Le réflexe mouvement · Distance, vitesse et temps · Psychométriques

Sur les vingt-cinq sessions dépouillées pour écrire ce chapitre, vingt-trois portent au moins une question de mouvement.

Jamais plus de deux, presque toujours une seule : le même poids que les probabilités. Une question qui revient à chaque session mérite une méthode, pas de l'improvisation.

La relation est imprimée sur la page de formules qu'on vous remet à l'examen : l'une des seize formules données.

L'examen suppose donc que vous savez vous en servir. Ce qu'il teste, c'est votre capacité à voir quelle grandeur les deux mobiles ont en commun.

Six gestes suffisent, et ce chapitre les installe un par un : lire la relation dans les trois sens, découper un trajet en tronçons, refermer un écart, rattraper, lire un rapport quand une grandeur est partagée, et répondre en lettres quand l'énoncé ne donne aucun nombre.

Geste 1 — la relation, ses trois lectures et ses unités

Trois grandeurs, une seule relation. Dès que deux d'entre elles sont connues, la troisième est écrite.

{v = \frac{d}{t} \qquad d = v \cdot t \qquad t = \frac{d}{v}}

Le geste qui fait gagner le plus de temps : un tableau à trois colonnes — distance, vitesse, temps — et une ligne par mobile ou par tronçon.

Vous remplissez ce que l'énoncé donne ; la case vide dit laquelle des trois lectures utiliser. Une question de mouvement mal partie est presque toujours une question qu'on a essayé de tenir dans sa tête.

Deux pièges d'unités, et ce sont les seuls que l'examen tend vraiment sur ce geste.

t = 1{,}5 \;\text{min}

\begin{aligned}t &= 1{,}5 \;\text{h} \\ &= 90 \;\text{min}\end{aligned}

La réponse a été lue dans la mauvaise unité. Les quatre propositions contiennent presque toujours le bon nombre dans la mauvaise unité : ici, $1{,}5$ serait proposé.

t = 1\text{ h }50

t = 1\text{ h }30

$1{,}5$ heure n'est pas « une heure cinquante ». Une heure et demie, c'est $90$ minutes : la partie décimale se lit en fractions d'heure, jamais en minutes.

Les deux unités de vitesse de l'examen sont le km/h et le mètre par seconde. Passer de l'une à l'autre est une question à part entière — elle est tombée telle quelle, sans aucun habillage.

{1 \;\text{m/s} = 3{,}6 \;\text{km/h}}

Des m/s vers les km/h : on multiplie par $3{,}6$ . Un mètre par seconde, c'est $3\,600$ mètres par heure, soit $3{,}6$ km.

{1 \;\text{km/h} = \frac{1}{3{,}6} \;\text{m/s}}

Des km/h vers les m/s : on divise par $3{,}6$ . Le sens du calcul se retrouve en une seconde : une vitesse en km/h est toujours le plus grand des deux nombres.

Devant « un kilomètre en $x$ secondes », ne convertissez rien : demandez-vous combien de fois $x$ tient dans $3\,600$ . C'est la réponse en km/h, en une division.

Un coureur avance à $5$ mètres par seconde. Quelle est sa vitesse en km/h ?

Voir la réponse et le corrigé

$18$ km/h. On multiplie par $3{,}6$ : $5 \cdot 3{,}6 = 18$ . Contrôle de bon sens : $18$ km/h est une vitesse de coureur rapide, $5$ km/h serait une vitesse de marche — le nombre le plus grand est bien celui des km/h.

Geste 2 — plusieurs tronçons : total sur total

Un trajet coupé en deux, à deux vitesses différentes : c'est la question de mouvement la plus fréquente de toutes. Et elle porte le piège le plus cher du chapitre.

{v_{\text{moy}} = \frac{d_1 + d_2}{t_1 + t_2}}

La vitesse moyenne est un total divisé par un total. Jamais la moyenne des deux vitesses — sauf coïncidence, et l'examen ne place jamais la coïncidence dans les propositions.

