^{2} - 1}$ pour $x = 51$ .

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Réponse : 50

Corrigé :

{\dfrac{(x - 1)^{2}(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}}

Un carré parfait et une différence de carrés.

{= x - 1 = 51 - 1 = 50}

Tout se simplifie sauf un facteur.

$50$ . Remplacer d'abord demandait $51^{2}$ deux fois, puis de diviser $130\,000$ par $2\,600$ ; factoriser d'abord ne demande qu'une soustraction.

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Exercice 9

$n$ est un entier strictement positif. Que peut-on dire de $n^{4} + 2n^{2}$ ?

C'est un carré parfait seulement si $n$ est pair
Ce n'est jamais un carré parfait
C'est toujours un carré parfait
C'est un carré parfait seulement pour $n = 1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B Ce n'est jamais un carré parfait

Corrigé :

{(n^{2})^{2} < n^{4} + 2n^{2} < n^{4} + 2n^{2} + 1 = (n^{2} + 1)^{2}}

Coincé entre deux carrés consécutifs : on voit $A = n^{2}$ et le double produit $2A$ .

{\text{aucun carré strictement entre}}

Donc jamais un carré.

La bonne réponse : « jamais ». Il manque exactement $1$ pour obtenir $(n^{2} + 1)^{2}$ . Pour $n = 1$ : $3$ ; pour $n = 2$ : $24$ ; pour $n = 3$ : $99$ — chaque fois un de moins qu'un carré.

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Exercice 10

$a$ et $b$ sont deux nombres tels que $a + b = 1$ . Jusqu'où $a^{2} + b^{2}$ peut-il descendre ? Donnez sa valeur minimale.

$1$
$\dfrac{1}{4}$
$0$
$\dfrac{1}{2}$

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Réponse : D $\dfrac{1}{2}$

Corrigé :

{2(a^{2} + b^{2}) = (a + b)^{2} + (a - b)^{2}}

La somme des deux carrés de binôme : les doubles produits s'annulent.

{a^{2} + b^{2} = \dfrac{1 + (a - b)^{2}}{2} \geq \dfrac{1}{2}}

Le carré de la différence est au moins nul.

{a = b = \dfrac{1}{2} \Rightarrow a^{2} + b^{2} = \dfrac{1}{2}}

Et la valeur est atteinte.

La bonne réponse : « $\dfrac{1}{2}$ ». « $0$ » demanderait $a = b = 0$ , incompatible avec $a + b = 1$ . « $\dfrac{1}{4}$ » est la plus grande valeur de $ab$ , pas la plus petite de $a^{2} + b^{2}$ . L'identité $(a + b)^{2} + (a - b)^{2} = 2(a^{2} + b^{2})$ est la sœur de celle des quatre rectangles.

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Exercice 11

$(\sqrt{3} + 1)^{2} = 4$ .

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Réponse : Faux

Corrigé :

(\sqrt{3} + 1)^{2} = 3 + 2\sqrt{3} + 1

Le carré garde son double produit.

= 4 + 2\sqrt{3}

Environ $7.46$ .

Faux. $4$ est la somme des carrés ; il manque $2\sqrt{3}$ .

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Exercice 12

Calculez $(\sqrt{13} - 3)(\sqrt{13} + 3)$ .

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Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}(\sqrt{13})^{2} - 3^{2} &= 13 - 9 \\ &= 4\end{aligned}

Deux conjugués : une différence de carrés.

$4$ . Les racines disparaissent ; le piège est $13 - 3 = 10$ , en oubliant d'élever $3$ au carré.

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Exercice 13

On sait que $x + y = 10$ et $x - y = 4$ . Complétez.

$x^{2} - y^{2} =$ ____ et $xy =$ ____.

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Réponse : $x^{2} - y^{2} =$ 40 et $xy =$ 21.

Corrigé :

\begin{aligned}x^{2} - y^{2} &= (x + y)(x - y) \\ &= 10 \times 4 \\ &= 40\end{aligned}

La différence de carrés relie tout.

\begin{aligned}4xy &= (x + y)^{2} - (x - y)^{2} \\ &= 100 - 16 \\ &= 84\end{aligned}

Les quatre rectangles.

xy = 21

On divise par $4$ .

40 et 21. Ni $x$ ni $y$ n'étaient nécessaires — même s'ils valent ici $7$ et $3$ .

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Exercices

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