On résout ensemble · Distance, vitesse et temps · Psychométriques

Cinq questions, une par geste du cours : convertir des unités, moyenner deux tronçons, refermer un écart, rattraper un mobile, lire une figure. Chacune est d'abord déroulée avec vous, une étape par clic, puis vous attend en bas de page sous une forme jumelle.

Avant chaque clic, dites ce que vous feriez. C'est l'écart entre votre réflexe et l'étape qui apparaît qui vous apprend quelque chose — pas la lecture.

Regardez la scène, pas seulement la ligne de calcul. Une question de mouvement se décide avant tout calcul, au moment où l'on voit dans quel sens les deux mobiles vont.

1 — Les unités : deux conversions en même temps

Votre question jumelle : la première de la liste, en bas de page.

2 — La vitesse moyenne : deux barres qui ne se ressemblent pas

Votre question jumelle : la deuxième, avec deux vitesses plus éloignées l'une de l'autre — et un écart encore plus net avec la moyenne des vitesses.

3 — La rencontre : l'écart se referme à la somme

Votre question jumelle : la troisième. Même scène, d'autres nombres.

4 — La poursuite : le même écart, mais à la différence

Votre question jumelle : la quatrième — et posez-vous la question du signe avant de calculer.

5 — La figure : le mouvement place les points, la géométrie répond

Votre question jumelle : la cinquième, où la figure est un rectangle et où c'est le temps qui est partagé.

Exercices

Exercice 1

Un coureur avance à $10$ mètres par seconde. Quelle est sa vitesse en km/h ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

{10 \text{ m en } 1 \text{ s} = 36\,000 \text{ m en } 3\,600 \text{ s}}

En une heure, il parcourt $3\,600$ fois dix mètres.

{36\,000 \text{ m} = 36 \text{ km}}

Soit $36$ km/h — c'est bien $10 \cdot 3{,}6$ .

$36$ km/h. Des m/s vers les km/h, on multiplie par $3{,}6$ : la valeur en km/h est la plus grande des deux.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Un automobiliste parcourt la première moitié d'un trajet à $80$ km/h et la seconde à $20$ km/h. Quelle est sa vitesse moyenne, en km/h, sur l'ensemble ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 32

Corrigé :

{d = 160 \Rightarrow t_1 = \frac{80}{80} = 1, \quad t_2 = \frac{80}{20} = 4}

Une distance commode, multiple des deux vitesses.

{v_{\text{moy}} = \frac{160}{5} = 32}

Total sur total.

$32$ km/h. La moyenne des vitesses donnerait $50$ — l'écart est énorme parce que le mobile a passé quatre fois plus de temps à la petite vitesse. Plus les deux vitesses sont éloignées, plus le distracteur est loin de la vérité.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Deux villes sont distantes de $360$ km. Deux voitures partent au même instant, l'une vers l'autre, à $40$ km/h et $50$ km/h. Au bout de combien d'heures se croisent-elles ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

{40 + 50 = 90}

L'un vers l'autre : l'écart se referme à la somme.

{t = \frac{360}{90} = 4}

Quatre heures.

$4$ heures. Contrôle : $160 + 200 = 360$ km, et le rapport $160 : 200$ est bien celui des vitesses.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Un autocar a $30$ km d'avance et roule à $70$ km/h. Une voiture le suit sur la même route, dans le même sens, à $100$ km/h. Au bout de combien d'heures le rejoint-elle ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

{100 - 70 = 30}

Même sens : seule la différence ronge l'avance.

{t = \frac{30}{30} = 1}

Une heure.

$1$ heure. Contrôle : la voiture a fait $100$ km, l'autocar $30 + 70 = 100$ km. Additionner les vitesses aurait donné environ $11$ minutes — un résultat qui ne résiste pas au contrôle.

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Exercice 5

Un terrain rectangulaire mesure $200$ m de large et $600$ m de long. Un cycliste roulant à $24$ km/h emploie exactement la même durée pour boucler le tour du terrain qu'un sprinteur pour en couvrir la longueur. Quelle est la vitesse du sprinteur, en km/h ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

{P = 2\,(200 + 600) = 1\,600 \text{ m}}

La figure donne la distance du cycliste.

{\frac{600}{1\,600} = \frac{3}{8}}

Le sprinteur parcourt $\frac{3}{8}$ du chemin du cycliste — dans le même temps.