Le distracteur est toujours là, et il est toujours à la même place.

{v_{\text{moy}} = \frac{60 + 40}{2} = 50}

{v_{\text{moy}} = \frac{240}{5} = 48}

La moyenne des vitesses ignore que le mobile a passé plus de temps à la petite vitesse. À distances égales, la vitesse moyenne penche toujours du côté de la plus petite des deux, donc elle est toujours inférieure à leur moyenne.

Une seule question décide si le piège est tendu : qu'est-ce qui est égal, les distances ou les durées ?

Durées égales : la moyenne ordinaire est juste. Distances égales : elle est fausse. L'énoncé le dit toujours, en une tournure : « la première moitié du trajet » contre « pendant la première heure ».

Sagit court une heure à $12$ km/h, puis une heure à $8$ km/h. Quelle est sa vitesse moyenne ?

Voir la réponse et le corrigé

$10$ km/h. Ici, ce sont les durées qui sont égales, et c'est le seul cas où la moyenne ordinaire tombe juste : $\dfrac{12 + 8}{2} = 10$ . Vérification par la définition, qui ne trompe jamais : $12 + 8 = 20$ km parcourus en $2$ heures, soit $10$ km/h. Remplacez « une heure » par « la moitié du trajet » et la réponse devient $9{,}6$ .

Quand l'énoncé donne la vitesse moyenne et demande le rapport des durées, le tableau se remplit à l'envers, mais la relation ne change pas : on écrit la distance totale de deux façons, et l'on égalise.

Retrouver le partage du temps

Odélia roule à $60$ km/h pendant une durée $a$ , puis à $40$ km/h pendant une durée $b$ . Sa vitesse moyenne sur l'ensemble est $50$ km/h. Que vaut $\dfrac{a}{b}$ ?

{60a + 40b = 50\,(a + b)}

À gauche, la distance réellement parcourue ; à droite, la même distance vue à travers la vitesse moyenne.

{10a = 10b \;\Rightarrow\; \frac{a}{b} = 1}

Les deux durées sont égales.

Retenez ce résultat, il sert de contrôle : une vitesse moyenne exactement au milieu de deux vitesses signifie des durées égales, jamais des distances égales.

Geste 3 — l'un vers l'autre : l'écart se referme

Deux mobiles partent l'un vers l'autre. On peut suivre chacun séparément.

Ou regarder l'écart entre eux : c'est lui aussi un mobile. Il part de la distance initiale et se referme à la somme des deux vitesses.

{t_{\text{rencontre}} = \frac{d_0}{v_1 + v_2}}

Les deux mobiles roulent pendant le même temps. Donc le rapport de leurs distances est exactement le rapport de leurs vitesses — ici $50 : 70 = 5 : 7$ , et $100 : 140$ aussi. Beaucoup de questions de rencontre se règlent par ce rapport, sans jamais calculer une durée.

Yaël et Nourite partent au même instant l'une vers l'autre, sur la route qui relie leurs deux villes. La vitesse de Nourite vaut $1{,}5$ fois celle de Yaël. Au point de rencontre, Nourite a parcouru $60$ km. Quelle est la longueur de la route ?

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$100$ km. Même durée pour les deux, donc les distances sont dans le rapport des vitesses : $1{,}5$ pour $1$ . Nourite a fait $60$ km, donc Yaël en a fait $60 : 1{,}5 = 40$ . La route mesure $60 + 40 = 100$ km. Notez qu'aucune vitesse n'a jamais été calculée — et qu'aucune ne pouvait l'être.

Geste 4 — le même sens : l'écart a une vitesse

Même scène, un seul changement : les deux mobiles vont dans le même sens. L'écart ne se referme plus à $v_1 + v_2$ mais à $v_1 - v_2$ — et tout le reste du raisonnement est identique.

