Série 5 — Le niveau de l'examen · Distance, vitesse et temps · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours de méthode avant de continuer.

À ce niveau, chaque question cache un piège de lecture : une avance et un retard qui s'additionnent, un demi-tour pris pour un tour, une moyenne des vitesses à la place du total sur total, une variation prise pour ce qui reste. Avant de calculer, écrivez en une ligne ce que les mobiles partagent.

Exercices

Exercice 1

Une piste circulaire a un rayon de $60$ mètres. Deux marcheurs partent au même instant du même point de la piste, en sens opposés, l'un à $1$ m/s et l'autre à $2$ m/s. Au bout de combien de secondes se trouvent-ils, pour la première fois, en deux points diamétralement opposés ?

$10\pi$
$40\pi$
$20\pi$
$40$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $20\pi$

Corrigé :

\pi \times 60 = 60\pi \;\text{m}

à eux deux, ils doivent couvrir un demi-cercle

\frac{60\pi}{1 + 2} = 20\pi \;\text{s}

sens opposés : leurs distances s'additionnent, à $3$ mètres par seconde

La bonne réponse : « $20\pi$ ». « $40\pi$ » attend qu'ils aient couvert la circonférence entière, $120\pi$ m : ils se retrouveraient alors au même point. « $10\pi$ » prend $60$ m pour le diamètre et calcule le demi-cercle d'un rayon de $30$ m. « $40$ » leur fait couvrir le diamètre, $120$ m, en ligne droite : les marcheurs suivent la piste.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Deux cyclistes partent au même instant du même carrefour : l'un roule vers le nord à $12$ km/h, l'autre vers l'est à $16$ km/h, chacun à vitesse constante et en ligne droite. Au bout de combien de minutes la distance en ligne droite entre eux atteint-elle $10$ km ?

$37{,}5$
$150$
$30$
$50$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $30$

Corrigé :

\sqrt{12^2 + 16^2} = 20

au bout de $t$ heures, les deux trajets sont les côtés d'un angle droit : la distance vaut $20t$ km

\begin{aligned}20t &= 10 \;\Rightarrow\; t \\ &= \frac{1}{2} \;\text{h} \\ &= 30 \;\text{min}\end{aligned}

La bonne réponse : « $30$ ». « $150$ » divise par la différence des vitesses, $4$ km/h, comme s'ils roulaient sur la même route dans le même sens. « $37{,}5$ » ne compte que le plus rapide : $\frac{10}{16}$ h. « $50$ » ne compte que le plus lent : $\frac{10}{12}$ h.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Si Dina roule à $48$ km/h, elle arrive au bureau avec $10$ minutes de retard ; si elle roule à $72$ km/h, elle arrive $5$ minutes en avance. Elle part toujours à la même heure. Quelle est la longueur du trajet, en km ?

$24$
$21{,}6$
$12$
$36$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $36$

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{d}{48} - \frac{d}{72} &= \frac{15}{60} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

l'écart entre les deux durées : $10$ minutes de retard plus $5$ minutes d'avance

\begin{aligned}\frac{d}{144} &= \frac{1}{4} \;\Rightarrow\; d \\ &= 36\end{aligned}

La bonne réponse : « $36$ ». « $12$ » prend un écart de $5$ minutes, $10 - 5$ : le retard et l'avance sont de part et d'autre de l'heure prévue, ils s'additionnent. « $24$ » ne garde que les $10$ minutes de retard. « $21{,}6$ » écrit $15$ minutes comme $0{,}15$ heure au lieu d'un quart d'heure.

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Exercice 4

Un bateau descend une rivière sur $d$ km en $a$ heures, puis remonte la même distance en $b$ heures, avec $a < b$ . Sa vitesse par rapport à l'eau et celle du courant sont constantes. Quelle est la vitesse du courant, en km/h ?