{v = 24 \cdot \frac{3}{8} = 9}

Donc il va $\frac{8}{3}$ fois moins vite : le sprinteur court à $9$ km/h.

$9$ km/h. Les mètres n'ont jamais été convertis en kilomètres : un rapport de deux longueurs ne dépend pas de l'unité, pourvu qu'elle soit la même en haut et en bas.

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Exercice 6

Complétez les deux conversions.

72 km/h = ____ m/s, et 15 m/s = ____ km/h.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 72 km/h = 20 m/s, et 15 m/s = 54 km/h.

Corrigé :

72 : 3{,}6 = 20

vers les m/s : on divise

15 \cdot 3{,}6 = 54

vers les km/h : on multiplie

Le nombre en km/h est toujours le plus grand des deux : c'est le contrôle qui évite de se tromper de sens.

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Exercice 7

Un trajet : la première moitié à $90$ km/h, la seconde à $10$ km/h. La vitesse moyenne vaut $50$ km/h.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}d &= 180 \;\Rightarrow\; t_1 \\ &= 1 \\ \quad t_2 &= 9\end{aligned}

une distance commode

\begin{aligned}v_{\text{moy}} &= \frac{180}{10} \\ &= 18\end{aligned}

total sur total

Faux : $18$ km/h. Plus les deux vitesses sont éloignées, plus la moyenne des vitesses est loin de la vérité.

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Exercice 8

Deux cyclistes sont à $42$ km l'un de l'autre. Ils partent au même instant, l'un vers l'autre, à $12$ km/h et $9$ km/h. Quelle distance le plus rapide a-t-il parcourue quand ils se croisent ?

$24$ km
$21$ km
$18$ km
$28$ km

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $24$ km

Corrigé :

\begin{aligned}t &= \frac{42}{12 + 9} \\ &= 2\end{aligned}

l'écart se referme à la somme

\begin{aligned}d &= 12 \cdot 2 \\ &= 24\end{aligned}

$24$ km. $21$ est la moitié du chemin — juste seulement à vitesses égales ; $18$ est la part du plus lent. Contrôle par le rapport : $24 : 18 = 12 : 9$ .

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Exercice 9

Un autobus a $12$ km d'avance et roule à $40$ km/h. Un taxi le suit sur la même route, à $64$ km/h. Au bout de combien de minutes le rejoint-il ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 30

Corrigé :

64 - 40 = 24

même sens : la différence

\begin{aligned}t &= \frac{12}{24} \\ &= 0{,}5 \text{ h} \\ &= 30 \text{ min}\end{aligned}

$30$ minutes. Contrôle : le taxi a fait $32$ km, l'autobus $12 + 20 = 32$ km.

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Exercice 10

Deux coureurs partent ensemble de $A$ vers $B$ , à la même vitesse : l'un sur le diamètre $[AB]$ , long de $100$ m, l'autre sur le demi-cercle. Quand le premier arrive en $B$ , combien de mètres reste-t-il au second ? (Prenez $\pi = 3{,}14$ .)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 57

Corrigé :

\begin{aligned}\pi r &= 3{,}14 \cdot 50 \\ &= 157\end{aligned}

le demi-cercle, de rayon $50$

157 - 100 = 57

même vitesse, même durée : le second a fait $100$ m aussi

$57$ m. Le rayon vaut $50$ , pas $100$ : le diamètre est donné, et c'est la moitié qui entre dans $\pi r$ .

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Exercice 11

Rangez ces vitesses de la plus lente à la plus rapide.

$1$ km en $90$ s
$10$ m/s
$25$ km/h
$500$ m en $1$ min

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $25$ km/h · $500$ m en $1$ min · $10$ m/s · $1$ km en $90$ s

Corrigé :

\begin{aligned}500 \text{ m/min} &= 30 \text{ km/h} \qquad 10 \text{ m/s} \\ &= 36 \text{ km/h}\end{aligned}

3\,600 : 90 = 40 \text{ km/h}

Tout en km/h avant de comparer : $25 < 30 < 36 < 40$ .

Vérifier la réponse sur elev

1 — Les unités : deux conversions en même temps

2 — La vitesse moyenne : deux barres qui ne se ressemblent pas

3 — La rencontre : l'écart se referme à la somme

4 — La poursuite : le même écart, mais à la différence

5 — La figure : le mouvement place les points, la géométrie répond

Exercices

La suite se pratique sur elev