{t_{\text{rattrapage}} = \frac{\text{écart initial}}{v_1 - v_2}}

Un départ décalé se ramène au même schéma : le mobile parti en avance a fabriqué son écart pendant l'avance qu'on lui a donnée. On calcule cet écart, puis on rattrape.

Vingt secondes d'avance

Hodaya part en courant. Rachel attend $20$ secondes, puis la poursuit sur le même chemin. Chacune court à sa vitesse constante. Rachel rattrape Hodaya $30$ secondes après le début du jeu. Combien de fois la vitesse de Rachel vaut-elle celle de Hodaya ?

{t_H = 30 \qquad t_R = 30 - 20 = 10}

Hodaya a couru $30$ secondes, Rachel seulement $10$ .

{v_H \cdot 30 = v_R \cdot 10}

Au moment où l'une rattrape l'autre, les deux ont parcouru la même distance. C'est la seule équation de la question.

{\frac{v_R}{v_H} = \frac{30}{10} = 3}

Trois fois plus vite.

Une seule erreur possible sur les gestes 3 et 4, et elle coûte la question entière.

{t = \frac{d_0}{v_1 - v_2}}

{t = \frac{d_0}{v_1 + v_2}}

L'un vers l'autre : on additionne. Les deux mobiles travaillent ensemble à refermer l'écart.

{t = \frac{d_0}{v_1 + v_2}}

{t = \frac{d_0}{v_1 - v_2}}

Dans le même sens : on soustrait. Seule la différence des vitesses ronge l'écart ; si elle est nulle, il n'y a jamais de rattrapage.

Une voiture roule à $90$ km/h. Devant elle, un camion parti plus tôt a $45$ km d'avance et roule à $60$ km/h. Au bout de combien de temps la voiture rejoint-elle le camion ?

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Une heure et demie. Même sens, donc l'écart se réduit de $90 - 60 = 30$ km par heure ; il en reste $45$ à combler, soit $45 : 30 = 1{,}5$ heure. Contrôle : en $1{,}5$ h la voiture fait $135$ km, le camion $90$ km, et $90 + 45 = 135$ — ils sont bien au même endroit.

Geste 5 — la grandeur partagée décide de tout

Beaucoup de questions ne donnent aucun nombre suffisant pour calculer une vitesse ou une durée.

Elles sont pourtant les plus rapides du lot : elles se règlent par un rapport. Tout tient dans une question : quelle grandeur les deux mobiles partagent-ils ?

{t \;\text{égal} \;\Rightarrow\; \frac{d_1}{d_2} = \frac{v_1}{v_2}}

Même durée : les distances suivent les vitesses. Deux fois plus vite pendant le même temps, c'est deux fois plus loin.

{d \;\text{égale} \;\Rightarrow\; \frac{t_1}{t_2} = \frac{v_2}{v_1}}

Même distance : les durées suivent l'inverse des vitesses. Deux fois plus vite sur le même trajet, c'est deux fois moins de temps — le rapport se retourne.

Le sprinteur et le cycliste

Un terrain rectangulaire mesure $200$ m de large et $600$ m de long. Un cycliste, à $24$ km/h, emploie exactement la même durée pour boucler le tour du terrain qu'un sprinteur pour en couvrir la longueur. Quelle est la vitesse du sprinteur ?

{P = 2\,(200 + 600) = 1\,600 \;\text{m}}

Le tour complet du terrain.

{\frac{1\,600}{600} = \frac{8}{3}}

Le cycliste parcourt $\frac{8}{3}$ fois plus de chemin — dans le même temps.

{v = 24 \cdot \frac{3}{8} = 9}

Donc il va $\frac{8}{3}$ fois moins vite : le sprinteur court à $9$ km/h.

Ici, les mètres n'ont jamais été convertis en kilomètres, et c'était inutile : un rapport de deux longueurs ne dépend pas de l'unité, pourvu qu'elle soit la même en haut et en bas. Convertir aurait coûté trente secondes pour rien.