$\frac{d}{2}\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$
$d\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$
$\frac{d}{2}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$
$\frac{d}{b-a}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\frac{d}{2}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$

Corrigé :

\begin{aligned}v + c &= \frac{d}{a} \qquad v - c \\ &= \frac{d}{b}\end{aligned}

le courant aide à la descente et freine à la remontée

2c = \frac{d}{a} - \frac{d}{b}

on soustrait les deux égalités

c = \frac{d}{2}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)

La bonne réponse : « $\frac{d}{2}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$ ». « $d\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$ » oublie de diviser par $2$ : la différence des deux vitesses compte le courant deux fois. « $\frac{d}{2}\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$ » additionne les deux égalités : c'est la vitesse du bateau par rapport à l'eau. « $\frac{d}{b-a}$ » divise la distance par l'écart des durées, qui n'est la durée d'aucun trajet.

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Exercice 5

Sur un trajet donné, un car roule $p\,\%$ plus vite qu'à l'ordinaire. De combien de pour cent la durée du trajet diminue-t-elle ?

$p\,\%$
$\frac{100p}{100+p}\,\%$
$\frac{100p}{100-p}\,\%$
$\frac{p}{100+p}\,\%$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\frac{100p}{100+p}\,\%$

Corrigé :

\begin{aligned}t' &= \frac{t}{1 + \frac{p}{100}} \\ &= \frac{100\,t}{100 + p}\end{aligned}

même distance : la durée est divisée par le facteur de la vitesse

\frac{t - t'}{t} = \frac{p}{100 + p}

la baisse, en fraction de la durée

\frac{p}{100 + p} \times 100 = \frac{100p}{100+p}\,\%

La bonne réponse : « $\frac{100p}{100+p}\,\%$ ». « $p\,\%$ » croit qu'une hausse et une baisse de même taux se répondent : la durée est divisée par $1 + \frac{p}{100}$ , ce qui n'est pas une baisse de $p\,\%$ . « $\frac{100p}{100-p}\,\%$ » est la hausse de durée qu'entraînerait une baisse de vitesse de $p\,\%$ . « $\frac{p}{100+p}\,\%$ » donne la baisse en fraction sans la multiplier par $100$ : suivie d'un signe pour cent, elle est cent fois trop petite.

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Exercice 6

Un mobile parcourt la première moitié d'un trajet à $x$ km/h et la seconde moitié à $y$ km/h, avec $x \neq y$ . Comparez les deux quantités. Colonne A : la vitesse moyenne du mobile sur l'ensemble du trajet. Colonne B : $\frac{x+y}{2}$ .

Les deux quantités sont égales
La quantité de la colonne B est la plus grande
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
La quantité de la colonne A est la plus grande

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B La quantité de la colonne B est la plus grande

Corrigé :

\begin{aligned}A &= \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \\ &= \frac{2xy}{x+y}\end{aligned}

total sur total, pour un trajet de longueur $2$

\begin{aligned}B - A &= \frac{(x+y)^2 - 4xy}{2(x+y)} \\ &= \frac{(x-y)^2}{2(x+y)} > 0\end{aligned}

strictement positif dès que $x \neq y$

La bonne réponse : « La quantité de la colonne B est la plus grande ». « Les deux quantités sont égales » confond la vitesse moyenne et la moyenne des vitesses : le mobile passe plus de temps à la petite vitesse. « La quantité de la colonne A est la plus grande » croit que la vitesse moyenne penche vers la grande vitesse ; elle penche vers la petite. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » s'arrête au fait que $x$ et $y$ sont inconnus : le signe de la différence, lui, ne dépend pas de leurs valeurs.

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Exercice 7

Deux trains roulent l'un vers l'autre sur deux voies parallèles : le premier, long de $140$ m, à $54$ km/h ; le second, long de $210$ m, à $72$ km/h. Combien de secondes s'écoulent entre le moment où les deux locomotives se croisent et celui où les deux derniers wagons se croisent ?