Isaac roule à $70$ km/h, Ruth à $105$ km/h. Ruth parcourt $y$ km dans le tiers du temps qu'Isaac met à parcourir $x$ km. Quelle relation lie $x$ et $y$ ?

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$x = 2y$ . Écrivons les deux durées : $t_{\text{Isaac}} = \dfrac{x}{70}$ et $t_{\text{Ruth}} = \dfrac{y}{105}$ . La condition dit $\dfrac{y}{105} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{x}{70}$ , soit $\dfrac{y}{105} = \dfrac{x}{210}$ , donc $210y = 105x$ et $x = 2y$ .

Geste 6 — répondre en lettres, et se méfier de la figure

Les dernières questions d'une section remplacent les nombres par des lettres et demandent ce qui est nécessairement vrai. On ne calcule plus : on écrit la relation, on la réduit, et l'on teste la seule chose que l'énoncé impose.

Une tortue et une fourmi quittent $A$ au même instant, vers $B$ . La tortue avance à $x$ km/h, la fourmi à $x^2$ km/h, et la fourmi arrive une heure plus tôt. Que peut-on affirmer à coup sûr au sujet de $x$ ?

« Nécessairement vrai » se casse par un seul contre-exemple. Avant de cocher une proposition qui parle d'entiers ou de parité, essayez $x = 1{,}5$ ou $x = 2{,}5$ : la plupart des mauvaises propositions tombent au premier essai.

Enfin, le mouvement se déroule parfois le long d'une figure — un diamètre contre un arc, une piste circulaire, le périmètre d'un rectangle. Le geste est le même ; ce qui change, c'est que la distance doit d'abord être calculée en géométrie.

L'erreur que la figure provoque, et qui n'a rien à voir avec le mouvement.

d_{\text{Denise}} = 2r

{d_{\text{Denise}} = \pi r}

Deux coureurs partent de $A$ vers $B$ à la même vitesse, l'un sur le diamètre, l'autre sur le demi-cercle. Le premier parcourt $2r$ , le second $\pi r$ : ils ne sont jamais au même endroit au même moment, et la question porte sur l'écart entre eux.

Simon court sur le diamètre $[AB]$ , Denise sur le demi-cercle, à la même vitesse. Quand Simon arrive en $B$ , quelle part du demi-cercle Denise a-t-elle parcourue ?

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$\dfrac{2}{\pi}$ , soit environ $64\,\%$ . Même vitesse et même durée, donc même distance : Denise a fait $2r$ sur les $\pi r$ du demi-cercle, et $\dfrac{2r}{\pi r} = \dfrac{2}{\pi} \approx 0{,}64$ . Le rayon n'a jamais servi.

La comparaison quantitative — colonne A contre colonne B, avec une case « les données ne suffisent pas » — tombe régulièrement sur ce chapitre. On ne cherche pas la valeur : seulement le signe de la différence.

La question d'ordre de grandeur — « laquelle de ces durées est la plus proche ? » — se règle par une division approchée, jamais par un calcul exact.

Un dernier mot sur les blocs de lecture de graphique ou de tableau : six des sessions dépouillées en placent un dont l'univers est le mouvement — une course, une plongée, une station de taxis, une randonnée. Aucune formule nouvelle n'y sert. On y lit une distance et une durée dans le document, puis on applique le geste 1.

Exercices

Exercice 1

Un train parcourt $210$ km à la vitesse constante de $70$ km/h. Combien d'heures dure le trajet ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

{t = \frac{210}{70} = 3}

Lecture directe : $t = \frac{d}{v}$ .

$3$ heures. Contrôle : $70 \cdot 3 = 210$ .

Geste 1 — la relation, ses trois lectures et ses unités

Geste 2 — plusieurs tronçons : total sur total

Geste 3 — l'un vers l'autre : l'écart se referme

Geste 4 — le même sens : l'écart a une vitesse

Geste 5 — la grandeur partagée décide de tout

Geste 6 — répondre en lettres, et se méfier de la figure

Exercices

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