$10$
$70$
$6$
$4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $10$

Corrigé :

\begin{aligned}54 : 3{,}6 &= 15 \qquad 72 : 3{,}6 \\ &= 20\end{aligned}

les vitesses, en mètres par seconde

15 + 20 = 35 \;\text{m/s}

sens opposés : les vitesses s'additionnent

\frac{140 + 210}{35} = 10 \;\text{s}

les deux longueurs doivent défiler

La bonne réponse : « $10$ ». « $70$ » divise par la différence des vitesses, $5$ m/s : c'est le cas de deux trains qui roulent dans le même sens. « $6$ » ne fait défiler que le second train, $210 : 35$ . « $4$ » ne fait défiler que le premier, $140 : 35$ .

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Exercice 8

Deux coureurs tournent sur une piste circulaire de $L$ mètres, dans le même sens, à vitesses constantes de $u$ et $w$ m/s, avec $u > w$ . Combien de secondes s'écoulent entre deux dépassements successifs du plus lent par le plus rapide ?

$\frac{L}{w} - \frac{L}{u}$
$\frac{L}{u-w}$
$\frac{L}{u+w}$
$\frac{2L}{u-w}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\frac{L}{u-w}$

Corrigé :

u - w

même sens : l'avance du plus rapide grandit de $u - w$ mètres chaque seconde

t = \frac{L}{u - w}

entre deux dépassements, il gagne exactement un tour

La bonne réponse : « $\frac{L}{u-w}$ ». « $\frac{L}{u+w}$ » additionne les vitesses : c'est l'intervalle entre deux croisements de coureurs en sens opposés. « $\frac{L}{w} - \frac{L}{u}$ » est l'écart entre leurs temps au tour ; le plus rapide ne gagne pas un tour entier en un seul tour. « $\frac{2L}{u-w}$ » attend deux tours d'avance au lieu d'un.

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Exercice 9

Pour arriver à l'heure, Yossef doit faire un trajet de $150$ km à une vitesse moyenne de $60$ km/h. Il en parcourt les $60$ premiers kilomètres à $40$ km/h. À quelle vitesse constante, en km/h, doit-il parcourir le reste du trajet ?

$60$
$90$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$80$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $90$

Corrigé :

\frac{150}{60} = 2{,}5 \;\text{h}

la durée totale permise

\frac{60}{40} = 1{,}5 \;\text{h}

la durée déjà dépensée

\begin{aligned}\frac{150 - 60}{2{,}5 - 1{,}5} &= \frac{90}{1} \\ &= 90\end{aligned}

La bonne réponse : « $90$ ». « $80$ » veut que la moyenne des deux vitesses fasse $60$ , $\frac{40 + 80}{2}$ : les deux parties n'ont ni la même longueur ni la même durée. « $60$ » compte les $60$ premiers kilomètres en une heure, comme s'ils avaient été parcourus à $60$ km/h, et laisse $1{,}5$ heure pour $90$ km. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » : la durée permise et la durée déjà dépensée se calculent toutes deux.

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Exercice 10

Debout sur un escalier roulant en marche, Liora monte d'un étage en $60$ secondes. Quand l'escalier est arrêté, elle le monte à pied en $90$ secondes. Combien de secondes lui faut-il si elle monte à pied, au même rythme, sur l'escalier en marche ?

$75$
$36$
$30$
$150$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $36$

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{1}{60} + \frac{1}{90} &= \frac{3 + 2}{180} \\ &= \frac{1}{36}\end{aligned}

en une seconde, l'escalier fait $\frac{1}{60}$ de la montée et Liora $\frac{1}{90}$ : les deux s'ajoutent

t = 36 \;\text{s}

La bonne réponse : « $36$ ». « $75$ » fait la moyenne des deux durées. « $30$ » soustrait les durées, $90 - 60$ : ce sont les vitesses qui s'additionnent, pas les durées qui se retranchent. « $150$ » additionne les durées, comme si Liora montait d'abord à pied puis restait debout sur l'escalier.

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Exercices

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